7.2.2 复数的乘、除运算-高一数学新教材同步课堂精讲练导学案(人教A版2019必修第二册)

导学案

【学习目标】

1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.

【自主学习】

知识点1 复数的乘法 1.复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律

对任意复数z1、z2、z3∈C，有

交换律 结合律 乘法对加法的分配律

知识点2 共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用Z表示.即z＝a＋bi，则Z＝a－bi.

知识点3 复数的除法

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

1

z1·z2＝z2·z1 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 z1a＋bia＋bic－diac＋bdbc－ad则＝＝＝＋i. z2c＋dic＋dic－dic2＋d2c2＋d2

2

【合作探究】

探究一 复数乘法的运算

【例1】计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.

归纳总结：

【练习1】计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；

(2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2.

解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i；

(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.

探究二 复数除法的运算

i－2i－1－3－2i

【例2】计算：(1)＋；

1＋ii－1＋i2－3i

－1＋3i3－2＋i(2)＋.

1＋i61＋2i

[分析] 复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．

[解] (1)因为

i－2i－1i－2i－1

＝2 1＋ii－1＋ii－1＋i

3

＝

i－2i－1

＝i－1，

－2＋i

－3－2i－3－2i2＋3i－13i

＝＝＝－i.

132－3i2－3i2＋3ii－2i－1－3－2i

所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.

1＋ii－1＋i2－3i

－1＋3i3－2＋i－1＋3i3－2＋i1－2i－1＋3i3－2＋4i＋i＋2(2)＋＝＋＝＋

51＋i61＋2i[1＋i2]31＋2i1－2i2i3

＝

－1＋3i3

22

－i

1i＋i＝＋i＝＋i＝2i.

－i－ii

归纳总结：

7＋i－1＋i2＋i

【练习2】计算：(1)；(2).

3＋4i－i7＋i7＋i3－4i25－25i

解 (1)＝＝＝1－i；

253＋4i3＋4i3－4i－1＋i2＋i－3＋i－3＋i·i

(2)＝＝＝－1－3i.

－i－i－i·i

探究三 共轭复数

【例3】已知复数z满足z·z＋2i·z＝4＋2i，求复数z.

[分析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)→由题意得到方程组求x，y的值→得到复数z. [解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，

由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，

x2＋y2－2y＝4，x＝1，x＝1，

∈解得或 2x＝2，y＝3y＝－1，

4

∈z＝1＋3i或z＝1－i.

归纳总结：

【练习3】若f(z)＝2z＋z－3i，f(z＋i)＝6－3i，求f(－z). 解 因为f(z)＝2z＋z－3i，

所以f(z＋i)＝2(z＋i)＋zi(z＋i)－3i

＝2z＋2i＋z－i－3i＝2z＋z－2i. 又f(z＋i)＝6－3i， 所以2z＋z－2i＝6－3i.

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi， 所以2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i， 即3a－bi＝6－i.

3a＝6，

由复数相等的定义，得

－b＝－1，a＝2，

解得

b＝1，

所以z＝2＋i，

故f(－z)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.

5

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1.已知复数zi，则z的虚部为（ ） 2i2 3132 3A.

1 3B.

C. 

D. 【答案】B 【分析】

利用复数的代数形式的运算法则，先求出z，由此利用复数的定义能求出z的虚部．

i【详解】z2i2ii2i12i2,故z的虚部为 332i3故选：B

【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用． 2.复数

2i的虚部是（ ） 2iB.

A.

1 21i 2C.

3i 2D.

3 2【答案】：D 【分析】

先利用复数除法运算化简，即可求虚部.

2i(2i)(1i)13i13i， 【详解】

1i(1i)(1i)2226

所以虚部为：故选: D

3 2【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，考查了求复数的虚部，属于基础题. 3.复数z2的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( ) 1iB. 第二象限 D. 第四象限

A. 第一象限 C. 第三象限 【答案】：A 【分析】

先对复数z进行化简，然后得到其共轭复数z，再找到其再复平面对应的点，得到答案.

【详解】z21i21i， 21i1i所以z1i

z在复平面对应的点为1,1，在第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.

4.若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z112i，则复数数为（ ）

z1的共轭复z2A. -1 B. 1 C. 34i 55D.

34i 55【答案】：D

7

【分析】

根据复数的几何意义得到z212i，再根据复数的乘除法运算法则可得结果.

【详解】解:依题意可得z212i，

所以z112i(z12i)(12i)12i12i34i345i， 212i55故选：D

【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.

5.已知复数32i是关于x的方程2x2mxn0的一个根，则实数m,n的值分别为（ A. 6,8 B. 12,0 C. 12,26 D. 24,26

【答案】：C 【分析】

由条件可知232i2m32in0，化简求值.

【详解】由条件可知32i是方程的一个实数根，则232i2m32in0 化简为：103mn2m24i0，

即103mn02m240 ，解得：m12,n26. 故选：C

【点睛】本题考查复数的代数计算，重点考查计算化简能力，属于基础题型. 6.复数zi2i（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限

8

）

C. 第三象限 【答案】：A 【分析】

D. 第四象限

化简复数z，再求复数对应复平面的点所在的象限.

【详解】zi2ii2i11212i，则z在复平面内对应的点是,，2i2i2i55555位于第一象限. 故选：A

【点睛】本题考查复数的除法计算，以及复数的几何意义，属于基础题型. 7.设复数zi20211i，则|z|（ ）. iB.

A.

5 3

C. 2 D. 1

【答案】：A 【分析】

根据复数的运算法则计算出z12i，结合复数模长公式即可得结果. 【详解】由zi故选：A.

【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，复数模长的概念，属于基础题. 8.（多选题）已知复数zxyix,yR，则（ ）

B. z的虚部是yi

1i(1i)ii12i，得|z|5. 2iiA. z20

C. 若z12i，则x1，y2

D. zx2y2 9

【答案】：CD 【分析】

取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，取zi，则z210，A选项错误；

对于B选项，复数z的虚部为y，B选项错误；

对于C选项，若z12i，则x1，y2，C选项正确；

对于D选项，z故选：CD.

x2y2，D选项正确.

【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.

9.（多选题）若复数z2，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB. |z|A. z的虚部为1 C. z2为纯虚数 【答案】：ABC 【分析】

2 D. z的共轭复数为1i

首先利用复数代数形式的乘除运算化简z后得：z1i，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.

【详解】因为z21i222i1i， 1i1i1i2对于A：z的虚部为1，正确；

10

对于B：模长

z2，正确；

22对于C：因为z(1i)2i，故z2为纯虚数，正确； 对于D：z的共轭复数为1i，错误. 故选：ABC.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.

10.（多选题）已知复数zabi(a,bR,i为虚数单位),且ab1,下列命题正确的是( )

A. z不可能为纯虚数

B. 若z的共轭复数为z,且zz,则z是实数 C. 若z|z|,则z是实数

D. |z|可以等于【答案】：BC 【分析】

1 2根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当a0时,b1,此时zi为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为z,且zz,则

1得2abiabi,因此b0,B正确;由|z|是实数,且z|z|知,z是实数,C正确;由|z|a2b2可以等于

1,又ab1,因此8a28a30,64483320,无解,即|z|不41,D错误. 2故选：BC

【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.

11

11.（多选题）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ） A. |z|2

B. 复数z的共轭复数为z＝﹣1﹣i C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限 D. 复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根 【答案】：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出z1i，再根据复数的模长公式求出|z|，可知A正确；根据共轭复数的概念求出z，可知B正确；根据复数的几何意义可知C正确；将z代入方程成立，可知D正确.

【详解】因为（1﹣i）z＝2i，所以z2i(1i)22i2i1i，所以(1i)(1i)21i|z|112，故A正确；

所以z1i，故B正确；

由z1i知，复数z对应的点为(1,1)，它在第二象限，故C正确；

因

(1i)22(1i)22i22i20，所以D正确.

故选：ABCD.

【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 二、填空题 12.若复数z1ii，则z_________.

12

【答案】：2 【分析】

利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z的值.

【详解】

z1ii1i22，因此，ii11iz112. ii2故答案为：2.

【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.

13.已知i是虚数单位，若复数zm3i(mR)是纯虚数，则m_____________． 2i【答案】：

3 2【分析】

由条件设

m3ibib0，再化简，列式求解. 2iz是纯虚数，则设

【详解】

m3ibib0 2im3i2ibib2bi， mb33 ，解得：b,m.

222b3故答案为：

3 2【点睛】本题考查根据复数的特征求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.

13

14.已知复数z113i，则z的共轭复数是__________．

222【答案】：

3 2 【分析】

利用复数的模长公式求出z，并求出

1z，利用共轭复数的定义可得出结果. 222131331z【详解】z，则， i，z1222222因此，

13z的共轭复数是. 223. 2故答案为：

【点睛】本题考查复数模长和共轭复数的计算，考查计算能力，属于基础题. 15.若复数满足(2i)z5，则在复平面内与复数z对应的点Z位于第______象限. 【答案】：四 【分析】

求出复数z，进而可得答案.

【详解】因

z52i， 2i所以在复平面内与复数z对应的点Z为(2,1)， 复数z对应的点Z位于第四象限. 故答案为：四.

【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，是基础题.

14

三、解答题

16.已知复数zm2mi(mR)，若|z|（1）求复数z；

（2）若z2azb1i，求实数a、b的值． 【答案】：（1）z＝1﹣i； （2）a＝﹣3，b＝4． 【分析】

（1）由已知求得m1，结合z在复平面内对应的点位于第四象限可得m1，则复数z可求；

（2）把z代入z2azb1i，整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解．

2，且z在复平面内对应的点位于第四象限．

【详解】解：（1）

zm2mi，|z|2，

m4m22，得m21．

又

z在复平面内对应的点位于第四象限，

m1，

即z1i；

（2）由（1）得z1i， z2azb1i，

(1i)2a(1i)b1i， (ab)(2a)i1i，

15

ab1

2a1解得a3，b4．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．

17.已知复数zmm1m1i. （1）当实数m为何值时，复数z为纯虚数；

（2）当m2时，计算zz. 1i31i. 22【答案】：（1）m0；（2）

【分析】

（1）由复数z为纯虚数得出其实部为零，虚部不为零，进而可解得实数m的值；

（2）当m2时，由复数的四则运算法则可计算得出zz的值. 1i【详解】（1）复数zmm1m1i为纯虚数，则mm10m10，解得m0；

（2）当m2时，z2i，

z2i1i2i13i31i. z2i2i2i1i1i12i2222【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了复数的计算，考查计算能力，属于基础题.

16

18.已知复数z满足|z|1，且复数zi（1）求复数z

2

为实数 z

（2）求

z的值

(1i)4(1i)61255255 （2）i或zi；

325555【答案】：（1）z【分析】

（1）设zabi，得a,b方程组求解即可得复数z （2）利用复数乘除运算求解模长 【详解】（1）设zabi，则

zi2abi22a2bi2a2babiibai22b22a22izababababiabi22b0，又a2b21，a2b 为实数，则a22abz

因为复数zi

a解得b2525a55 或 5b555故z255255i或zi 5555zzzz1 （2）

(1i)4(1i)6(2i)2(2i)332i3232

17

B组 能力提升

一、选择题

1.在复平面内，复数zabiaR,bR对应向量OZ（O为坐标原点），设OZr，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则zrcosisin，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1r1cos1isin1，z2r2cos2isin2,则

z1z2rr12cos12isin12 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:

1n3n, rcosisinrcosnisinn则22i（）13i 2213i 2213i 2213i 225A.

B. C.

D. 【答案】：A 【分析】

先将复数z13然后再根据由棣莫弗定理得到的复i化为zcosisin的形式，

3322数的乘方公式计算即可．

【详解】由题意得复数z13i可化为zcosisin，

33225135513icosisincosisini． 所以223333225故选A．

【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题．

18

2.已知复数zii2i3i11，则z（ ）

B. 1

C.

A. －1 【答案】：B 【分析】

5

D. 11

由等比数列的求和公式及i的性质求解即可.

【详解】

ziii23i(1i11)ii12i(i4)3i1i1,

1i1i1i1i11z12021,

故选：B

【点睛】本题主要考查了虚数单位i的性质，等比数列的求和公式，复数的除法运算，属于容易题.

3.（多选题）已知复数z1i（i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） iB. 复数z的共轭复数z1i

A. |z|2

C. 复数z的虚部等于－1 【答案】：ACD 【分析】

D. |z2n|2n,nN*

首先化简复数z1i，再分别分析四个选项，利用复数的相关定义判断.

【详解】z1i1iii11i 2ii122所以z 112，故A正确；复数z的共轭复数z1i，故B不正确；

19

2n2复数z的虚部等于-1，故C正确；zzn2i2nin2n，nN*.故D正确.

n故选：ACD

【点睛】本题考查复数的的化简，定义，运算律，属于基础题型. 4.（多选题）在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数z1i（i为虚数单位），则z301 1iB. 若复数z满足z2 R，则z R

C. 若复数zabia,bR，则z为纯虚数的充要条件是a0

D. 若复数z满足z1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 【答案】：AD 【分析】

根据复数的运算及相关概念一一判断可得；

1ii，21i【详解】解：对于A：zi1，i41，所以

1i1i1iz30i30i472i21，故A正确；

对于B：设zabi，a,bR，所以z2abia2b22abi，若z2R，则

222ab0，则a0,b0或b0,a0或ab0，当b0时zR，故B错误；

复数zabia,bR，则z为纯虚数的充要条件是a0且b≠0，故C错误；

若复数z满足z1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确； 故选：AD

20

【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.

二、填空题

5.已知i为虚数单位，复数z满足【答案】：1 【分析】

利用复数的四则运算求出z，再求其模．

1zi，则z________. 1z1i(1i)21zi，则i，所以1z(1z)iz【详解】因为

1i(1i)(1i)1z|z|02(1)21.

故答案为：1.

【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．

三、解答题 6.已知复数z满足|z|（1）求复数z；

（2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（OAOB）OC的值.

【答案】：（1）1+i；（2）﹣2.

21

2，z的实部大于0，z2的虚部为2.

【分析】

（1）先设出复数z的表达式,结合已知条件中z求解出复数z的表达式.

（2）由（1）求出复数z的表达式,即可得到z,z2,zz2在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.

【详解】（1）设复数z=x+yi,x、y∈R; 由|z|2,实部大于0,和z2的虚部为2,列出方程

2,得x2+y2=2;

又z的实部大于0即x>0, z2=x2﹣y2+2xyi的虚部为2xy=2, 所以xy=1; 解得x=1,y=1; 所以复数z=1+i;

22（2）复数z1i,则z(1i)2i,zz21i2i1i;

则A（1,1）,B（0,2）,C（1,﹣1）;

所以(OAOB)OC(1,3)(1,1)113(1)2.

【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.

7.已知复数w满足w432wi(i为虚数单位)，z(1)求z；

(2)若(1)中的z是关于x的方程x2pxq0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．

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5w2． w【答案】：（1）z3i．（2）p6，q10， x3i． 【分析】

1利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．

2把z3i代入关于x的方程x2pxq0，利用复数相等解出p，q，即可得出．

【详解】1

w12i43i，w43i43i12i2i，

12i12i12iz52i5i13i． 2i2i2i2z3i是关于x的方程x2pxq0的一个根，

23ip3iq0，83pq6pi0，

83pq0 ，

6p0p，q为实数，{解得p6，q10．

解方程x26x100，得x3i

实数p6，q10，方程的另一个根为x3i．

【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8.已知复数z1232a5i，z210a2i，其中a为实数，i为虚数单位. 1aa5（1）若复数z1在复平面内对应的点在第三象限，求a的取值范围；

（2）若z1z2是实数（z2是z2的共扼复数），求z1的值.

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【答案】：（1）1,；（2）z1522.

【分析】

（1）根据复数z1对应点所在的象限得出关于实数a的不等式组，解出即可；

（2）根据z1z2是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数a的值，再利用复数的模长公式可计算出z1的值.

2a10【详解】（1）复数z1在复平面内对应的点在第三象限，则1a，解得5，即

a22a50551a.故实数a的取值范围是1,；

22（2）

z23310a2i，z210a2i， a5a5z1z223322a5i10a2ia22a15i. 1aa5a51aa22a150，解得a3， z1z2是实数，a1a5z122a5i1i，z12. 1a【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.

9.已知复数z0lga4a4a3a2i（i为虚数单位，aR）为纯虚数，z0和b是关于x的方程x32ix6i0的两个根.

222（1）求实数a，b的值；

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（2）若复数z满足1zabi，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积

【答案】：（1）a3，b3（2）点Z的集合是以原点为圆心，以1和32为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界；面积为17 【分析】

（1）根据复数的分类求解a，然后由韦达定理可求得b； （2）根据模的几何意义说明结论．

【详解】解：（1）因为z0lga4a4a3a2i为纯虚数，

2a24a41lga4a40所以，即2，

2a3a20a3a2022解得a3，

此时z02i，由韦达定理得z0b32i，

z0b6ib3.

（2）复数z满足1zabi，即1z32，

不等式z1的解集是圆z1的外部（包括边界）所有点组成的集合，

不等式z32的解集是圆z32的内部（包括边界）所有点组成的集合，

所以所求点Z的集合是以原点为圆心，以1和32为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.

S圆环=[(32)212]17.

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【点睛】本题考查复数的分类、韦达定理，考查复数模的几何意义，属于基础题．

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