一、单选题（每小题6分，共72分）
1．已知集合M＝{x∈Q|（x2﹣2）（x2﹣1）＝0}，N＝{x∈N*|﹣2＜x＜2}，则（ ） A．M∩N＝∅ B．M∪N＝{1} C．M∩N＝{1} D．M⊆N
2．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题； ②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1≤0”； ④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要条件”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．𝑓(𝑥)=𝑥2−1
𝑥−1，𝑔(𝑥)=𝑥+1
B．𝑓(𝑥)=𝑥，𝑔(𝑥)=(√𝑥)2 C．𝑓(𝑥)=|𝑥|，𝑔(𝑥)=√𝑥2
D．f（x）＝2x﹣1，g（x）＝2x+1
4．已知a＝log2e，b＝0.40.3，c=𝑙𝑜𝑔11
3，则a，b，c的大小关系为（ ）
2A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
5．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A．y＝﹣log2x（x＞0） B．y＝x+x3（x∈R） C．y＝3x（x∈R） D．y＝tanx
6．已知a＞0，b＞0，条件p：4a+b＝ab，条件q：a+b≥9，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数f（x）＝lg（﹣x2+ax﹣1）在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（A．[4，+∞）
B．[6，+∞）
C．(10
3，4]
D．[10
3，4]
第1页（共13页）
）8．将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数𝑔(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+)的图
6
𝜋
𝜋
6象，则φ的值为（ ） A．−3
9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g（x）＝Acos（ωx+φ）图象的一个对称中心可能为（ ）
2𝜋
B．
6
𝜋
C． 3
𝜋
D．
2𝜋3
A．（﹣2，0）
𝑙𝑜𝑔2(𝑥+√2)，−√2＜𝑥＜0
1
10．已知函数f（x）=2|𝑥−1|，0≤𝑥≤2，若函数g（x）＝f（x）﹣m有且仅有4个零点，则
√
(2)𝑥，𝑥＞2{2实数m的取值范围为（ ） A．(0，)
11．已知函数f（x）＝e|x（ ） A．(3，2)
12．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex，若关于x的方程 f（2x）﹣mg（x）＝0在区间（0，2]内有解，则实数m的最小值为（ ） A．4
二、填空题（每小题6分，共48分） 13．−(227)−3+lg4+lg0.25＝ ．
第2页（共13页）
﹣2|
B．（1，0） C．（10，0） D．（14，0）
1
4B．(，)
1412C．(0，)
12D．(0，)
13+x2﹣4x+4，则使得不等式f（2m+1）＜f（m+2）成立的实数m的取值范围是
11
B．(3，1)
1
C．(2，1)
1
D．(3，1]
1
B．4√2 C．8 D．8√2
102
14．若幂函数f（x）的图象过点(2，)，则f（9）＝ ．
15．点P（2，5）在角α终边上，则
16．若函数f（x）是R上的奇函数，则函数y＝f（x﹣1）+1的图象必过定点 ．
17．若函数𝑓(𝑥)={
18．已知实数x、y满足x+2y＝5，则2x+4y的最小值为 ．
19．已知函数f（x）＝x2﹣4x，g（x）＝ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是 ．
20．点P在直径为AB＝1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝∠TPB＝α，当四边形ABTP的面积最大时，α＝ ．
三、解答题（每小题15分，共30分）
21．（15分）已知函数f（x）＝9x﹣a•3x+1+a+1． （Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）＜0的解集；
（Ⅱ）若x∈（﹣∞，0）时，不等式f（x）＞2﹣2a恒成立，求a的取值范围．
第3页（共13页）
1
22𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)−3𝑠𝑖𝑛(𝜋+𝛼)4𝑐𝑜𝑠(−𝛼)+𝑠𝑖𝑛(2𝜋−𝛼)
= ．
𝑎𝑥−2，𝑥≤2
(3−2𝑎)𝑙𝑛(𝑥−1)，𝑥＞2
在R上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
22．（15分）已知函数𝑓(𝑥)=4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥+)+√3， （1）求函数f（x）求最小正周期；
𝜋𝜋
（2）求函数f（x）在区间[−，]上的单调减区间；
46
𝜋3（3）将函数f（x）图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得
6
𝜋
到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求a的取值范围．
第4页（共13页）
2021-2022学年河南省郑州实验高级中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题6分，共72分）
1．已知集合M＝{x∈Q|（x2﹣2）（x2﹣1）＝0}，N＝{x∈N*|﹣2＜x＜2}，则（ ） A．M∩N＝∅
B．M∪N＝{1}
C．M∩N＝{1}
D．M⊆N
解：根据集合M＝{x∈Q|（x2﹣2）（x2﹣1）＝0}，则M＝{﹣1，1}， N＝{x∈N*|﹣2＜x＜2}，则N＝{1}， 则M∩N＝{1}，M∪N＝M， 故选：C．
2．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题； ②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1≤0”； ④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要条件”是真命题； A．0
B．1
C．2
D．3
解：①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题正确； ②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题正确；
③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1＞0”，故错误； ④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要不充分条件条件”，故命题是真命题，正确． 故选：D．
3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
𝑥2−1A．𝑓(𝑥)=，𝑔(𝑥)=𝑥+1
𝑥−1
B．𝑓(𝑥)=𝑥，𝑔(𝑥)=(√𝑥)2 D．f（x）＝2x﹣1，g（x）＝2x+1
C．𝑓(𝑥)=|𝑥|，𝑔(𝑥)=√𝑥2
解：对于选项A，f（x）的定义域为{x|x≠1}，g（x）的定义域为R，它们的定义域不同，故它们不是同一个函数；
对于选项B，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不同，故它们不是同一个函数；
对于选项C，f（x）的定义域为R，g（x）=√𝑥2=|x|的定义域为R，它们的定义域、值域、对应关系相同，故它们是同一个函数；
对于选项D，由于f（x）＝2x﹣1和g（x）＝2x+1的对应关系不同，故它们不是同一个函数，
第5页（共13页）
故选：C．
4．已知a＝log2e，b＝0.40.3，c=𝑙𝑜𝑔13，则a，b，c的大小关系为（ ）
21
A．a＞b＞c
1
2B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
解：∵𝑙𝑜𝑔13=log23，且y＝log2x在定义域上是增函数， ∴log23＞log2e＞log22＝1， ∴c＞a＞1，
∵y＝0.4x在定义域上是减函数， ∴0.40.3＜0.40＝1，∴0＜b＜1， ∴c＞a＞b． 故选：C．
5．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A．y＝﹣log2x（x＞0） C．y＝3x（x∈R）
B．y＝x+x3（x∈R） D．y＝tanx
解：y＝﹣log2x（x＞0）是非奇非偶函数，故A不符题意；
由f（x）＝x+x3（x∈R），满足f（﹣x）＝﹣x﹣x3＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，又y＝x和y＝x3在R上递增，可得f（x）在R上递增，故B符合题意； 由y＝3x（x∈R）是非奇非偶函数，故C不符题意；
由y＝tanx是奇函数，但在（kπ−2，kπ+2）（k∈Z）内递增，故D不符题意． 故选：B．
6．已知a＞0，b＞0，条件p：4a+b＝ab，条件q：a+b≥9，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
解：若a＞0，b＞0，且4a+b＝ab，则+
𝑏
1
4
𝑏4
1𝑎
𝜋
𝜋
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 =1，
𝑏4𝑎所以a+b＝（a+b）（+）＝1+4+𝑎+𝑏≥5+2√𝑎⋅𝑏=5+4＝9，
𝑎𝑏当且仅当=
𝑎𝑏
4𝑎𝑏
4𝑎
，即a＝3，b＝6时取等号，此时a+b≥9，
当a+b≥9时，如a＝2，b＝10，则4a+b≠ab， 所以p是q的充分不必要条件， 故选：A．
7．已知函数f（x）＝lg（﹣x2+ax﹣1）在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
第6页（共13页）
A．[4，+∞） B．[6，+∞） C．(
10
，4] 3D．[
10
，4] 3解：要使函数f（x）＝lg（﹣x2+ax﹣1）在[2，3]上单调递减， 则t＝﹣x2+ax﹣1在[2，3]上单调递减且大于0恒成立，
𝑎≤2则{2，解得＜a≤4．
23−3+3𝑎−1＞0
103
10
∴实数a的取值范围是（故选：C．
，4]．
8．将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数𝑔(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+6)的图
6
𝜋
𝜋
象，则φ的值为（ ） A．−3
2𝜋
B．
6
𝜋
C． 3
𝜋6
𝜋
D．
2𝜋3
𝜋
解：将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数𝑔(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+6)的图象，
即𝑠𝑖𝑛[2(𝑥+)−𝜑]=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+)， 又0＜φ＜π， 即−𝜑=
3𝜋
𝜋6𝜋
6𝜋6，
即𝜑=6， 故选：B．
9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g（x）＝Acos（ωx+φ）图象的一个对称中心可能为（ ）
𝜋
A．（﹣2，0）
B．（1，0）
C．（10，0）
D．（14，0）
解：由函数f（x）＝Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的部分图象知， A＝2√3，且T=𝜔=2×（6+2）＝16， 解得ω=8；
第7页（共13页）
2𝜋
𝜋
把点（2，﹣2√3）代入f（x）的解析式，得2√3sin（×2+φ）＝﹣2√3，解得φ=−
8
𝜋
3𝜋； 4∴函数g（x）＝2√3cos（x−
8
𝜋
3𝜋）， 4令x−4=kπ+2，k∈Z； 8解得x＝8k+10，k∈Z； 当k＝0时，x＝10，
∴函数g（x）图象的一个对称中心为（10，0）． 故选：C．
𝑙𝑜𝑔2(𝑥+√2)，−√2＜𝑥＜0
1
10．已知函数f（x）=2|𝑥−1|，0≤𝑥≤2，若函数g（x）＝f（x）﹣m有且仅有4个零点，则
√
(2)𝑥，𝑥＞2{2实数m的取值范围为（ ） A．(0，)
14𝜋
3𝜋𝜋
B．(，)
1412C．(0，)
12D．(0，)
13解：作出y＝f（x）的图象，如图所示： 令g（x）＝0则f（x）＝m，
要使g（x）＝f（x）﹣m有且仅有4个零点， 即y＝g（x）的图象与y＝m的图象有4个交点，
由图象可得当0＜m＜时，y＝g（x）的图象与y＝m的图象有4个交点， 所以m的范围为：（0，），
211
2故选：C．
11．已知函数f（x）＝e|x
（ ）
第8页（共13页）
﹣2|
+x2﹣4x+4，则使得不等式f（2m+1）＜f（m+2）成立的实数m的取值范围是
A．(，)
1312B．(，1)
13C．(，1)
12D．(，1]
13解：∵f（x+2）＝2|x|+x2，
∴f（x+2）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数， 由f（2m+1）＜f（m+2）得，f（2m﹣1+2）＜f（m+2）， ∴|2m﹣1|＜|m|，解得＜𝑚＜1，
31
∴m的取值范围是：(3，1)． 故选：B．
12．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex，若关于x的方程f（2x）﹣mg（x）＝0在区间（0，2]内有解，则实数m的最小值为（ ） A．4
B．4√2 C．8
D．8√2
1
解：∵f（x）+2g（x）＝ex， ∴f（﹣x）+2g（﹣x）＝ex，
﹣
又函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数， ∴f（x）﹣2g（x）＝ex，
﹣
𝑒𝑥+𝑒−𝑥𝑒𝑥−𝑒−𝑥∴𝑓(𝑥)=，𝑔(𝑥)=4， 2∵f（2x）﹣mg（x）＝0在区间（0，2]内有解，
2(𝑒2𝑥+𝑒−2𝑥)
∴𝑚=𝑒𝑥−𝑒−𝑥在区间（0，2]内有解，
令t＝e﹣e∈（0，e﹣e又𝑦=2𝑡+
x﹣x2﹣2
2(𝑒2𝑥+𝑒−2𝑥)2[(𝑒𝑥−𝑒−𝑥)+2]4﹣22
]，则𝑚=𝑒𝑥−𝑒−𝑥==2𝑡+在（0，e﹣e]内有解， 𝑥−𝑥𝑒−𝑒𝑡2
4
≥4√2，当且仅当𝑡=√2时取等号， 𝑡∴m的最小值为4√2． 故选：B．
二、填空题（每小题6分，共48分） 13．−(227)10−2
3+lg4+lg0.25＝ −16 ．
2764
9
解：原式＝﹣（
9
）
23+lg（4×0.25）=−16．
9
故答案为：−16．
14．若幂函数f（x）的图象过点(2，2)，则f（9）＝ 解：设幂函数的解析式为：f（x）＝xα，
第9页（共13页）
1
19 ．
由题意得：f（2）＝2α=，解得α＝﹣1， ∴f（x）＝x1，
﹣
12∴f（9）＝91=，
﹣
19故答案为：．
9
1
15．点P（2，5）在角α终边上，则
2𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)−3𝑠𝑖𝑛(𝜋+𝛼)4𝑐𝑜𝑠(−𝛼)+𝑠𝑖𝑛(2𝜋−𝛼)
= 113 ．
解：∵点P（2，5）在角α终边上， ∴tanα=2， ∴
2𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)−3𝑠𝑖𝑛(𝜋+𝛼)4𝑐𝑜𝑠(−𝛼)+𝑠𝑖𝑛(2𝜋−𝛼)
1135
=
−2𝑐𝑜𝑠𝛼−(−3𝑠𝑖𝑛𝛼)4𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼
=
−2𝑐𝑜𝑠𝛼+3𝑠𝑖𝑛𝛼4𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼
=
−2+3𝑡𝑎𝑛𝛼4−𝑡𝑎𝑛𝛼
=
−2+3×
54−252=
113
．
故答案为：．
16．若函数f（x）是R上的奇函数，则函数y＝f（x﹣1）+1的图象必过定点 （1，1） ． 解：∵函数f（x）是R上的奇函数， ∴函数y＝f（x）的图象必过定点（0，0）， ∴函数y＝f（x﹣1）+1的图象必过定点（1，1）， 故答案为：（1，1）． 17．若函数𝑓(𝑥)={1] ．
𝑎𝑥−2，𝑥≤2解：因为数𝑓(𝑥)={在R上单调递增，
(3−2𝑎)𝑙𝑛(𝑥−1)，𝑥＞2𝑎＞0
所以{3−2𝑎＞0，解得0＜a≤1，
2𝑎−2≤0
所以实数a的取值范围为（0，1]． 故答案为：（0，1]．
18．已知实数x、y满足x+2y＝5，则2x+4y的最小值为 8√2 ． 解：因为x+2y＝5，
则2x+4y≥2√2𝑥⋅4𝑦=2√2𝑥⋅22𝑦=2√2𝑥+2𝑦=2√25=8√2，
当且仅当x＝2y且x+2y＝5，即x=2，y=4时取等号，此时2x+4y最小值为8√2．
第10页（共13页）
𝑎𝑥−2，𝑥≤2
(3−2𝑎)𝑙𝑛(𝑥−1)，𝑥＞2
在R上单调递增，则实数a的取值范围是 （0，
55
故答案为：8√2．
19．已知函数f（x）＝x2﹣4x，g（x）＝ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是 [6，+∞） ．
解：∵函数f（x）＝x2﹣4x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x＝2对称， ∴x1∈[﹣1，3]时，f（x）的最小值为f（2）＝﹣4，最大值为f（﹣1）＝5， 可得f（x1）值域为[﹣4，5]，
又∵g（x）＝ax+2（a＞0），x∈[﹣1，3]，
∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（3）]， 即g（x2）∈[2﹣a，3a+2]，
∵∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）＝g（x2）， 2−𝑎≤−4∴{，解得a≥6， 3𝑎+2≥5故答案为：[6，+∞）．
20．点P在直径为AB＝1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝∠TPB＝α，当四边形ABTP的面积最大时，α＝ 解：如图，作TC⊥PB于C，
因为AB为直径，PT切圆于P点，PT＝1，
所以∠APB＝90°，PA＝cosα，PB＝sinα，TC＝sinα， S四边形ABTP＝S△PAB+S△TPB =𝑃𝐴⋅𝑃𝐵+𝑇𝐶⋅𝑃𝐵
=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛2𝛼=𝑠𝑖𝑛2𝛼+=(𝑠𝑖𝑛2𝛼−𝑐𝑜𝑠2𝛼)+ =4𝑠𝑖𝑛(2𝛼−4)+4，
因为0＜𝛼＜2，所以−4＜2𝛼−4＜4， 所以当2𝛼−4=2，即𝛼=8时， 四边形ABTP的面积最大． 故答案为：
3𝜋8𝜋
𝜋
3𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
3𝜋
√23𝜋8 ．
1212141212141−𝑐𝑜𝑠2𝛼
414𝜋1
．
三、解答题（每小题15分，共30分）
21．（15分）已知函数f（x）＝9x﹣a•3x+1+a+1．
第11页（共13页）
（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）＜0的解集；
（Ⅱ）若x∈（﹣∞，0）时，不等式f（x）＞2﹣2a恒成立，求a的取值范围． 解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＜0，则有9x﹣3×3x+2＜0， 即（3x﹣1）（3x﹣2）＜0，所以1＜3x＜2，解得0＜x＜log32， 故不等式的解集为（0，log32）；
（Ⅱ）∵f（x）＞2﹣2a对x∈（﹣∞，0）恒成立， 所以9x﹣3a•3x+3a﹣1＞0对x∈（﹣∞，0）恒成立， 即9x﹣1＞3a（3x﹣1）对x∈（﹣∞，0）恒成立，
故（3x+1）（3x﹣1）＞3a（3x﹣1）对x∈（﹣∞，0）恒成立， 因为x＜0，所以3x﹣1＜0，
∴3x+1＜3a对x∈（﹣∞，0）恒成立， ∴3a≥30+1＝2，解得𝑎≥3， 故a的取值范围为𝑎≥3．
22．（15分）已知函数𝑓(𝑥)=4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥+)+√3， （1）求函数f（x）求最小正周期；
𝜋𝜋
（2）求函数f（x）在区间[−，]上的单调减区间；
46
𝜋32
2
（3）将函数f（x）图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）
6
𝜋
倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求a的取值范围． 解：（1）依题意，𝑓(𝑥)=4𝑠𝑖𝑛𝑥(2𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥)+√3=2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+√3(1−2𝑠𝑖𝑛2𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥+√3𝑐𝑜𝑠2𝑥=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+3)， 其中ω＝2，则𝑇=𝜔=𝜋，
所以𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+)，最小正周期是π． （2）由（1）知，当−则由≤2𝑥+
2𝜋
𝜋3
𝜋𝜋𝜋𝜋2𝜋
≤𝑥≤时，−≤2𝑥+≤， 46633𝜋32𝜋𝜋
1
√3≤
2𝜋3
得
𝜋𝜋
12
≤𝑥≤
𝜋
𝜋6
，即f（x）在[
𝜋𝜋
12
，]上单调递减，
6𝜋
𝜋
所以函数f（x）在区间[−4，6]上的单调减区间是[12，6]．
𝜋𝜋
（3）由（1）知，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+3)，将函数f（x）图像向右移动个单位所得函数为y＝2sin2x，
6
第12页（共13页）
再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像， 所以𝑔(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛𝑥，则g（x）的周期为aπ，
因y＝g（x）在区间﹣1，1]上至少有100个最大值，则在长为2的区间﹣1，1]上至少有99.5个周期， 因此，aπ×99.5≤2，解得𝑎≤
4
44，而0＜a＜1，于是得0＜𝑎≤， 199𝜋199𝜋2
𝑎所以a的取值范围(0，199𝜋]．
第13页（共13页）
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