2024高考数学专项复习圆锥曲线专题：调和点列-极点极线

圆锥曲线专题：调和点列-极点极线一、问题综述

(一)概念明晰(系列概念)：

1.调和点列：如图，在直线l上有两基点A,B，则在l上存在两点C,D到A,B两点的距离比值为定值，即

ACAD211

==λ，则称顺序点列A,C,B,D四点构成调和点列(易得调和关系=+)。BDBCABACAD同理，也可以C,D为基点，则顺序点列A,C,B,D四点仍构成调和点列。所以称A,B和C,D称为调和共轭。

2.调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点A,C,B,D仍构成调和点列。

3.阿波罗尼斯圆：如图，A,B为平面中两定点，则满足

AP

=λ(λ≠1)的点P的轨迹为圆O，A,B互为反BP演点。由调和点列定义可知，圆O与直线AB交点C,D满足A,C,B,D四点构成调和点列。

4.极点极线：如图，A,B互为阿圆O反演点，则过B作直线l垂直AB，则称A为l的极点，l为A的极线.

·1·

5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：

(1).二次曲线Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0极点P(x0,y0)对应的极线为x0y+y0xy0+yx+x

+D0+E+F=0222x0y+y0xy0+yx+x

x2→x0x,y2→y0y,xy→,x→0,y→(半代半不代)

222Ax0x+By0y+C

y2x2

(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程2+2=1

ab①极点P(x0,y0)在椭圆外，PA,PB为椭圆的切线，切点为A,B则极线为切点弦AB:

y0yx0x

+=1；a2b2②极点P(x0,y0)在椭圆上，过点P作椭圆的切线l，则极线为切线l:

y0yx0x+=1；a2b2

③极点P(x0,y0)在椭圆内，过点P作椭圆的弦AB，分别过A,B作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线

y0yx0x

+=1；a2b2

(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.

(二)重要性质

性质1：调和点列的几种表示形式

如图，若A,C,B,D四点构成调和点列，则有

ACAD211

==λ⇔=+⇔OC2=OB⋅OA⇔AC⋅AD=AB⋅AO⇔AB⋅OD=AC⋅BDBDBCABADAC·2·

性质2：调和点列与极点极线

如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列(可由阿圆推广)

性质3：极点极线配极原则

若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A．一般称A、D互为共轭点．

推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。

二、典例分析

类型1：客观题中结论的直接运用

例1.(2013•山东)过点（3，1）作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B则直线AB的方程为

(

)

B.2x−y−3=0

C.4x−y−3=0

D.4x+y−3=0

A.2x+y−3=0

解析：直线AB是点（3，1）对应的极线，则方程为3-1x-1+1×y=1，即2x+y-3=0．故选A．xx2

例2.(2010•湖北)已知椭圆C:+y2=1的两个焦点F1，F2，点P(x0,y0)满足0<0+y2则0<1，22xx，直线0+y0y=1与椭圆C的公共点个数是．PF1+PF2的取值范围为

2解析：由题知，点P在椭圆内部且与原点不重合．则当P点在线段F1F2上除原点时，(|PF1|+|PF2|)min=2，当P在椭圆上时，(|PF1|+|PF2|)max=2a=22，则|PF1|+|PF2|的取值范围为[2,22)．点P(x0,y0)和直线

x0x

+y0y=1恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点P在椭圆内，所以极线与椭圆相22

离，故极线与椭圆公共点的个数为0．

点评：因客观题不需要严格证明，所以一些高观点的运用，往往能达到秒解的效果，从这两个高考题也可

·3·

看出，用普通方法也可解出结果，但用极点极线理论基本秒解，这就拉开了尖子生和普通生的差距，达到了高考选拔人才的功能。

类型2：解答题中高观点分析

--记2010年江苏卷一题多解(硬解/整体代换/仿射变换/调和点列/曲线系/极点极线)

y2x2例3.(2010江苏18)在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆+=1的左右顶点为A,B，右顶点为F，

95设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.(1)设动点P满足PF2-PB2=4, 求点P的轨迹；(2)设x1=2,x2=

1

，求点T的坐标；3(3)设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点.(其坐标与m无关)

解析：方法一(高考标准答案1)：直线AT:y=

mm

(x+3)，直线BT:y=(x-3)，设M(x1,y1),N(x2,y2)，126联立AT与椭圆，则x2

1

9+y5=1

2

1

my1=12(x1+3)

得

y=

1

2

x1=240-3m280+m40m80+m2240-3m240m3m2-60-20m

，即M,，同理N,★

80+m280+m220+m220+m2

处理一(特殊+验证)：

当x1=x2(MN垂直x轴)，解得m=210，MN方程为x=1，过定点D(1,0)；当x1≠x2，kMD=定点D(1,0)

240-3m2

x-80+m2处理二(硬解直线方程)：由★得MN方程为：y-40m280+m40m80+m2240-3m2

-1

80+m2-20m20+m23m2-60

-1

20+m2=

10m

,kND=

40-m2=

10m

，及M,D,N三点共线，即M,N过

40-m2=

240-3m23m2-60

-80+m220+m240m-20m

2-80+m20+m2，

令y=0，解得x=1，即M,N过定点(1,0)

·4·

方法二(多元未知数整体处理此法适用于过椭圆两顶点问题)：mm(x+3)，直线BT:y=(x-3)，设M(x1,y1),N(x2,y2)，126y1y2

带入直线AT,BT消去m得×2= ①

x1+3x2-3直线AT:y=

32=-9⋅x-yx+35yx9

由椭圆+=1可得：x2-9=-y2，即，带入①得y9x+3955=-5⋅yx-32

y

-

x+3x-3x-3x+39x1-39x+3

⋅×2=-⋅2，即1×2=2②，①可变形(取倒)为1=2×2③5y15y2y1y2y1y2

x-1x-1(②+③)/3得：1=2(对比直线两点式或与(1，0)斜率)，即M,N过定点(1,0)

y1y2方法三(伸缩(仿射)变换+调和点列)：补充知识.(1)放射变换为另一专题

(2)如图，在ΔABC中，三条高交于点F，高的垂足DE交AF于G，则A,G,F,H成调和点列，即AH

FHAG

=GF本题证明：

y2x2

如图，可将椭圆+=1伸缩变换为x2+y2=9，因为∠AMB=∠ANB=90°，则B为ΔATF高的交

95点，

由上述性质运用知A,D,B,E成调和点列，即N过定点D(1,0)方法四(二次曲线系)：

补充：二次曲线系性质：若三个二次曲线系f1(x,y),f2(x,y),f3(x,y)过4个相同的点，则一定存在两实数λ,

·5·

ADAEa+312

=，设D(a,0)，则=，解得a=1，即M,

3-a6DBBEμ，使得λf1(x,y)+μf2(x,y)=f3(x,y).(可根据六个单项式系数关系求解问题)

本题证明：如图，本题过A,M,B,N四点的二次曲线有y2x2抛物线+=1；

95直线AM:12y-mx-3m=0和BN:6y-mx+3m=0；直线AB:y=0和直线MN:ax+by+c=0

y2x2

所以λy(ax+by+c)+μ(12y-mx-3m)(6y-mx+3m)=+-1，

95观察y与xy的系数有λc+18mμ=0

则c=-a，所以MN:by=a(1-x)，则M,N过定点D(1,0)

λa-18mμ=0，

方法五(极点极线)：补充：性质3

本题证明(利用性质3)：如图，点T的轨迹方程为x=9，即

0×y1×x

+=1，又AM,BN交点在x=9上，由性质2知，95D(1,0)为极点, x=9为对应的极线，即AB,MN交点为D(1,0)，即M,N过定点D(1,0)

点评：2010年江苏高考题被公认为史上最难高考之一，又一次把葛军老师推向风口浪尖，此题官方解答为常规解法，看似简洁，其实其中计算量很大，据说当年没有考生在考场上将此题拿到满分，难度可想而知，但通过高观点(仿射变换/调和点列/二次曲线系/极点极线)分析，我们会发现原来如此“简单”(直接是结论的考察)，所以在平时教学中渗透高观点下的解题思路十分必要，特别是对尖子生的培养。

三、巩固练习

y2x2

1.已知点P为2x+y=4上一动点．过点P作椭圆+=1的两条切线，切点分别A、B，当点P运动

43时，直线AB过定点，该定点的坐标是

．

2.(2014•辽宁)已知点A(−2,3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点F，则直线BF的斜率为(A.

1

2B.

23)

C.

34D.

433.(2011•希望杯)从直线l:AB长度的最小值为

yx

+=1上的任意一点P作圆O：x2+y2=8的两条切线，切点为A、B，则弦84．

y2x2π

4.(2009•安徽)已知点P(x0,y0)在椭圆2+2=1（a>b>0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0<β<，直

2ab

y0yxx

线l2与直线l1:0+2=1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ．

a2b

·6·

y2x2

(I)证明:点P是椭圆2+2=1（a>b>0）与直线l1的唯一交点；

ab(II)证明:tanα,tanβ,tanγ构成等比数列.

5.(2011•四川)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(1)当|CD|=

3

2时，求直线l的方程；2y2x2

6.(2008•安徽)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)过点M(2,1)，且左焦点为F1(-2,0)．

ab(1)求椭圆C的方程；

(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足

|AP|∙|QB|=|AQ|∙|PB|，证明：点Q总在某定直线上．

·7·

参考答案

1.

解析：设点P的坐标是（m,−2m+4），则切点弦AB的方程为

(−2m+4)ymx

+=1，化简得4333，故直线AB过定点2，．44(3x−8y)m=12−16y，令3x−8y=12−16y=0，可得x=2,y=2.解析：由题知，−

p

=−2⇒p=4，则抛物线方程为y2=8x，设过点A作直线与抛物线C相切与另一248

点D，则经过这两个切点的连线BD就是点A对应的极线，其方程是3y=4x-2→y=x-。由于

33点A

在抛物线的准线上，则焦点F在点A的极线上，∴B、F、D三点共线⇒kBF=kBD=

4，故选D．33.解析：设P(8−2m,m)，易知P的极线方程为my+(8−2m)x=8，即m(2x−y)=8x−8可得弦AB必过1，2，易得圆O：x2+y2=8上，过1，2的最短的弦长为2r2−d2max=23．4.

分析：(Ⅰ)由题知，P(x0,y0)与直线l1是椭圆的一对极点极线，则直线l1与椭圆相切，点P为切点，

5.解析：(2)此题可以用常规方法和曲线系法，具体内容请参考上一讲，本专题研究一下其极点极线性质，y20×y对椭圆+x2=1，若以点P为极点，则其对应的极线过点Q,设P(m,0)，其极线方程为+mx=

221，即x=

111，故可设点Q的坐标为,yQ，所以OP•OQ=(m,0)•,yQ=1，即OP•OQ为定值1．mmm2

c=212

y21x22

6.解析：(1)由题意得a2+b2=1，解得a=4,b=2，所求椭圆方程为+=1．

42c2=a2−b2

PBQB(2)解法：已知=，说明点P,Q关于椭圆调和共轭，根据定理3，点Q在点P对应的极线上，此

PAQA极线方程为

1⋅y4⋅x+=1，化简得2x+y−2=0．故点Q总在直线2x+y−2=042·8·