第三章《图形的平移与旋转》(含答案)

第三章《图形的平移与旋转》专题专练

专题一 图形的平移概念 重点知识回顾

1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移.

注意：（1）平移过程中，对应线段可能在一条直线上. （2）平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上. 2.平移的两个基本要素：

“平移的方向”和“平移的距离”.图形的平移是由它的移动方向和移动距离决定的.当图形平移的方向没有指明时，就需要认真观察图形的形状和位置的变化特征，根据平移的性质先确定平移的方向，再确定对应点、对应线段和对应角.

3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出平移性质的依据.

典型例题剖析

例1 生活中有很多平移的例子，下列物体的运动是平移的是（ ） A.水中小鱼的游动 B.天空中划过的流星的运动 C.出膛的子弹沿水平直线的运动 D.小华在跳高时的运动

分析：正确判断物体是否为平移运动关键是理解和掌握平移的概念和特征.看物体是否在同一个平面内运动，是否沿某个方向平行移动一定的距离，而“水中小鱼的游动”、“天空中划过的流星的运动”、“小华在跳高时的运动”显然不符合平移的概念，只有“出膛的子弹沿水平直线的运动”才是平移运动.

点悟：识别平移现象的关键是抓住平移的特征：物体必须在平面内运动，在曲面上运动物体一定不是平移，平移是直线的运动，平移只与物体的位置有关，与速度无关，平移只关注物体的位置变化.

例2 （2008年福建省泉州市）在图1的方格纸中，△ABC向右平移 格后得到△A1B1C1．

分析：因为△A1B1C1是△ABC平移后得到的图形，所以点A1与点

A、B1与B、C1与C分别是对应点，故只需随便数一数一对对应点之间的格数，即为平移

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图1

的距离.正确答案为4.

点悟：知道平移前后的图形，找出平移的距离（一般都在网格中），只要找出一对对应点后，数一数它们之间的格数即可.

专项练习一：

1.下列现象中不属于平移的是（ ） A.大楼电梯在上下运动 B.彩票大盘的转动

C.滑雪运动员在平坦的雪地上滑行 D.火车在平直的铁轨上行驶 专题二 图形的旋转概念 知识要点回顾

1.旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.

注意：（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.

（2）旋转的角度一般小于360°.

2.旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） 典型例题剖析

例1 下列几种运动，只属于旋转运动的有（ ）

①发电的风车的转动；②在笔直的铁轨上运行的列车；③传送带上的灌装啤酒；④随风飘散的雪花.

A.1种 B.2种 C.3种 D.4种

分析：根据旋转的概念和特征，可以看出只有“发电的风车的转动”是旋转运动，“在笔直的铁轨上运行的列车”和“传送带上的灌装啤酒”是平移运动，“随风飘散的雪花”的运动比较复杂，不只是旋转运动.故选A.

点悟：旋转是在一个平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度的运动.图形上的每一个点都按相同的方式转动相同的角度，旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状.

例2 （2008年江苏省盐城市）已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2．则旋转的牌是（ ）

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图1

图2

A B C D

分析：旋转180°后得到图2与图1是一样的，而图1中只有方块5经旋转180°后与原来是一样的，而其它牌经旋转180°后与原来是不同的.故选A.

点悟：这是一道简单的图案旋转问题，求解时只要能准确地运用旋转的有关概念即可求解.旋转应注意旋转的方向和旋转的角度

专项练习二：

1.将图3绕点O按逆时针方向旋转90°得到的图案是（ ）

图3 A B C D

2. 3张扑克牌如图4（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180º后得到如图4（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是（ ）

A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张 专题三 图形平移、旋转性质的应用 知识要点回顾 1.平移的基本性质

有平移的基本概念知，结果平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此，平移具有下列性质：

（1）平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等，对于角相等. （2）平移后的图形与原图形的对应点所连的线段平行且相等. 2.旋转的基本性质

（1）图形旋转后，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角. （2）一个图形沿某一点旋转一个角度后，图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的大小与形状都没有发生变化.

图4

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典型例题剖析

例1 （2008年广州市数学中考试题）将线段AB平移1cm，得到线段A/B/，则点A到点A/的距离是 .

分析：由于点A/是由线段AB平移1cm后点A的对应点，根据平移的性质可知点A到点A/的距离为1cm.

点悟：本题考查平移的知识，在平移时要注意平移的方向及平移的距离，还应注意平移的特征.即对应点的距离等于线段平移的距离.

例2 （2008年江苏省扬州市）如图1中的△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ABP/重合，如果AP=3，那么线段PP/的长等于________.

分析：△ABP绕点A逆时针旋转后与△ABP/重合，即△ABP≌△ABP/，所以AP/=AP=3，又因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠PAP/=900，利用勾股定理可得PP/=32.故应填32.

点悟：旋转不改变图形的形状和大小，旋转前后的两个图形是全等形.

例3 （2008湖北省荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图2（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3．

（1）将△ECD沿直线l向左平移到图2（2）的位置，使E点落在AB上，则CC′=______； （2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图2（3）的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=______；

（3）将△ECD沿直线AC翻折到图2（4）的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．

A E

A E’ E

D

(1)

l B C’ C

(2)

D

l

E

A E

DD

l D’

FB

A E

图1

4 B

C

B C

(3) C (4)

D

图2

解析：．(1) 3-3； (2)30°；

(3)证明：在△AEF和△D/BF中，

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∵AE=AC-EC, D/B=D/C-BC， 又AC=D/C，EC=BC，∴AE=D/B．

又 ∠AEF=∠D’ BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD/E=30°， ∴△AEF≌△D/BF．∴AF=FD/．

点评：本题以同学们熟悉的三角尺为背景，综合考查了平移、旋转、轴对称三种图形变换，解题时，要注意它们各自的区别.

专项练习三：

1.（2008年大连市）如图3，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到 △P′AC，则∠PAP′的度数为________．

CP′A PAB8m D

6m B 图4

图5

C

图 7图3

2.（2008年河南省）如图4，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）

A.120° B.90° C. 60° D. 30° 3.如图5所示，有一块花园为（ ）m2

A.24 B.26 C.28 D.30

4.如图6，已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A/B/C/，使B/和C重合，连接AC/交A/C于D，则△C/DC的面积为（ ）

A.6 B.9 C.12 D.18

专题四 网格中进行轴对称、平移、旋转作图 知识要点回顾 1.平移作图的基本方法

（1）找出已知图形上的关键点.如线段的端点、三角形的顶点等.

（2）过关键点作与已知平移方向的线段，使这些线段的长度都等于平移的距离.

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ABCD中，有甬道（阴影部分），则其余部分的面积为

AADB

C(B)C图6

（3）按原图的连接方式连接各对应点，得到新的图形，这个图形就是原图形平移后的图形.

注意：①在进行平移作图时，首先要知道平移的距离和方向，其次要找出图形的关键点；②确定一个图形的平移前后的位置所需要的条件：图形原来的位置、平移的方向、平移的距离.

2.旋转作图的基本方法

（1）确定旋转中心，找出已知图形的关键点.

（2）作出关键点的对应点.作关键点的对应点的方法是：将各关键点与旋转中心连接；以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，向旋转方向作角，使所作的角都等于旋转角；在所作角的另一边截取长度分别等于各关键点与旋转中心所连线段的长度.即得到各关键点的对应点；按原图的连接方连接各对应点即得到旋转后的图形.

由于网格具有其特殊的属性，因而利用网格进行变换作图问题已越来越受到中考命题专家的青睐.

典型例题剖析

例1 （2008年重庆市）作图题：（不要求写作法）

如图1，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上） （1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A1B1C1D1； （2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A2B2C2D2.

lADBA1D1B1C1ADD2lA2BCCC2B2图图1 3图2 图4

分析：抓住四边形的四个关键点（顶点），分别作出它们的对应点，再顺次连接即可.如图6所示.

点悟：平移时要搞清平移的方向和平移的距离.轴对称首先要找到对称轴，然后分别作已知点的对称点，连线即可得到所求图形.

例2 （2008年甘肃省庆阳市）在如图3的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位

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的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．

(1) 画出△ABC绕点O顺时针旋转90后的△A1B1C1； （2）求点A旋转到A1所经过的路线长．

分析：要画出画出△ABC绕点O顺时针旋转90后的△A1B1C1，根据旋转的性质，连接OA，过O作OA/⊥OA，且使OA/=OA，则得A点的对应点A1点.同理可作出点B、C的对应点B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1即得.（1）如图4所示.

B1 C1 A1 图3

图4

（2） ∵ 点A旋转到A1所经过的路线长为以OA为半径圆的周长的∴ 点A旋转到A1所经过的路线长为

1， 41311． ×2r=×2232=242点悟：确定一个图形旋转后的位置需要的条件有：旋转中心、旋转方向和旋转角.当这些条件都具备后，图形变换后的位置才可唯一确定.

专项练习四

1.（2008年吉林春市）如上图5，在1010正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．

（1）作△ABC关于点P的对称图形△ABC。

（2）再把△ABC，绕着C逆顺时针旋转90，得到△ABC，请你画出△ABC和． △ABC（不要求写画法）

图5

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2.（2008年四川省眉山市）如图6，方格纸中△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC向右平移5格到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°，得到△A1B2C2． （1）在方格纸中画出△A1B1C1和△A1B2C2；

（2）设B点坐标为(3，．△ABC与△A1B2C2是否成中心对2)，B2点坐标为（4，2）称？若成中心对称，请画出对称中心，并写出对称中心的坐标；若不成中心对称，请说明理由．

3.(2008年湖南省永州市)如图7所示，左边方格纸中每个正方形的边长均为a，右边方格纸中每个正方形的边长均为b，将左边方格纸中的图形顺时针旋转90°，并按b:a的比例画在右边方格纸中．

B

C 图6 A

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图7

专题五 坐标系中的图形变换 知识要点回顾

图形在平面直角坐标系中经过平移、旋转、轴对称等变换后，求出相关图形上点的坐标等问题在各地的中考数学试卷中已成为热点题型.

典型例题剖析

例1 （2008年镇江市）如图1，把矩形OABC放在直角坐标系中，

C O B y A C B OC在x轴上，OA在y轴上，且OC2，OA4，把矩形OABC绕

着原点顺时针旋转90得到矩形OABC，则点B的坐标为（ ）

A．(2，4) B．(2，4) C．(4，2) D．(2，4)

A 图1

x 分析：由已知可知，OA/=OA=4，A/B/=OC=2，所以点B/的坐标为（4，2），故选C. 点悟：只要能抓住旋转的特征，一切与旋转相关的问题就会轻易解决.

例2 （2008浙江省绍兴市）在平面直角坐标系中，已知△OAB，A(0， 3)，B(2，0)．（1）将△OAB关于点P(1，0)对称，在图2中画出对称后的图形，并涂黑；

（2）将△OAB先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，在图3中画出平移后的图形，并涂黑．

图2

分析：将△OAB关于点P（1，0）对称后得到的图形，关键是确定O、A、B三点的坐标；先从图形中找出O、A、B的坐标，再分别确定将△OAB平移后对应点的坐标.

（1）因为从图2中可以点O、A、B的坐标分别为（0，0）、（0，-3）、（-2，0），所以将△OAB关于点P（1，0）对称后的对应点坐标分别为（2，0）、（2，3）、（4，0），所以用

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y y B O P A x

B O A 图3 x

描点法得到变换后的图形，如图4所示.

（2）依题意可知平移后O、A、B的对应点的坐标分别为（（3，2）、（3，-1）、（1，2），所以用描点法可得到平移后的图形，如图5所示.

（1） （2） y y B O P A x

B O A x

图4 图5

点悟：坐标系中的图形平移，只是坐标相应加减的过程. 专项练习五：

1.(2008年山西省)在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90 o,得△A/B/O，则点A的对应点A/的坐标为 .

2.（2008年徐州市）如图6，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1,0）

①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，

y②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，

③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图

BAC形，画出所有的对称轴；

④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标.

3.（2008年辽宁省十二市）如图7所示，在网格中建立了

平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180后得到四边形A1B1C1D1．

（1）直接写出D1点的坐标；

图6 x5)，画出平移后的图（2）将四边形A1B1C1D1平移，得到四边形A2B2C2D2，若D2(4， - 10 -

形．（友情提示：画图时请不要涂错阴影的位置哦！）

4.（2008福建福州）如图8，在Rt△OAB中，OAB90，且点B的坐标为（4，2）． ①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．

图8

图7

专题六 利用平移、旋转、轴对称进行图案设计 知识要点回顾

图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等变换而得到的. 典型例题剖析

例1 (2008年双柏县)如图1是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：

（1）作出关于直线AB的轴对称图形；

（2）将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°；

（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．

分析：本题是在网格中进行图案设计，只要利用轴对称和旋转的特征，结合自己的审美观念即可画出符合要求的美丽图案.

B

图1 A

A AO

O B- 11 -

B 图2

解：（1）、（2）、（3）（其中3问答案不唯一）如图2所示.

点悟：画图时都应先找出原图形中的关键点.本题通过轴对称、旋转作图及其涂图案，不但考查了同学们的作图能力，也培养了同学们的想象力与表现力、审美能力，构思巧妙！

例2 在综合实践活动课上，小明准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形的坐垫，坐垫的图案如图3所示，请你仔细观察图3的特点，根据你发现的规律在图4中绘制出符合要求的剩余布料.

分析：通过观察，发现坐垫是由基本图形（如图5）平移得到，而该图形也可以看作是一个小正方形绕顶点顺时针旋转90°、180°、270°得到的，所以根据这一规律可设计出图6的图案，从而完善已知图形.

图3 图4 图5 图6

点悟：图案设计问题是近几年中考的热点，通过基本图形的平移、旋转、轴对称等变换，设计出符合要求的图案，可以考查同学们动手、想像以及审美等能力.

专项练习六：

1.如图7，在方格纸（每个小方格都是边长为1个点悟的正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.如图7中的△ABC称为格点△ABC.

（1）如果A，D两点的坐标分别是（1，1）和（0，-1），

请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B，点C的坐标；

（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称等知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的.

2.（2008年黑龙江省牡丹江市）如图8，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1． （1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点O重合，画出平移后的三角形．

（2）将平移后的三角形绕点O逆时针旋转90，画出

O

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图7

图8

旋转后的图形．

（3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．

参

专项练习一：1.B 2.C 专项练习二：1.B 2.A

专项练习三：1.60° 2.A 3.C 4.D 专项练习四：1.如图一所示：

AB//BCPA//B/A/BAOCC2B2A1C/B1图二C1图一图三

2.（1）如图二所示.

（2）△ABC与△A1B2C2成中心对称，如图二中的点O即为对称中心，点O的坐标为（0.5，0）.

3.如图三所示.

专项练习五：1.（2，3） 2.（1）～（3）如图四所示，

yC2AA2B2BB1C1A1xC 图四 图五

（4）对称中心是（0，0）．

1) 3.（1）D1(3，（2）A2，B2，C2，D2描对一个点给1分．

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画出正确图形（见图五） 4.①图略；②图略；

②点A旋转到点A2所经过的路线长专项练习六：

1.（1）B（-1，-1），C（3，-1）.如图六.

（2）把“△ABC”图案向右平移10个单位长度，再向上平移6个单位长度，以点P（11，5）为旋转中心旋转180°，得到“格点四边形图案”.

90π42π 180O 图六

2.如图七所示.

图七

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