高中数学第四章4.1指数讲义新人教A版必修第一册

mn最新课程标准：通过对有理数指数幂ax (a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实

数指数幂a(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

知识点一 n次方根及根式的概念 1．a的n次方根的定义

如果x＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N. 2．a的n次方根的表示

(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为a，a∈R.

(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为±a，其中－a表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．

3．根式

式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 状元随笔 根式的概念中要求n>1，且n∈N. 知识点二 根式的性质 (1)(a)＝a(n∈R，且n>1)； (2)a*

n*

nnnnnn＋

nnan为奇数，且n>1，

＝

|a|n为偶数，且n>1.

nnnn状元随笔 (a)中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而a中a∈R. 知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运 算性质

1．分数指数幂的意义

分数指数幂 正分数 指数幂 规定：amn＝a(a>0，m，n∈N，且n>1) nm* 1

负分数 指数幂 性质 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aa＝arsrsr＋s规定：amn＝1man＝1(a>0，m，n∈N，且n>1) *nam0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 ；(a>0，r，s∈Q)

(2)(a)＝a；(a>0，r，s∈Q) (3)(ab)＝ab.(a>0，b>0，r∈Q) 3．无理数指数幂

无理数指数幂a(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

αrrrrs[教材解难]

1．教材P105思考

3245

可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把a，b，c等写成下列形式： 3

a＝a (a>0)，

12542

23b＝b4

(b>0)，

c5＝c (c>0)．

2．教材P108思考 无理数指数幂23

的含义：就是一串以3的不足近似值为指数、以2为底数的有理数

指数幂和另一串同样以3的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故23

是一个确定的实数．

[基础自测]

1.π－4＋π等于( ) A．4 B．2π－4 C．2π－4或4 D．4－2π

解析：π－4＋π＝4－π＋π＝4.故选A. 答案：A

2．b＝3(b>0)，则b等于( )

2

4

2

2

1A．34

B．3

4

C．43

D．35

解析：因为b4

＝3(b>0)，∴b＝43＝314.

答案：B

3．下列各式正确的是( ) A.－32

＝－3 B.4a4＝a C．(3－2)3＝－2 D.3－23

＝2

解析：由于－32＝3，4a4＝|a|，3－23

＝－2，故选项A，B，D错误，故选C. 答案：C

14.81625

4

的值是________． 11解析：8162544＝62581

4625454

4

＝ 5481＝3

4

＝ 3

＝53

.

答案：5

3

题型一 利用根式的性质化简求值[经典例题] 例1 (1)下列各式正确的是( ) A.8a8＝a B．a0

＝1 C. 4－44＝－4 D. 5－55＝－5 (2)计算下列各式： ① 5－a5

＝________. ② 63－π6＝________.

3

③ 13336－3－0.125＝________. 48

|a|，n为偶数，nn

【解析】 (1)由于a＝

a，n为奇数，

则选项A，C排除，D正确，B需要加条

件a≠0.

55

(2)① －a＝－a.

6666

② 3－π＝π－3＝π－3. ③ 13336－3－0.125＝48

523333135311

－－＝－－＝. 2222222

nn

首先确定式子a中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果． 1

【答案】 (1)D (2)①－a ②π－3 ③ 2 方法归纳

根式化简或求值的策略

(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．

跟踪训练1 求下列各式的值：

3432

(1) －2； (2) －3； 878227

(3) 3－π； (4) x－2xy＋y＋ y－x. 33

解析：(1) －2＝－2； 4422

(2) －3＝ 3＝ 3； 88(3) 3－π＝|3－π|＝π－3； (4)原式＝ x－y＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x2

4

0，x≥y，

所以原式＝

2y－x，x34

由根式被开方数正负讨论x≥y，x例2 (1)将分数指数幂a (a>0)化为根式为________．

531092

(2)化简：(a·a)÷(a·a)＝________.(用分数指数幂表示)．

利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．

323

①a·a. ②

a－4b2ab2(a>0，b>0)．

3411＝＝ 34aa34

351291013575137553

【解析】 (1)a5310922

(2)(a·a)÷(a·a)＝(a·a)÷(a·a

65)＝a÷a＝a＝a 65【答案】 (1)

14

(2)a (3)①a·

3

3

a＝a·a23

233+＝a23＝a113. ②

a3

13

1233

11833

a－4b2ab2＝

方法归纳

3

a－4b2·ab2＝ a－4b2ab＝ a－b＝a116b43.

根式与分数指数幂互化的方法及思路

(1)方法：根指数指数的分子．

(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指

5

分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数

数幂的运算性质解题．

提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．

跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )

1A.－x＝(－x) 2 (x>0)

1B.6y2

＝y3 (y<0) 344

C．x＝ 13x

(x>0) 1D．x3＝－3

x(x≠0)

111解析：－x＝－x2 (x>0)；6y2＝(y2

)6＝－y3 (y<0)；

3144

11x＝(x－3

)

4＝

13(3＝1x

x>0)；xx331

＝x(x≠0)． 答案：C

1A：－x先把 x＝x2再加上－.

B：注意y<0.

C：负指数次幂运算．

题型三 分数指数幂的运算与化简[教材P106例4] 例3 计算下列各式(式中字母均是正数)：

2111(1)（2a3b2）（－6a2b315）÷（－3a6b6）；

1-3(2)（m4n8）8

；

(3)(3a2－a3)÷4a2.

211115【解析】 (1) （2a3b2）（－6a2b3）÷（－3a6b6）

6

＝[2×(－6)÷(－3)]a ＝4ab ＝4a；

0

211+326b115236

(2) （m14-n3818388

）＝mn－

48

＝mn

2－3

m2

＝3；

n32423

(3)(a－a)÷a＝（a23123223－a32）÷a12

＝a÷a－a÷a12

＝a213216－a3122

＝a－a 6

＝a－a.

状元随笔 ①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．

教材反思

利用指数幂的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

7

0

跟踪训练3 计算：

3－233213

3－(1)(－1.8)＋·＋9； 

280.01

0

1(2)2·4

1(a>0，b>0)． 1

0.1·ab

2

－2

3－3

4ab

－13

232222732232

解析：(1)原式＝1＋·－10＋9＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.

3832

333

2·a·b－

221142

(2)原式＝4·0.1·＝2××8＝.

23310025

a·b－22

状元随笔 先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．

一、选择题

1．将－22化为分数指数幂，其形式是( )

1212123

A．2 B．－212

C．2 D．－2

3

解析： －22＝(－22)答案：B

13＝(－2×2

12)

13＝(－2)2

133＝－2

12.

8

12．若a4 (a－2)0

有意义，则a的取值范围是( )

A．a≥0 B．a＝2 C．a≠2 D．a≥0且a≠2

解析：要使原式有意义，只需

a≥0

a



－2≠0

，∴a≥0且a≠2. 答案：D 3．化简

－x3

x的结果是( )

A．－－x B.x C．－x D.－x 解析：依题意知x<0，所以－x3

－x3x＝－

x2

＝－－x.

答案：A

3

4．化简(

6

6

a9)4·(

3

a9)4的结果是( )

A．a16

B．a8

C．a4

D．a2

3

6解析：(

6

a9)4·(3

a9)4

44＝(6a9

)

3·(3a9)

6

94929492＝(a6)3·(a3)3＝a63·a33＝a4

.

答案：C 二、填空题 35. 61334－38

＋0.125的值为________． 解析：原式＝ 5232－ 3233＋ 123

＝5313

2－2＋2＝2

.

9

3答案： 2

1α＋β＝____________________. 2

6．设α，β为方程2x＋3x＋1＝0的两个根，则

4

3331α＋β＝12＝(2－2) 2＝23＝8.

解析：由根与系数关系得α＋β＝－，所以244

答案：8

7．若 x2

＋2x＋1＋y2

＋6y＋9＝0，则(x2019)y＝________.

解析：∵x2

＋2x＋1＋y2

＋6y＋9＝0， ∴x＋12

＋y＋32

＝|x＋1|＋|y＋3|＝0， ∴x＝－1，y＝－3. ∴(x2019)y＝[(－1)

2019]－3

＝(－1)－3

＝－1.

答案：－1

三、解答题

8．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)： (1)a2

a； (2)3

a2·a3；

(3)(3

a)2

·ab3

； (4)

a2

.

6

a5

12+15解析：(1)原式＝a2

a2＝a2＝a2.

232313(2)原式＝a3·a2＝a32＝a6. 1121321373(3)原式＝(a3)2·(ab3

)

2＝a3·a2b2＝a32b2＝a6b2.

-52-57(4)原式＝a2

·a6＝a6＝a6.

9．计算下列各式：

14(1)0.064

3－5－703－

＋[(－2)]3＋160.75； 10

2192273＋(－1.5)－2； 0

(2) －(－9.6)－－48

3(3)－3 8

23＋0.002

12－10(5－2)＋(5－2).

－10

51127－1－4－3

解析：(1)原式＝0.4－1＋(－2)＋2＝－1＋＋＝.

216816

21322333＋－3－2＝3－1－－3－2＋－22＝1. (2)原式＝－1－－2232

222

(3)原式＝(－1) ＋2)＋1

23221133＋12－10＋1＝273＋5002－10(5·3500885－2

4167

＝＋105－105－20＋1＝－. 99

[尖子生题库]

121210．已知a－1

＋a2

＝5，求下列各式的值：

－2

2

－2

(1)a＋a；(2)a＋a；(3)a－a.

1212解析：(1)将a－1

＋a＝5两边平方，

得a＋a＋2＝5， 则a＋a＝3.

(2)由a＋a＝3两边平方， 得a＋a＋2＝9， 则a＋a＝7.

(3)设y＝a－a，两边平方， 得y＝a＋a－2 ＝(a＋a)－4 ＝7－4

22

－22

2

4

－42

－2

2

－2

2

－2

－1－1

11

＝45，

所以y＝±35， 即a－a＝±35.

2

－2

12