数列极限的收敛准则

第一讲 数列极限

一、数列极限的收敛准则

1. 数列极限的夹逼准则

a) 数列

xn，yn，zn满足：

i. ynxnznnN0

nlimynnlimzna

则数列

xn的极限存在，且nlimxna

n!b) 例1、求极限

nlimnn0 注：n!123n

11例2、求极限nlim12n3nn 注：nnlima1 (a>0)

11n练习：1、

nlim1nn2 注：运用重要极限

nlim(11nn)e2、求nlimnan1an2ank，(其中 a1,a2,,ak为正常数, kZ.)2. 单调数列的收敛准则

ii.

1

a) 单调增加有上界的数列必收敛；

b) 单调递减有下界的数列必收敛；

通常说成：单调有界的数列必收敛。

1n例1． 证明

nlim(1n)e 注：补充二项式定理

例2． 设

x110，xn16xn，证明数列xn极限存在，并求其极限。例3． 设

x12，xn12xn，证明数列xn极限存在，并求其极限。注：补充数学归纳法 例1、证明13(2n1)n2

111例2、证明

123n2n 思考：1、有界数列是否收敛？

2、数列

xn收敛是否可推出数列

xn收敛？反之是否成立？

3、数列

xn为有界数列，且nlimyn0，数列数列

xnyn是否收敛？

二、收敛数列的性质

2

1. 极限的唯一性。

2. 有界性。问题：有界数列是否收敛？

limxa3. 保号性。问题：若xn0 (nN)，且nn，是否一定有a0？

4. 收敛数列的子数列必收敛。

思考：（1）数列

xn与

yn都发散，是否数列

xnyn与

xnyn也都发散？

（2）若子列

x2n1与

x2n均收敛，则数列

xn是否收敛？

x11（3）设

10，xn12xnxn，证明数列

xn极限存在，并求其极限。

1（4）求nnlim2n3n4n

12n（5）求

nlimn2n1n2n2n2nn

（6）设数列

xn满足：

0x1，

xn1sinxn，证明

nlimxn存在，并求其极限。n2nx 当n为奇数n1n（7）数列

n 当n为偶数，则当n时，

xn是

3

A 无穷小量 B 无穷大量 C 有界变量 D 无界变量

4