数字信号处理 复习文档 第05章 离散时间信号与时域分析

第五章.离散时间信号与时域分析

一.离散傅里叶级数（DFT） 1.信号ejn基本特征

0信号ej0n

周 期 性：ej0(nN)ej0n基波频率：

0m时有理数时具有周期性 2N20 Nm2) 0基波周期：Nm(

2.信号ej0t与ej0n之间的差别

ej0t ej0n 频率相差2，信号相同 仅当0不同，信号不同 对于任何0值，都是周期的 基波频率：0 2m时，才有周期性（(N0),m,均为整数）） N0 m基波信号00无定义基波周期：2 0o000无定义基波信号：2 m()0o0 3.DFS系数与IDFS变换对

2N1N1jk()nknNDFS系数X(k)x(n)ex(n)WNn0n0 X(k)2N1N1jk()n1knIDFS系数x(n)1NX(k)eX(k)WNNNn0n0x(n)DFS

4.离散傅里叶级数的性质

线 性 若x3(n)x1(n)x2(n)，则X3(k)X1(k)X2(k) 移位 卷积

时间移位 若x(n)频域移位 若x(n)DFSDFSX(k)，则x(nm)X(k)，则Wx(n)123DFSDFSknWNX(k) DFS[x(nlN)]X(k) 周期时域移位 二.离散时间傅里叶变换DTFT

1. 离散时间傅里叶变换DTFT

qnNX(kq) 若x3(n)x(m)x(nm)，则Xm0N1(k)X1(k)X2(k) 1频域移位 若x3(n)x1(n)x2(n)，则X3(k)NXl0N11(l)X2(kl)

x(n) ○1非周期信号：x(n)0nN1

nN11jnx(n)X()ed22 离散时间傅里叶变换 应用条件：x(n) nX()1x(n)ejnNn ○2周期信号：

2X()2ak(k)

Nn1akNnN1x(n)eN1jk(2)nN

2.离散时间傅里叶变换性质

周 期 性 线 性 总是周期的，周期是2。 若x1(n)X1()，x2(n)X2() X1()bX2() 则ax1(n)bx2(n)aX()X() 对 称 性 Re[X()]偶函数 Im[X()]奇函数X()的模偶函数 X()的相位奇函数移位 时 移 频 移 若x(n)若x(n)X() 则x(nn0)X() 则ej0nx(n)ej0nX() X(0) 差 分 求 和 mx(m)n1X()X(0)(2k) j1eku(n)1(2k) j1ek若x(n)时 间 尺 度 X() 则x(n)X() nx()n是k的倍数 x(k)(n)x(k)(n)kn不是k的倍数0X(k) 频 域 微 分 nx(n)dX() jd2帕塞瓦尔定理 nx(n)122X()d X()：能量谱密度 22122x(n)ak 序列一个周期的能量：NnNnN卷 积 性 质 若y(n)x(n)h(n) 则Y()X()H() 连续信号 离散信号 备 注 周期离散连续非周期 非周期连续离散周期

第六章.连续时间信号与时域系统分析

一.拉氏变换定义

1.不满足绝对可积信号为什么不能用傅氏变换 原因：信号衰减太慢或不衰减 （为了克服这种困难，可以用一个收敛因子与f(t)相乘）。 2.拉氏变换的导出 FT[f(t)et]f(t)etejtdtf(t)e(j)tdt  令sj 则：象函数：F(s)LT[f(t)]f(t)estdt  原函数：f(t)LT[F(s)]12jj1jF(s)estds 3.拉氏变换的收敛域 F(s)存在的条件：f(t)estdt 0 limf(t)et0（充分条件） t信号特点 有始有终，能量有限 收敛域特点 坐标轴落于，全部s平面都属于收敛区 幅度即不增长也不衰减而等于稳定收敛坐标落于原点，s平面右半平面属于收敛区 值，或随时间t,tn成比例增长的信号 按指数规律增长的信号et， 右边信号 左边信号 双边信号 只有当时才收敛，所以收敛坐标为0 收敛域在收敛轴以右的s平面，即 收敛域在收敛轴以左的s平面，即 收敛域为s平面的带状区域，即 二.拉氏反变换

部分分式展开法 F1(s)K1pK11K12F2(s) pp1(ss1)(ss1)(ss1)ss1K11(ss1)pF1(s)dK12[(ss1)pF1(s)]ss1ds1di1pK11[(ss)F1(s)]ss11i1(i1)!ds 留数法 1spi一阶级点的留数 Res[F(s)est][(spi)F(s)est]spi 1dk1[k1(spi)F(s)est]spi 2spi是k阶极点 Res[F(s)e](k1)!dsst注意：留数法中的F(s)应是真分式，若不是应用长除法变成真分式后再用留数法。

三.拉氏变换的性质 1.拉氏变换的性质

连续拉普拉斯变换性质及其对偶关系 拉氏变换 ：F(s)1f(t)etdt j 傅氏反变换：f(t)2jjF(s)estds 相对偶的连续拉普拉斯变换对 备注 名称 连续时间函数f(t) 拉氏变换F(s) 备注 连续拉普拉斯变换对 名称 线 性 连续时间函数f(t) 拉氏变换F(s) f1(t)f2(t) 收敛域F1(s)F2(s) 收敛域为函数收敛域重叠部分 1,2 f(at),a0 尺度比例变换 收敛域：1sF() aa收敛域：c ac,a0 1 △ 时 移 f(tt0)u(tt0) 收敛域：F(s)est0 收敛域：c c 2 △3 △5 △f(t)es0t 复 频 移 收敛域：F(ss0) 收敛域： 4 △c 0c 时域微分性质 df(t) dtsF(s)f(0) F(s)f1(0) ss(1)s域微分性质 tf(t) dF(s) ds时域积分性质 tf()d 其中s域积分性质 f(0)0f(t) t1sF(s1)ds1 f(t)dt 时域卷积性质 初值定理 f(t)*h(t) F(s)H(s) 6 △s域卷积性质 终值定理 f(t)p(t) 2jts0F(s)*P(s) 6 △f(0)limf(t)limsF(s) t0sf()limf(t)limsF(s) 2.拉氏变换的性质备注

备注序号 备注内容 △1 st01sa1. 既有时移又有尺度变换：f(att0)u(att0)F()e,c aa既有时移又有复频移：es0(tt0)f(tt0)u(tt0)es0tF(ss0) 2. 证明：LT[es0(tt0)f(tt0)u(tt0)]es0(tt0)f(tt0)estdt t0令：xtt0,dxdt 则：LT[es0(tt0)f(tt0)u(tt0)]e0s0xf(x)eesxst0dte st00f(x)e(ss0)xdtest0F(ss0) △△

2 注意：时移特性只适于求f(tt0)u(tt0)的拉式变换 右边信号可写作f(t)f0(tnT)u(tnT)，其中f0(t)u(t)u(tt0) n03 dnf(t)nn1n2'(n1)sF(s)sf(0)sf(0)f(0) ndt △△4 dnF(s)1.(t)f(t) ndsn2.证明：F(s)f(t)edt 0stF(s)f(t)edt00tt0stdstf(t)[e]dt[tf(t)]estdtLT[tf(t)] 0ds05 证明：tf(x)dx00f(x)dxf(x)dx LT[f(x)dx]LT[f(x)dx]LT[f(x)dx] 0ttt1(1)1 LT[f(x)dx]f(0) LT[f(x)dx][f(x)dx]estdt0F(s) 000ss11 LT[f(x)dx]F(s)f(1)(0) sst注意：LT[t01f(x)dx]F(s) stt100tn10f(x)dxdtn1dt11F(s) ns△6 1. 注意1F(s)必须是真分式 ，如果不是要利用长除法变成真分式项F0(s)，再利用初值定理。 2初值定理是f(x)在t0时刻的值。 0df(t)df(t)df(t)stst2. 证明：sF(s)f(0)edtedtestdt 000dtdtdt 在区间(0,0),t0,est0t01 sF(s)f(0)f(t)0df(t)df(t)stedtf(0)f(0)estdt 00dtdt 令s，则f(0)limsF(s) s△7 1. 终值定理存在条件：F(s)的极点全部落在左半s平面或在s0处只有一阶级点。 2. 证明：sF(s)f(0)0df(t)stedt 令s0 dt则limsF(s)f(0)lims0s00df(t)stedtf()f(0) f()limsF(s) s0dt3.双边拉氏变换

1.收敛条件：t 则拉氏变换在12区域上存在。 tlimf(t)e02tlimf(t)et01 相同的双边拉式变换式，当取不同的收敛域时，其f(t)是各异的。 2.双边拉式变换的求法 f(t)f1(t)f2(t)f(t)u(t)f(t)u(t) 对上进行双边拉氏变换 FB(s)f(t)u(t)edtf(t)u(t)estdtFB(s)FB(s)F1(s)F2(s) 12 0120st213. 双边拉氏反变换 留数法f(t)2jj1jst[对的右边F(s)e极点的留数],t0Bst F(s)edsst[对的右边FB(s)e极点的留数],t0注意：F(s)应该是真分数

4.双边拉氏变换对与双边Z变换对

双边拉氏变换对与双边Z变换对的类比关系 F(s)f(t)estdt F(z)nf[n]zn 双边拉氏变换对 重要 连续时间函数f(t) √ √ √ √ √ √ √ √ √ 像函数F(s)和收敛域 1,整个s平面 sk，有限s平面 双边Z变换对 离散时间序列f[n] 像函数F(z)和收敛域 1，整个Z平面 重要 √ √ √ √ √ √ (t) [n] k[n] u[n] （k）(t) u(t) tu(t) (1z1)k，z0 1s，Re{s}0 1(1z1)，z1 1(1z1)，z1 21s2，Re{s}0 tu(t)，Re{s}0 (n1)u[n] u[n1] u(t) tu(t) tk1u(t) (k1)!1(1z1)，z1 1(1z1)，z1 21s2，Re{s}0 1,Re{s}0 ks1,Re{s}Re(a) sa(n1)u[n1] (nk1)!n!(k1)!u[n1] 1(1z)，z1 1keatu(t) teu(t) tk1ateu(t) (k1)!atanu[n] 1(1az1)，za 1(1az1)，za 1(1az1)，za k21,Re{s}Re(a) 2(sa)1,Re{s}Re(a) k(sa)1,Re{s}Re(a) sas，Re{s}0 22s0(n1)anu[n] (nk1)!nau[n] n!(k1)!au[n1] cos0nu[n] sin0nu[n] neu(t) cos0tu(t) sin0tu(t) at1(1az1), za 1(cos0)z1 121(2cos0)zz(sin0)z1 121(2cos0)zz1(acos0)z1 121(2acos0)zz(asin0)z1 121(2acos0)zz(aa)z1110，Re{s}0 22s0s(sa)022ecos0tu(t) at，Re{s}a ，Re{s}a acos0nu[n] ansin0nu[n] an，a1 neatsin0tu(t) eat，Re{a}0 Re{a}0 eatsgn(t)，02(sa)022asa2ssa2222Re{a}Re{s}Re{a} ，(1az)(1az)1z1211，a，az1a Re{a}Re{s}Re{a} ，asgn[n]，a1 n(1az)(1az)11z1a 5.复频域分析

1拉氏变换及求解微分方程的三步法： 1. 对微分方程逐项取拉式变换，利用微分性质，待遇初始值。 2. 对拉氏变换方程进行代数运算，求出相应的象函数 3. 对响应的象函数进行拉氏反变换，得到全响应的是与表达式 2.电源 2电路系统的分析 1.基尔霍夫定律：对任意节点，在任意时刻流入流出节点电流的代数和恒为零

6.拉氏变换和傅氏变换的关系

1 2.单边拉氏变换和傅氏变换的关系 F(s)f(t)estdt c 0F()f(t)ejtdt 1○2○3○c0时，傅氏变换不存在，F()和F(s)不能互换 0时，F()F(s)sj 0时，拉氏和傅氏变换均存在，但拉氏变换中有冲激函数和各cc阶导数项 F(s)在j轴上有单值极点 NA(s)KiF(s)Fa(s) Fa(s)为极点在左半平面的部分分式和 B(s)i1sjiF()F(s)sjKi(i) i1N总结： 任何有傅氏函数变换的有始信号，必然存在拉氏变换 存在拉氏变换的任何有时信号，不一定有傅氏变换

第七章.Z变换

一.Z变换的定义

n[x(n)en]ejnx(n)znX(z)

n令ejz X(z)nx(n)zn

二.Z变换和傅氏变换及拉氏变换的关系 1.拉氏变换与傅氏变换的关系 X(z)zejX(ej)X() 2.Z变换与拉氏变换的关系 Xs(s)s1lnzX(z)T X(z)zesTXs(s)3.Z平面与s平面的映射关系 0r1 ○1s平面的原点，影射z平面，即z1的点 01 ○2不同取值的zs平面影射关系 s平面 0 左半平面 0 虚轴 r1 0 右半平面 r1 为常数： 从左向右移 z平面 r1 r为常数：0 半径扩大 单位圆内 单位圆上 单位圆外 时域序列和z变换收敛域的对应关系 ： ○3s平面0，实轴z平面0，正实轴

○4zs影射不是单值的 时域序列 z 变换收敛域 n0 2 不包括 H(z)zeH(e) 其中T z 0，但包括 ssn0 包括z0，但包括 ○5傅氏变换、拉氏变换和z变换的关系 n1nn2 不包括z0和z j2j三.Z反变换

围线积分与极点留数法 x(n)12jcX(z)zn1dz 围线c是在X(z)的收敛域内环绕z平面原点逆时针旋转的一条封闭曲线

x(n)[X(z)zn1在围线c内的极点上的留数] z0是一阶极点： Res[X(z)zn1][X(z)zn1](zz0) z0是s阶极点：Res[X(z)zn1zz0

1ds1n1s]s1[X(z)z(zz1)] (s1)!dzzz11n1 n0时， x(n)X()pdp 'c2jp1

四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法

X(z)(zq)rM(zz)kk1r1N 当z1时，即zej时

X(e)jj(eqr)j(ezk)k1r1NM=X(e)ejj()ejqrArejr 令j jkezkBke于是X(e)jABk1r1NMr ()rk

r1k1MNk注意：1在z0处加入或除去零点，不会使幅度特性发生变化，而只影响相位变化。

2当ej点旋转到某极点zi附近时，如果矢量长度Bi变短，则频率特性在该点处可能出现峰值。若极点 zi愈靠近单位圆，Bi愈短，则频率特性在峰值附近愈尖锐，如果落在单位圆上，则频率特性的峰值

趋近于无穷大

五.Z变换性质

Z变换性质及其对偶关系 Z变换：X(z)nn x(n)z 傅氏反变换：x(n)z变换对

2jc1X(z)zn1dz 相对偶的z变换对 名称 离散时间函数x(n) ax(n)by(n) z变换F(z) aX(z)bY(z) 收敛域r1备注 名称 离散时间函数 z变换F(z) 备注 线 性 收敛域rx1zrx2ry1zry2zr2 r1max(rx1,rx2)r2min(ry1,ry2)1 △ ax(n) 尺度比例变换 收敛域：rx1nZX() a收敛域：rx1zrx2 zrx2 a2 △Z域尺度变换 时 移 x(nn0) 收敛域：rx1zn0X(z) 收敛域：rx1zrx2 zrx2 3 △ Z 频 移 ej0nx(n) 收敛域：rx1X(ej0z) 收敛域：rx1zrx2 zrx2 4 △5 △ 时域微分性质 时域卷积性质 Z域微分性质 nx(n) x(n)h(n) zdX(z) dzx(n)*h(n) 若x(n)是因果序列，则 X(z)H(z) Z域卷积性质 z1X()H(v)vdv c2j1v1若x(n)是因果序列，且其Z变换除在z1处有一阶极点初值定理 x(0)limx(n)limX(z) n0z 终值定理 外其它极点都在单位圆z1以内，则 x()limx(n)lim[(z1)X(z)] nz1Z变换性质备注

备注序号 备注内容 1 △2 △3 △注意：只有Z变换有零、极点被抵消，收敛域一定扩大 11ZZZX(),rx1rx2 anx(n)X(az),rx1azrx2 (1)nx(n)X(z),rx1zrx2 (1)nx(n)zzZ单边时移：若x(n)u(n)X(z) Zzm[X(z)x(k)zk] 则x(nm)u(n)k01m1ZT[x(n1)u(n)]zX(z)zx(0)ZT[x(n2)u(n)]zX(z)z2x(0)zx(1)ZT[x(n1)u(n)]zX(z)x(1)1 21ZT[x(n2)u(n)]zX(z)zx(1)x(2)Zzm[X(z)x(k)zk] x(nm)u(n)km4 △5 △

Zz0nx(n)X(z),z0rx1zz0rx2 z02dX(z)dX(z)dmZZmn2x(n)z2z nx(n)[]X(z) 2dzdzdz

六.系统函数H(z)的应用

1.根据系统函数H(z)零、极点分布情况，可分析单位样值响应2.系统的因果性、稳定性 h(n)的变化规律 极点位置 单位圆上 h(n)的特点 等幅 系统特征 因果的 稳定的 因果、稳定的 H(z)的收敛域 收敛域位于最外面极点的外边 收敛域一定包括单位圆 全部极点位于单位圆以内 0时，z1 单位圆内 单位圆外 z u(n)z1减幅 增幅 七．数字滤波器

无限冲激响应IIR按单位样值响应h(n)的时间特性分类

有限冲激响应FIR第八章.系统函数与状态变量分析

一.零极点和系统稳定性、因果性

1.H(s)、H(z)收敛域及系统特点 极点 收敛域 H(s)的特点 收敛域内无H(s)的任何极点 H(z)的特点 收敛域内无H(z)的任何极点 收敛域是一些平行于虚轴的带状区域，该区域收敛域是在Z平面内以原点为中心的圆环，以极点为限 该圆环以极点为限 因果系统 H(s)的收敛域在S平面内最右边极点的右半H(z)的收敛域在Z平面内的最外面极点的开平面 外边 稳定系统 因果稳定系统 注意： H(s)的收敛域包含虚轴 H(s)的极点全部位于S平面的左半面 H(z)的收敛域包含单位圆 H(z)的极点全部位于单位圆内 极点确定了h(t)的时域波形，对h(t)的幅度和相位也有影响 零点只影响h(t)的幅度和相位，对h(t)的时域波形无影响 2.系统稳定性定义： 若输入f(t)M，t，Mf为有限常数；则输出y(t)My，t，Mf为有限常数 一个线性时不变系统，若它的单位冲激响应是绝对可积的，则系统一定是稳定的。

3.劳斯—霍尔维茨稳定性判据 系统特征方程为 a0sna1sn1a2sn2an1san0 第1行anan2第2行an1an3 第3行an4an5C2C3AiAi1Bi2Ai2Bi1Ai11当阵列的第一列的元素符号变化相同（同为正或同为负），则特征方程的全部根位于左半平面，系统稳定。 2当阵列的第一列元素Ai出现零值 ○1用一个无穷小量代替零 A2A3B2B3ACAi2Ci1Bii1i2 Ai1CiAi1Di2Ai2Di1Ai1第4行 12把特征方程中的换成 s○s二.信号流图

Mason公式：

1n TTkk

k1 —称为流图的特征行列式

=1-（所有不同环路的增益之和）+（每两个互不接触环路增益乘积之和）-（每三个互不接触环路增益乘积之

和）+

k—表示有源点到阱点之间第k条前向通路的标号 gk—表示有源点到阱点之间的第k条前向通路的增益

k—它是除去与第k条前向通路相连接的环路外，余下的特征行列式。

三.系统模拟

连接形式 系统函数 流图表达 直联形式 串联形式 (1ks1)(10ks11ks2)H(s)A 1121ks)k1(1ks)k1(10kspnp2 p2并联形式 k0ks11ks2H(s)A 1121ksk1(1ks)k110kspn四.连续系统离散化

1脉冲响应不变法

hc(t)：连续时间系统单位冲激响应

hd(n)：离散时间系统的单位冲激响应 hd(n)hc(nT)

12kHd(e)Hc(j())

TkTTj2向后差分近似法

dy(t)y(n)y(n1)dtT 2 dy(t)y(n)2y(n1)y(n2)2dtT2五.状态方程与输出方程

系统中有几个独立记忆元件，就有几个独立的状态变量 状态方程 x'AxBf 输出方程 yCxDf

x1'(t)0'x2(t)0'xn1(t)0x'(t)an0100010x1(t)1x(t)022f(t) 01x(t)n1n1an1xn(t)n0a1a2y(t)100x1(t)x(t)20f(t) 0x(t)n1x(t)n六.状态方程的建立

1从电路系统求状态方程

1选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也选取电容电荷与电感磁链 ○

2对包含有电感的回路列写回路电压方程，其中必然包含L○

diL(t)，对连接由电容的结点列写结点电流方程，其中必然包含dtdvc(t)，注意只能将此项放在方程左边 Cdt3把方程中非状态变量用状态变量表示 ○

4把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。状态变量的个数k等于系统的阶数 ○

2从信号流图建立状态方程

方法：从最后一个结点开始依次向前取x1,x2,x3,

七.状态方程和输出方程的解法

时域形式 连续时间系统 x(t)LT1[(sIA)1x(0)]LT1[(sIA)1B]LT1F(s) 离散时间系统 x(n)LT1[(zIA)1z]x(0)LT1[(sIA)1B]LT1F(s) y(t)CeAtx(0)[CeAtBD(t)]f(t) 零输入解零状态解y(n)LT1[C(zIA)1z]x(0)LT1[C(zIA)1BD]LT1F(s) 零输入解零状态解

变换域形式 X(s)(sIA)1x(0)(sIA)1BF(s) X(z)(zIA)1zx(0)(sIA)1BF(s) Y(s)(sIA)1x(0)[C(sIA)1BD]F(s) 零输入解零状态解Y(z)C(zIA)1zx(0)[C(zIA)1BD]F(s) 零输入解零状态解H(s)C(sIA)1BD 备注 状态转移矩阵(t)eAtLT1[(sIA)1] H(s)C(sIA)1BD (t)的主要性质： 1(0)I 2(t2t0)(t2t1)(t1t0) 3(t1t2)(t1)(t2) 4(nt)[(t)]n 5(t)1(t) 6'(tt0)A(tt0)(tt0)AAI'(0) 八.状态方程判断和系统的稳定性、可控性、可测性

1.稳定性 系统函数 稳定性 稳定 2.可控性 1.定义：能否找到任意初态转移到任意终态的控制量问题 2.可控性条件： 3.可测性 1定义：能否通过观测输入量来确定系统的初态问题 CCA s是满秩的 2.可测性条件：sn1CA连续时间系统 离散时间系统 H(s)C(sIA)1BD sIA0的根位于s平面的右半平面时H(s)C(sIA)1BD zIA0的全部根位于Z平面的单位圆内时稳定 W(B,AB,A2B,,An1B) W是满秩的，即W的行列式为零