● ．厂．９ 。 ● ●蘩 勰 或 ◎武广金 （淮海工学院理学院２２２００５） 【摘要】本文在 型平面图形和ｌ，型平面图形绕坐标轴 旋转所得旋转体的体积公式的基础上，利用坐标系的平移 变换及定积分的换元积分法等知识，推广了混合型旋转体 的体积公式，并给出了相应的证明． 【关键词】平面图形；混合型旋转体；体积公式；换元积 分法；坐标系平移 ＝盯 在高等数学中给出了，Ｘ型平面图形｛（ ，Ｙ）Ｉ口≤ ≤ｂ， ｇ （ ） ＇－２，＇ｒｒ ＋ ｙ （ ）≤）， （ ）｝和ｙ型平面图形｛（ ，Ｙ）Ｉ ｃ≤Ｙ≤ｄ， 。（Ｙ）≤ ≤ （Ｙ）｝绕坐标轴旋转所得旋转体的体积公式．本文利用坐 标系的平移及定积分的换元法等知识，将旋转体的体积公式加 以推广． 引理＝ ２ ｑＴＸ ｌＹ ＋￣ｒｘｚ ｙ ：＋＂ｆｇｇｔ３Ｙ 一１Ｔ ＇４Ｙ 设Ｄ是由曲线Ｙ＝ （ ），Ｙ＝ （ ）， ＝妒 （Ｙ）， ｆｉ４￣（ｘ＇＋Ｘｏ）ｄ（ ＋ 。）一盯Ｊ．ｉ （ ＋ 。）‘ ｄ（ ＋ 。）＋２耵ｆ ｙ［ （ｙ）一 。］ ｙ一 Ｙ２ （Ｙ）所围成的混合型平面图形，且位于第１象限（如图 １所示），则平面图形Ｄ绕 轴旋转所得的旋转体的体积为 ２１ｒ Ｙ３ －ｒ （ ） 一 』 ｃ ） ＋２１Ｔ Ｊ． ｙ ｚ（ｙ）ｄｙ一 ２叮ｒ ｆ ｌ（，，）ｄｙ一 １Ｙ ＋订 ２Ｙ ＋叮ｒ ３Ｙ；一叮ｒ ４ｙ２４． Ｊ Ｙｌ ｙ［ 。（，，）一 。］ ｙ一 （ 一 。），， ＋ Ｙｌ （ 一 。））， ＋订（ 一 。）ｙ；一盯（ 一ＸＯ） 叮ｒ证明５在平面直角坐标系内取一点（ ，Ｙ ），使 』： （ ） 一百』 （ ） ＋２百』：ｙ妒 （ｙ） 一 ≥ｍａｘ｛妒２（Ｙ）ＩＹ２≤，，≤Ｙ４｝，Ｙ５＝Ｙ４，贝０ ２订ｆｈ 。（ｙ）ｄｙ一 。ｙ，２＋叮ｒ ｙ２ １ｒ ３ｙ２３一订 ｙ２４． 注类似地可得到位于 轴下侧的混合型平面图形绕 轴旋转所得的旋转体的体积公式及位于Ｙ轴右（左）侧的 混合型平面图形绕Ｙ轴旋转所得的旋转体的体积公式． 例求由曲线Ｙ＝ 一３ ＋ ２ ＋１（１≤ ≤２），Ｙ＝一 ＋６ 一 ＝竹ｙ，２ ＋ ｘ （ ）ｄｘ＋ ｙ；（ 一 ）一 ３ ２丌ｆ ）， （ｙ）ｄｙ一 ２ １Ｔ ｆ （ ） 一 ２ ２ ２订 盯ｙ）ｄｙ］ １１ ＋８（２≤ ≤３）， ＝２ｙ 一６ｙ ＋ 』ｉ ｃ ｄ 一盯』 ｃ ｄｘ＋２￣－『 ｙ ｚ ｃｙ）ｄ 一 Ｙ３ ５ｙ（１≤ｙ≤２）， ＝Ｙ 一２ｙ＋３（１≤ ），≤２）所围成的平面图形（如图３ ２ ｙ １（），）ｄｙ一百 ｌｙ２１＋１Ｔ ２，， ＋叮ｒ ３ ；一叮Ｔ ４ ４２． ｙ－Ｊ２ Ｊ ／， ， 所示）绕 轴旋转所得的旋转体 的体积． 图３ ３． ＝ ，解可求得交点坐标分别为 ／ ｏ． （１，１），（２，１），（２，２），（３，２）， ｙ ＜ 图２ Ｙ＝ｆｌ∽ 图 １ 则 ＝盯ｆ（＿Ｘ３＋ 一１１ ＋８） 一 』。（ ３＿３ｘ２＋ ２ｘ＋１）。 』２，，（，， 一２ｙ＋３），／ｙ ｒ ｙ（２ｙ 一 ６，， ＋５ｙ）ｄｙ一１Ｔ ｘ １×１ ＋订ｘ２ ｘ １ ＋订×２× ２ 一１Ｔ ｘ ３ ｘ ２ 定理＝ 设Ｄ是由曲线Ｙ＝ （ ），Ｙ＝ （ ）， ＝ （Ｙ）， （Ｙ）所围成的混合型平面图形，且位于 轴上侧（如图 ８３ ２所示），则平面图形Ｄ绕 轴旋转所得的旋转体的体积为 百亿 【参考文献】 杨万禄等．高等数学（上册）（第一版）［Ｍ］．北京：高等 教育出版社，１９９７． 数学学习与研究２０１０．９ 』： （ ） 一 』ｉ （ ）ｄ ＋２ ．『 ｚ（ｙ）ｄｙ一 ２ （，，） －＂ｌｒｘｌｙ ＋ ，，２＋ ｚ，，，一 ２ｙ ２・
