判别式求值域

正确用判别式法求值域“着重点”辨析

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析

着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论

x2x1y22x2x3的值域。 例1 求函数

2(2y1)x(2y1)x(3y1)0 （*） 错解 原式变形为

31y2(2y1)4(2y1)(3y1)0，解得10xR2。 ∵，∴

31,]故所求函数的值域是102

[分析 把

y111

yy

2代入方程（*）显然无解，因此2不在函数的值域内。事实上，2时，方程（*）

的二次项系数为0，显然用“”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。

2(2y1)x(2y1)x(3y1)0 （*） 正解 原式变形为

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（1）当

y12时，方程（*）无解；

（2）当

y131y22时，∵xR，∴(2y1)4(2y1)(3y1)0，解得102。

31[,)由（1）、（2）得，此函数的值域为102

着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形

例2 求函数yxx1的值域。

22x2y1x1y0， 错解 移项平方得：

33,y22[(2y1)]41y04. 4，则原函数的值域是由解得

分析 由于yxx1平方得x22y1x1y20，这种变形不是等价变形，实际上扩大了x的

3y,4是错误的。 取值范围，如果从原函数定义域x1，那么yxx11，显然

312ytt1t24， 2正解 令tx1，则t0，得xt1，22 / 5

13ytt10124又t0，，

22故原函数的值域为y1,

着重点3 整体换元后新旧变量的条件要一致

x24y2x5的值域 例3 求函数

错解 令tx4，则

2yt1y(0,]222ytty014y0y02。 t1，∴，由及得值域为

分析 解法中忽视了新变元t满足条件t2。

2f(t)ytty，y0，t[2,)， 正解 设

0,y0f(2)0或f(2)012220y（0，]2y5。故函数得值域为5。

着重点4 力求先化简，不盲目用判别式法

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当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式

x2x2yx21的值域 例4 求函数

x2x2yx21 (x1)----------------------① 错解 

222yxyxx2，即y1xxy20---------②

当y10，即y1时，由②得x1（舍去），y1；

x14y1y202y320yRy10y1当即时，得, 。

综上可述，原函数的值域为{y |y1且yR}。

x2x2333yy2，即x21=2时，解得x1，而当x1时原函数没有意义，故2。分析 事实上，当

2y1xxy2 的值为零，所以x1是方程②的根，但它不属于原函x1错误的原因在于，当时，

x2x2yx21不能转化为二次方程，用二次方程的理数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数

论行不通。

(x2)(x1)(x2)1y1x1(x1), 正解 原函数可化为y=(x1)(x1)=(x1)(x1) ，即

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y

2 x10，y1且

故原函数的值域为{y |y1且

y32}。

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