番禺区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线EF和BC1所成的角是（ ）
A．60° B．45° C．90° D．120°
2． 已知集合A，B，C中，A⊆B，A⊆C，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A的子集最多有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 3． 如果A．1
（m∈R，i表示虚数单位），那么m=（ ） B．﹣1
C．2
D．0
4． 如图，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，设全集U=R，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A．{3} B．{0，1} C．{0，1，2}
5． 下列命题中正确的是（ ）
D．{0，1，2，3}
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题 B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0” C．“
”是“
”的充分不必要条件
”
D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“A．1 B．2
7． 已知向量
C．3
，D．4
，其中
6． 若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（ ）
．则“”是“”成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8． 定义行列式运算：
．若将函数
的图象向左平移m
（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（ ） A．
B．
C．
D．
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9． 已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（ ） A．1
B．
C．
D．
10．若直线l:ykx1与曲线C：f(x)x1A．－1 B．
1没有公共点，则实数k的最大值为（ ） ex1 C．1 D．3 2【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力． 11．在等差数列A．12
中，已知B．24
，则
C．36
（ ）
D．48
12．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ） A．
B．
C．
D．3
二、填空题
13．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．
14．在各项为正数的等比数列{an}中，若a6=a5+2a4，则公比q= ．
15．双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为 ．
16．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．
17．抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为10，则P点的横坐标为 ． 18．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
三、解答题
19．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．
x＝1＋3cos α在直角坐标系中，曲线C1：（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
y＝2＋3sin α
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标系，C2的极坐标方程为ρ＝
2
π
sin（θ＋）
4
.
（1）求C1，C2的普通方程；
3π
（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C3与C1交于点M，N，P是C2上一点，求△PMN的面
4积．
20．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面
ABC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值； （Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．
21．已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，满足4Sn=（an+1）2． （Ⅰ）求数列{an}通项公式；
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（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=
22．已知函数f（x）=
*
（n∈N），求证：b1+b2+…+bn＜．
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
23．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC中，求角B的正弦值.
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24．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16， 相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．
BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝4，D1F＝8，过点E，F，C的平面α与长方体的面
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番禺区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：如图所示，设AB=2，
则A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（2，2，1）． ∴∴∴
=（﹣2，0，2），
==60°．
=（0，1，1），
=
=，
∴异面直线EF和BC1所成的角是60°． 故选：A．
【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2． 【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C； ∴A⊆B∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集． 故选：B．
3． 【答案】A
【解析】解：因为
，
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而
所以，m=1． 故选A．
（m∈R，i表示虚数单位），
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的概念，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．
4． 【答案】C
【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N， ∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}， ∴∁M={x|x≤2}， ∴∁M∩N={0，1，2}， 故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．
5． 【答案】 D
【解析】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确； ““故“
”⇒“
”是“
x
”⇒“+2kπ，或”，
，k∈Z”，
”的必要不充分条件，故C不正确；
”，故D正确．
命题“∀x∈R，2＞0”的否定是“故选D．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
6． 【答案】A
2
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
2
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b， 即a=1，b=0． ∴a+b=1． 故选：A．
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【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
7． 【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若反过来，若
，则，则
或
成立；
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。 故答案为：A 8． 【答案】C
【解析】解：由定义的行列式运算，得
=
==
=．
将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后， 所得图象对应的函数解析式为由该函数为奇函数，得所以
当k=0时，m有最小值故选C．
【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．
9． 【答案】D
，则m=．
，
．
．
【解析】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2）， ∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2）， 2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）， 又k+与2﹣互相垂直， ∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=． 故选：D．
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【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．
10．【答案】C
【解析】令gxfxkx11kx
1，则直线l：ykx1与曲线C：yfx没有公共点，ex11等价于方程gx0在R上没有实数解．假设k1，此时g010，g10．又函1k1ek1数gx的图象连续不断，由零点存在定理，可知gx0在R上至少有一解，与“方程gx0在R上没
有实数解”矛盾，故k1．又k1时,gx为1，故选C．
11．【答案】B 【解析】，所以
答案：B
12．【答案】A 【解析】解：由
，故选B
10,知方程gx0在R上没有实数解，所以k的最大值ex
2
，得3x﹣4x+8=0．
2
△=（﹣4）﹣4×3×8=﹣80＜0．
2
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0 联立
2
，得3x﹣4x﹣m=0．
2
由△=（﹣4）﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
2
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是
2=．
故选：A．
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【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
二、填空题
13．【答案】 5 ．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，a=2
不满足条件a＞4a+1，a=3
22
不满足条件a＞4a+1，a=4
2
不满足条件a＞4a+1，a=5
2
满足条件a＞4a+1，退出循环，输出a的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
14．【答案】 2 ．
2
【解析】解：由a6=a5+2a4得，a4q=a4q+2a4， 即q﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，
2
又各项为正数，则q=2， 故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．
15．【答案】 4 ．
222
【解析】解：双曲线x﹣my=1化为x﹣
=1，
22
∴a=1，b=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
22
∴2a=2×2b，化为a=4b，即1=，
解得m=4．
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故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
16．【答案】63 【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根， 所以a1=1，a3=4．
设等比数列{an}的公比为q，则则
故答案为63．
，所以q=2． ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
17．【答案】 8 ．
2
【解析】解：∵抛物线y=8x=2px， ∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8， 故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
18．【答案】12 【解析】
考
点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，
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本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．
三、解答题
19．【答案】
x＝1＋3cos α
【解析】解：（1）由C1：（α为参数）
y＝2＋3sin α
得（x－1）2＋（y－2）2＝9（cos2α＋sin2α）＝9. 即C1的普通方程为（x－1）2＋（y－2）2＝9， 由C2：ρ＝
2π
sin（θ＋）
4
得
ρ（sin θ＋cos θ）＝2， 即x＋y－2＝0，
即C2的普通方程为x＋y－2＝0.
（2）由C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9得 x2＋y2－2x－4y－4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0， 3π
将θ＝代入上式得
4ρ2－2ρ－4＝0， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，
∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝32. 3
C3：θ＝π（ρ∈R）的直角坐标方程为x＋y＝0，
4
2
∴C2与C3是两平行直线，其距离d＝＝2. 2
11
∴△PMN的面积为S＝|MN|×d＝×32×2＝3.
22即△PMN的面积为3. 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，
∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC， PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直，
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故以O为原点，以的边长为2， ∴
y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，方向分别为x，菱形ABCD
，，
，直线AB与平面PBC成角为θ，
，于是
，
．
设平面PBC的法向量∴∴
（Ⅲ）法一：
设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴又PO⊥平面ABC，∴（∴
），
，取x=1，则
，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为
，
=
，
，
∴
，当且仅当
．
，即
时取等号，
∴四面体PABC体积的最大值为
法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π）， ∴∴设∴∴当∴当
，则
，
时，V'PABC＞0，当时，VPABC取得最大值
时，V'PABC＜0，
，∴四面体PABC体积的最大值为
，（0＜x＜2）
．
，且0＜t＜1，
，
，又PO⊥平面ABC， =
（
），
法三：设PO=x，则BO=x，又PO⊥平面ABC，
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∴∵
22
当且仅当x=8﹣2x，即
，
，
时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为
．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．
21．【答案】
2
【解析】（Ⅰ）解：由4Sn=（an+1），
令n=1，得
2
又4Sn+1=（an+1+1），
，即a1=1，
，整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0．
∴
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，bn=则b1+b2+…+bn===
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=∴由2k
≤+
≤2kπ．
∵an＞0，∴an+1﹣an=2，则{an}是等差数列，
=
，
sincos+cos2=sin（+，k∈Z可解得：4kπ﹣
），
，k∈Z，
≤x≤4kπ
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∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣（Ⅱ）∵f（A）=sin（+
）
，
，4kπ]，k∈Z．
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB， ∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0， ∴cosB=，又0＜B＜π， ∴B=
．
， ， ）＜1，
∴可得0＜A＜∴∴
＜+
＜
sin（+
故函数f（A）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
23．【答案】（1）【解析】
233小时；（2）． 314试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C处相遇. 在ABC中，BAC4575120，AB10，AC9t，BC21t. 由余弦定理得：BCABAC2ABACcosBAC， 所以(21t)10(9t)2109t()，
2222221225或t（舍去）. 3122所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.
32化简得36t9t100，解得t第 15 页，共 17 页
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（2）由AC9226，BC2114. 33在ABC中，由正弦定理得sinB所以角B的正弦值为ACsinBAC6sin120BC1463233. 141433. 14考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示AC,BC，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 24．【答案】 【解析】解：
（1）交线围成的四边形EFCG（如图所示）． （2）∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD， 平面A1B1C1D1∩α＝EF， 平面ABCD∩α＝GC， ∴EF∥GC，同理EG∥FC. ∴四边形EFCG为平行四边形， 过E作EM⊥D1F，垂足为M， ∴EM＝BC＝10，
∵A1E＝4，D1F＝8，∴MF＝4. ∴GC＝EF＝∴GB＝
EM2＋MF2＝102＋42＝116，
GC2－BC2＝
116－100＝4（事实上Rt△EFM≌Rt△CGB）．
过C1作C1H∥FE交EB1于H，连接GH，则四边形EHC1F为平行四边形，由题意知，B1H＝EB1－EH＝12－8＝4＝GB.
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG-FC1C与三棱柱HB1C1GBC两部分组成． 其体积为V2＝V三棱柱EHG-FC1C＋V三棱柱HB1C1GBC ＝S△FC1C·B1C1＋S△GBC·BB1
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11
＝×8×8×10＋×4×10×8＝480， 22
∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V1＝V长方体－V2＝16×10×8－480＝800. V18005∴＝＝， V24803
53
∴其体积比为（也可以）．
35
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