随机信号分析(第3版)第三章习题及答案

3.1 随机电压信号Ut在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：

（1）密度函数fu;t、fu1,u2;t1,t2和fu1,u2,...,uk;t1,t2,...,tk，k为任意整数； （2）Ut的平稳性。

3.1解：

(1)

x2f(u;t)exp{}4 21u12u221f(u1,u2;t1,t2)f(u1,t1)f(u2,t2)exp{}44

kf(u1,u2,,uk;t1,t2,tk)f(ui,ti)i1k1(2)kexp{ui12i4}

(2)由于任意k阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。

3.2 已知随机信号X(t)和Y(t)相互独立且各自平稳，证明新的随机信号Z(t)X(t)Y(t)也是平稳的。

3.4解：

X(t)与Y(t)各自平稳，设mX=E[X(t)]，mY=E[Y(t)]，RX()E[X(t)X(t)]，

RY()E[Y(t)Y(t)]

，为常数

mZ(t)E[Z(t)]E[X(t)Y(t)]E[X(t)]E[Y(t)]mXmYRZ(t,t)E[Z(t)Z(t)]E[X(t)Y(t)X(t)Y(t)]E[X(t)X(t)]E[Y(t)Y(t)]RX()RY()RZ()

RZ()仅与有关，故Z(t)X(t)Y(t)也是平稳过程。

3.3 随机信号Xt10sin0t，0为确定常数，在,上均匀分布的随机变

2Y(t)X(t)，试求： X(t)量。若通过平方律器件，得到

（1）Y(t)的均值； （2）Y(t)的相关函数；

（3）Y(t)的广义平稳性。

3.5解：(1)

E[Y(t)]E[X2(t)]E[100sin2(0t)]50E[1cos(20t2)]50

2RY(t,t)E[Y(t)Y(t)]E[X2(t)X2(t)]E[100sin2(0t)100sin2(0t0)]2500E[1cos(20)cos(40t204)]2500E[1cos(20)]

RZ()仅与有关，且均值为常数，故Y(t)是平稳过程。

3.4 给定随机过程XtAcos0tBsin0t，其中0是常数，A和B是两个任意的

2不相关随机变量，它们均值为零，方差同为。证明Xt是广义平稳而不是严格平稳的。

3.6证明：mX(t)E[X(t)]E[Acos(0t)Bsin(0t)]0

RX(t,t)E[X(t)X(t)]E{[Acos(0t)Bsin(0t)][Acos(0t0)Bsin(0t0)]}E[A2cos(0t)cos(0t0)B2sin(0t)sin(0t0)]112E[cos(20t0)cos(0)]2E[cos(0)cos(20t0)]222cos(0)

由于均值是常数，且相关函数只与有关，故X(t)是广义平稳过程。

2取t102取t2+时，X(t)B,020显然fX(x,t1)fA(x)不一定等于fX(x,t2)fB(x)X(t)不是严格平稳的。时，X(t)A

3.5 Y(t)是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值m(10)20和相关函数R(5,1)10，试求：

（1）E[5Y(110)]，E[10Y(310)50]；

（2）E[Y(105)Y(101)]，E[30Y(205)Y(201)200]；

（3）E[10Y(305)Y(301)6Y(210)80]。

3.7解：

Y(t)是广义周期平稳随机信号，(1)E[5Y(110)]5E[Y(10)]5m(10)520100E[10Y(310)50]10E[Y(10)]50250(2)E[Y(105)Y(101)]E[Y(5)Y(1)]R(5,1)10E[30Y(205)Y(201)200]30E[Y(5)Y(1)]200500(3)E[10Y(305)Y(301)6Y(210)80]10R(5,1)6m(10)80300

3.6 两个统计独立的平稳随机过程X(t)和Y(t)，其均值都为0，自相关函数分别为

RX()e，RY()cos2，试求：

（1）Z(t)X(t)Y(t)的自相关函数；

（2）W(t)X(t)Y(t)的自相关函数； （3）互相关函数RZW()。 3.9解：

(1)RZ(t,t)E[Z(t)Z(t)]E{[X(t)Y(t)][X(t)Y(t)]}E[X(t)X(t)]E[Y(t)Y(t)]RX()RY()ecos(2) (2)RW(t,t)E[W(t)W(t)]E{[X(t)Y(t)][X(t)Y(t)]}E[X(t)X(t)]E[Y(t)Y(t)]RX()RY()ecos(2)

(3)RZW(t,t)E[W(t)Z(t)]E{[X(t)Y(t)][X(t)Y(t)]}RX()RY()RXY()RYX()又由于X(t)与Y(t)零均值相互独立，同时彼此正交，则RXY()RYX()0RZW(t,t)RX()RY()ecos(2)

3.7 广义平稳随机过程Y(t)的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处

元素的值。

21.30.4____21.20.80.41.2__1.10.9____2

3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：

21.30.40.91.321.20.80.41.221.10.90.81.12 C=3.8 对于两个零均值广义平稳随机过程数可否作为自相关函数，为什么？

Xt和

Yt，已知

2X5，

2Y10，问下述函

（1）RX5uexp3； （2）RX5sin5；

RY91221（3）； （4）

2RYcos6exp；

sin3sin10RX5R64Y310（5）； （6）。

（6）

RX5exp()； （7）

RY64exp(32)。

解：根据平稳随机信号相关函数的性质，

(1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否，

RY(0)92Y

(4) 否，RY(0)1在原点不是非负

(5)是 (6) 是 (7) 是 (8) 是

3.9 已知随机过程X(t)和Y(t)独立且各自平稳，自相关函数为RX()2eRY()9exp(32)cos0与

。令随机过程Z(t)AX(t)Y(t)，其中A是均值为2，方差为9的随机变量，

且与X(t)和Y(t)相互独立。求过程Z(t)的均值、方差和自相关函数。

解：

Z(t)的均值:E[Z(t)]E[AX(t)Y(t)]　　　　E[A]E[X(t)]E[Y(t)]　　　　2E[X(t)]E[Y(t)]

2mXRX()lim2cos0e0mX0E[Z(t)]0

Z(t)的相关函数：Rz(s,t)E[A2X(s)Y(s)X(t)Y(t)]E[A2]E[X(s)Y(s)X(t)Y(t)]13E[X(s)X(t)]E[Y(s)Y(t)]13RX()RY()26ecos0(9e3)2

Z(t)的方差：D[Z(t)]RX(0)2610260

3.10 平稳信号X(t)的功率谱密度为

2SX()4322 （1）

8()20(1/10),S()0,（2）

1010

求它们的自相关函数和均方值。

解：(1)

212SX()43222122IFT11ee222RX()

RX(0)1122

(2) 根据傅立叶变换的对称性，有:

T)2,其中，T102RX()820224sin2(T

RX()4/mX2 D[x(t)]20T/

RX(0)204/

3.11 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？

sin（1）

2

2 （2）

6323

2()4（3）1

4 （4）

j162

（5）

4221 (1)（6） e

23.21 判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。

(1)是。 (2)是。

(3)不是，0时值为负数。 (4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。

(5)是。 (6)不是，因为它不是偶函数。

3.12 X(t)是平稳随机过程，证明过程Y(t)X(tT)X(t)的功率谱是

SY()2SX()(1cosT)

Y(t)的相关函数：RY()E[X(tT)X(t)X(tT)X(t)]3.22 E[X(tT)X(tT)X(t)X(t)X(t)X(tT)X(tT)X(t)]

2RX()RX(T)RX(T)FT2Sx()Sx()ejTSx()ejT2Sx()(1cosT)

3.13 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为

9e3RXY()0

00

求互谱密度SXY()与SYX()。

3.24

9SXY()3j9SYX()SXY*()3j

FTRXY()n3.14 设随机过程此正交的。试证明：

X(t)aiXi(t)i1n,式中ai是一组实常数。而随机过程Xi(t)为平稳的和彼

SX()ai2SXi()i13.25

nnnnXi(t)相互正交2RX()EaiXi(t)aiXi(s)E[aiXi(t)Xi(s)]ai2RXi()i1i1i1i1

ai2SXi()FTi1n

3.31假定周期为T高为A的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在t0时刻以后出现的第一个零值时刻是[0,T)均匀分布的随机变量。试说明X(t)的一阶密度函数为

1/Af(x;t)0X(t)x[0,T]x[0,T]

0tTt题图3.31

3.31

0X(t)AT(Tt)TTAX(t)th(x)U(0,T)　f1　　(0xT)(x)T0　　　(其它)f(t,x)f[h(x)]h'(x)1A0　　　(其它)

(0xT)

已知