自相关函数和自协方差函数

上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性，不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如，随机信号X(t) 分别在t1，t2时刻的随机取值X(t1)，X(t2) 之间的关联程度如何，这种关联称为自关联。同样，我们也要研究两个随机信号X(t)和Y(t)数值之间的关联程度，这种关联性称为X与Y之间的互关联（下一小节介绍）。 1．自相关函数(Autocorrelation function)

自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2，的取值之间的相关程度。 定义6 实随机信号X(t)的自相关函数定义为

（9.2.7）

, 则

由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设 有

数，记为Rxx(t).

2．自协方差函数(Autocovariance function)

自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2，的取值之间的二阶混合中心矩，用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对与均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。

定义7 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为

（9.2.8）

。所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t的函

当

时，有

。

显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。

对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔t的函数，记为Cxx(t),且有: 当均值

时，有

。

有关，且均方值为

(9.2.9)

当随机过程X(t)的均值为常数，相关函数只与时间间隔

有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。它是由一维、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。 3．平稳随机信号自相关函数的性质 设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为 性质：

(1) 即

(9.2.10) (9.2.11)

，自协方差函数

，则有如下

时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差。

(9.2.12)

(2)

即当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数。 (3) 即 (4)若

(5)若均值

，当

(9.2.13)

时的自相关函数、自协方差函数取最大值。

，则其自相关函数也是周期为T的周期函数，即

时，

与

(9.2.14) 相互独立，有

(9.2.15)

与

相互独立，互

即对于零均值的平稳随机信号，当时间间隔 很大时， 不相关。