高中函数四性质(单调性、奇偶性、周期性与对称性)

函数四性质之一：单调性

1、定义：对定义在D上的函数f(x)，有x1,x2D 若x1x2，f(x1)f(x2)，则f(x)为单调递增函数 若x1x2，f(x1)f(x2)，则f(x)为单调递减函数 经典例题1、

a证明：函数f(x)x(a0)在(a,)上的单调递增函数。

x

2、常见函数的单调性

一次函数 ykxb k0 k0 二次函数 yax2bxc a0,反比例函数y

bb a0, 2a2ak

k0 k0 x

指数函数 yax 0a1 a1 对数函数 ylogax 0a1 a1 对勾与斜对勾函数 yx

另一组对称函数

aa yx(a0) xxf(x)x21x g(x)x21x

①f(x)为单调增函数， g(x)为单调减函数 ②f(x)•g(x)1，即互为倒数

3、复合函数的单调性

复合函数yf(g(x))，分里函数g(x)，外函数f(x) 单调性遵循四个字：同增异减

经典例题：

设yf(x)是R上的减函数，则yf(x3)的单调递减区间为:______________________

4、组合函数的单调性 增+增=增 减+减=减

通常：一个函数的单调性：在到倒数和添负号两种情况下发生改变。

经典例题3

（1）设函数f(x)ax24(a1)x3在[2,)上递增，则a的取值范围为:_____________

（2）函数f(x)

ax1在区间[2,)上单调递增，刚实数a的取值范围为:_____________ x2

（3）已知f(x)(x1)21，g(x)x21，则f(g(x))在什么范围内递增？

提高练习；

11、已知偶函数f(x)在区间[0,)单调递增，则满足f(2x1)f()的x取值范围为

3______________

2、函数f(x)对任意的a,bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1 （1）求证：f(x)在R上为增函数

（2）若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3

3、设函数f(x)x21ax(a0)，试确定，当a的取什么值时，函数f(x)在[0,)上为单调递减函数？

函数四性质之一：奇偶性

5、定义：在函数定义域对称的前提下，若f(x)f(x)，则函数为偶函数；若f(x)f(x)，则函数为奇函数。

故函数奇偶性的考查分两步：

1、判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶 2、再验证是否f(x)f(x)或f(x)f(x)

经典例题：

1、判断下列函数的奇偶性 （1）f(x)(x3)3x （2）f(x)x33x 3x（3）f(x)x299x2 （4）f(x)lg(x21x)

2、已知函数yf(x)（xR,且x0）对任意的非零实数m,n，恒有f(mn)f(m)f(n)，试判断函数yf(x)的奇偶性

二、奇偶函数的性质

偶函数 奇函数

（1）定义域关于原点对称 （1）定义域关于原点对称 （2）图像关于y轴对称 （2）图像关于原点（0，0）对称 （3）在对称的区域上单调性相反 （3）在对称的区域上单调性相同

（4）如果原点有定义，那么对任意f(x)，都有

f(0)0

经典例题2

（1）函数f(x)ax2bx3ab为偶函数，并且其定义域为[a1,2a]，则2a3b____________

（2）已知f(x)是定义在(,0)(0,)上的偶函数，当x0时，f(x)x2x，则x0时，

f(x)=______

分段函数的奇偶性

已知一半的解析式，如何求解的另一半？口决是： （1）偶函数，则用x代替原来的x；

（2）奇函数，则用x代替原来的x，再整体添上一个负号。

三、常用的奇、偶函数

偶函数 奇函数 （1）f(x)x,4,2,2,4, （1）f(x)x,3,1,1,3, （2）f(x)axax （2）f(x)axax （3）f(x)g(x)g(x) （3）f(x)g(x)g(x) （4）f(xy)f(x)f(y) （4）f(xy)f(x)f(y) （5）f(x)C（常数） （5）f(x)lg1x f(x)lg(x21x) 1xax1 x

a1（6）f(x)xaxa （6）f(x)xaxa （7）f(x)cosx （7）f(x)sinx 其中，f(x)0在定义域上为既奇又偶函数

四、组合函数的奇偶性

偶偶=偶 奇奇=奇 偶偶=偶 偶奇=非奇非偶 奇奇=偶 偶奇=奇 奇奇=偶 偶奇=奇 注意：上述成立需关注即奇又偶函数f(x)0

经典例题3

（1）已知函数f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，那么ax3bx2cx为_________________

（2）已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，若f(x)g(x)

（3）（上海高考）已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)__________

(x1)2x3（4）（全国卷）设函数f(x)在定义域D上的最大值为M，最小值为m,则

x211，则f(x)的解析式为____________ x1M+m=______ （方法：局部奇偶性）

（5）定义在(1,1)上的奇函数，f(x)是减函数，且f(1a)f(1a2)0，求a的取值范围？

1、常见的周期性函数的表达形式：

（1）f(xT)f(x)，这是周期函数的本质与根源。 （2）f(xa)f(xb)，Tab是它的一个周期。 （3）f(xa)f(x)，T2a是它的一个周期。 （4）f(xa)1，T2a是它的一个周期。 f(x)（5）f(xa)f(x)b，T2a是它的一个周期。

2、函数之间对称与自对称

（1）常见的五类对称：（函数之间对称）

①、关于y轴对称，yf(x)yf(x) (x,y)(x,y) ②、关于x轴对称，yf(x)yf(x) (x,y)(x,y) ③、关于原点对称，yf(x)yf(x) (x,y)(x,y) ④、关于yx对称，yf(x)xf(y) (x,y)(y,x)

⑤、关于yx对称，yf(x)xf(y) (x,y)(y,x)

⑥、函数yf(x)关于xa的对称函数为yf(2ax)；或点(x,y)关于xa的对称点为(2ax,y) ⑦、函数yf(x)关于(a,0)的对称函数为yf(2ax)；或点(x,y)关于(a,0)的对称点为

(2ax,y)

⑧、函数yf(x)关于(a,b)的对称函数为2byf(2ax)；或点(x,y)关于(a,b)的对称点为

(2ax,2by)

（2）函数的自对称

（1）f(ax)f(bx)，关于xab对称。 2 特殊地，f(ax)f(ax)，关于xa对称 （2）f(ax)f(bx)，关于(ab,0)中心对称。 2 特殊地，f(ax)f(ax)，关于(a,0)中心对称 （3）f(ax)f(bx)2c，或f(ax)f(bx)2c关于(ab,c)中心对称。 2（4）若f(x)的图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则f(x)必为周期函数，2ab是它的一个周期。

（5）若f(x)的图像有一个对称轴xa和一个对称中心(b,0),(ab) ，则f(x)必为周期函数，

4ab是它的一个周期。

（3）如何区分周期与对称？ 口决：同号周期，异号对称

f(xa)f(xb) 同号周期 f(xa)f(xb) 同号周期 f(ax)f(bx) 异号对称

f(ax)f(bx) 异号对称

（4）对称性与奇偶性

TT

周期为T的奇函数，必有f()0（在x处有定义）

22

经典例题：

1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，周期为2，则f(2019)=___________

52、（全国卷）设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()__________

2

3、（山东卷）定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2，当

1x3叶，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2012)=_______________

3、（辽宁卷）设函数f(x)（xR）满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x[0,1]时，f(x)x3，

13函数g(x)xcosx，则函数h(x)f(x)g(x)在[,]上的零点个数为_______________

22

提高例题3

（1）已知函数f(x)的定义域为{xxR且x1}，f(x1)为奇函数，当x1时，f(x)2x2x1，则当x1时，f(x)的递减区间为______________ （注：f(x1)为奇函数：则：f(x1)f(x1)）

（2）（福建卷）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)=0，在区间 （0，6）内解的个数的最小值为_______________个。

（3）（福建卷）已知函数f(x)的定义为R，则下列命题中： ①、若f(x2)为偶函数，则函数f(x)的图像关于直线x2对称 ②、若f(x2)f(x2)则函数f(x)的图像关于原点对称。 ③、若函数yf(x2)与函数yf(2x)的图像关于直线x2对称。 ④、若函数yf(x2)与函数yf(2x)的图像关于直线x2对称。 其中正确的命题序号是：_______________

回家作业：

（1）（全国卷）若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线x2对称，则f(x)的最大值为_______

（2）（江苏卷）设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若f(x)xg(x)在[3,4]上的值域为

[2,5]，则f(x)在区间[10,10]上的值域为__________________

3、设f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)lg(x2ax10),aR。

（1）若f(1)lg5，求f(x)的解析式；（2）若a0，不等式f(k•2x)f(4xk1)0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f(x)的值域为R，求a的取值范围。

4、若函数f(x)4x2mx5m的单调递增区间为[2,)，则实数m的值为 ． 5、判断函数f(x)x21(x(0,))的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． x

6、已知函数yf(x)的定义域为R，且对任意的正数d，f(1a)f(2a1)的a的取值范围．

都有f(xd)f(x)，求满足