考点测试59 随机事件的概率
一、基础小题
1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )
①恰好有1件次品和恰好有两件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少1件次品和全是正品．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 答案 D
解析 根据互斥事件概念可知选D. 2．下列说法：
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率； ③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确的是( ) A．①②③④ C．①②③④⑤ 答案 B
解析 由概率的相关定义知①④⑤正确．
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
B．①④⑤ D．②③
mn
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3 答案 C
解析 事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.选C.
11
4．甲、乙两位同学在国际象棋比赛中，和棋的概率为，乙同学获胜的概率为，则甲同
23学不输的概率是( )
1112
A. B. C. D. 2363答案 D
解析 本题考查随机事件的概率和互斥事件、对立事件的概率的计算．因为乙获胜的概112率为，所以甲不输的概率为1－＝.
333
5．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么( ) A. 甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 答案 B
解析 互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件．
6．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )
1112A. B. C. D. 6535答案 C
解析 由题意可知在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为51
＝.
5＋4＋3＋2＋13
7．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．
答案
7 26
解析 52张中抽一张的基本事件为52种，事件A为1种，事件B为13种，并且A与B1137
互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
525226
8．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．
答案 0.32
45
解析 摸出红球的概率为＝0.45，
100因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件，
因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32. 二、高考小题
9．[2014·全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
1357A. B. C. D. 8888答案 D
解析 解法一：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动共有2＝16(种)结果，而周六、日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，C4A2＝8(种)；②8＋672
每天二人，有C4＝6(种)，所以P＝＝，故选D.
168
解法二(间接法)：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动，共有2＝16(种)结果，而4人都选周六或周日有2种结果，所以P＝1－
27
＝.故选D. 168
4124
10．[2014·陕西高考]从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
1234A. B. C. D. 5555答案 C
43解析 根据题意知，2个点的距离小于正方形边长的有4对，故所求概率P＝1－2＝，
C55故选C.
11．[2015·江苏高考]袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
5答案
6
解析 记两只黄球为黄A与黄B，从而所有的摸球结果为：(白、红)，(红、黄A)，(红、黄B)，(白、黄A)，(白、黄B)，(黄A、黄B)，共6种情况，其中颜色不同的有5种情况，5
则所求概率P＝. 6
12．[2014·广东高考]从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
1答案
6
解析 从10个数字中任取7个数，共有C10＝120(种)不同取法，其中中位数是6的取法20133
有C6·C3＝20(种)，故满足条件的概率为P＝＝.
1206
13．[2014·江苏高考]从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
1答案
3
7
解析 从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6}，{3,6}21共6种取法，其中乘积为6的有{1,6}和{2,3}共2种取法，因此所求概率为P＝＝.
63
三、模拟小题
14．[2017·山西四校联考]从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两个数之和为偶数的概率是( )
1111A. B. C. D. 6325答案 B
解析 由题意知所有的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共621个，和为偶数的基本事件有(1,3)，(2,4)，共2个，故所求概率为＝.
63
15．[2016·云南统考]在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为( )
9995A. B. C. D. 5628149答案 B
解析 分析可知：要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两C4·C39个比5大，故所求概率P＝5＝. C828
16．[2017·郑州模拟]有3个相识的人某天各自乘同一火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一车厢内相遇的概率为( )
A.
297297
B. C. D. 2002514418
2
2
答案 B
解析 解法一：设事件A是“至少有2人在同一车厢内相遇”，A1是“恰有2人在同一车厢内相遇”，A2是“3人在同一车厢内相遇”，则A＝A1＋A2且A1、A2彼此互斥，
C3C10C927101∵P(A1)＝，P(A2)＝3＝， 3＝1010010100287
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＝. 10025
－
解法二：设事件A是“至少有2人在同一车厢内相遇”，则事件A的对立事件A为“3A1018187－－
人分别在3节不同的车厢”，则P(A)＝3＝，∴P(A)＝1－P(A)＝1－＝.
10252525
17．[2016·石家庄质检]甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( )
A．0.48 B．0.52 C．0.8 D．0.92 答案 D
解析 由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是0.2×0.4＝0.08，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1－0.08＝0.92，故选D.
3
21
1
18．[2017·云南昆明质检]中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单31
打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠74军的概率为________．
答案
19
28
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式3119
进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝. 7428
一、高考大题
1．[2016·全国卷Ⅱ]某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 保费 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 频数 0 60 1 50 2 30 3 30 4 20 ≥5 10 0 0.85a 1 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a a (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求
P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
60＋50由所给数据知一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
200(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
30＋30
由所给数据知一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值
200为0.3.
(3)由所给数据得
保费 频率 0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05 调查的200名续保人的平均保费为 0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
2．[2016·北京高考]A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)
解 (1)由题意知抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×
8
＝40. 20
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5， 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8. 11
由题意可知P(Ai)＝，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝，j＝1,2，…，8.
58
P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1,2，…，5，j＝1,2，…，8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2
∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.
因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋
13
408
1115840
P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝.
(3)μ1<μ0. 二、模拟大题
3．[2016·南昌模拟]某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试 指标 甲 乙 [70,75) 3 5 [75,80) 7 15 [80,85) 20 35 [85,90) 40 35 [90,95) 20 7 [95,100) 10 3
根据上表统计结果得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率，用频率去估计他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率．
(1)计算甲生产一件产品A，给工厂带来盈利不小于30元的概率；
(2)若甲一天能生产20件产品A，乙一天能生产15件产品A，估计甲、乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数．
19
解 (1)甲生产一件产品A，给工厂带来盈利不小于30元的概率P＝1－＝. 10101
(2)估计甲一天生产的20件产品A中有20×＝2(件)三等品，
1015＋5
估计乙一天生产的15件产品A中有15×＝3(件)三等品，
100所以估计甲、乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品．
4．[2017·河南洛阳模拟]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人及5人以上 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？
解 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C， 所以P(G)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F， 所以P(H)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G， 所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
5．[2016·郑州模拟]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
1101501解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，故事件A，B，C发生的概率
10001000100100020111
分别为，，.
100010020
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥，
11161
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝. 1000100201000故1张奖券的中奖概率为
61. 1000
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，由对立事件概率公式得P(N)＝1－P(A∪B)．
即P(N)＝1－
1＋1＝989.
10001001000
989
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 1000
6．[2016·山西怀仁月考]甲、乙、丙三人参加了去国外进修的考试，考试合格者可正式签约去进修，甲表示只要考试合格就去，乙、丙则约定：两人考试都合格就一同去，否则两1
人都不去．设每人通过考试的概率都是，且考试是否通过互不影响．
2
(1)求三人中至少有一人通过考试的概率； (2)求三人中没有人去国外进修的概率．
解 (1)用A、B、C分别表示甲、乙、丙通过考试． 1
由题意知A、B、C相互独立且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
2
又事件“三人中至少有一人通过考试”的对立事件为“没有人通过考试”，所以三人中－－－－－－137
至少有一人通过考试的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－＝. 28
(2)由题意知三人中没有人去国外进修表示甲没有通过考试且乙、丙中至少有一人没有通－－－－－－－过考试，所以三人中没有人去国外进修的概率为P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝
P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝3＋3＋3＝. 222
－－－－－－－
111
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