2003年高考试题

数学（文史类）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：

三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

sincoscossincoscos121212[sin()sin()] S台侧[sin()sin()]12(cc)l 其中c、c分别表示

上、下底面周长，l表示斜高或母线长.

43[cos()cos()] 球体的体积公式：V球[cos()cos()] 表示球的半径.

R3 ，其中R

sinsin12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线y2x关于x对称的直线方程为 （ ）

（A）

y12x

（B）y1x （C）y2x （D）y2x

22．已知x4,0，cosx，则tg2x （ ）

52724 （A）

724 （B）2 （C）24 （D）7247

3．抛物线yax的准线方程是y2,则a的值为 （ ） （A）

18 （B）18 （C）8 （D）8

13,a2a54,an33,则n为（ ）

4．等差数列an中，已知a1 （A）48 （B）49 （C）50 （D）51

5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1,F2,F1MF2120，则双曲线的离心率为（ ） （A）3 （B）

626333 （C） （D）

1

x21x06．设函数f(x)1 ，若f(x0)1，则x0的取值范围是 （ ） 2x0x （A）（1，1） （B）（1，）

（C）（，2）（0，） （D）（，1）（1，） 7．已知f(x5)lgx,则f(2)（ ）

（A）lg2 （B）lg32 （C）lg132 （D）lg2

518．函数ysin(x)(0)是R上的偶函数，则（ ） （A）0 （B）

4 （C）

2 （D）

9．已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y30的距离为1，则a（ ） （A）2 （B）22 （C）21 （D）21 10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为

58 （A）2R2 （B）9R2 （C）R2 （D）R2

434R，该圆柱的全面积为（ ）

3211．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB

夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tg= （ ）

（A）1 （B）

325 （C）

12 （D）1

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）33 （D）6

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13．不等式4xxx的解集是____________________. 14．(x212x)92的展开式中x系数是 ________ . 915．在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2AC2BC2”拓展到空间，类比 2

平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥

AB、C、A的三个侧面

______________________________________________.” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图

不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，

ABCDC两

两互相垂直，则

2 着色，要求相邻区域则不同的着色方法

共有 种1 5 _______________________（以数字作答）

3 4

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB1，AA12，点E为CC1中点，点F为BD1点中点 （Ⅰ）证明EF为BD1与CC1的公垂线 DC

（Ⅱ）求点D1到面BDE的距离 A

B E

F

D C

M 18．（本小题满分12分）

A B 已知复数z的辐角为60，且|z1|是|z|和|z2|的等比中项，求|z|. 19．（本小题满分12分）

已知数列an满足a11,an3n1an1(n2). （Ⅰ）求a2,a3；

3n（Ⅱ）证明a1n2 20．（本小题满分12分）

y 已知函数f(x)2sinx(sinxcosx) （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数区间,上的图象 22O x

22 21．（本小题满分12分）

3

yf(x)在

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南(cos300km的海面P处，并以20km/h的速度向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半10km/h的速度不断增大，问几小时后该城的侵袭？

22．（本小题满分14分）

P210)方向

y O 海 岸 线 O 北 东x 西偏北45方向径为60km，并以市开始受到台风

r(t) 45 P 已知常数a0，在矩形ABCD中，AB4，BC4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且BECFDC，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离

BCCDDA的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由

y D F P G A O B x C E 2003年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（文）参考解答及评分标准

说明：

一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

4

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．(2,4] 14．2122222 15．SSACDSADBSBCD 16．72 ABC三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，

∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=又EC=

1212D1D

CC1，且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1

又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1 ∵BD1面DBD1，

∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线 （II）解：连结ED1，有V

由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d， 则S△DBC·d=S△DCD1·EF. ∵AA1=2·AB=1.

BDBEED2,EF22

SDBD112222,SDBC1232(2)232

故点D1到平面BDE的距离为

233.

r218．解：设z=r(cos60isin60),则复数z的实邻为

2

zzr,zzr 由题设|z1||z||z2|

222即(z1)(z1)|z|(z2)(z2) rr1rr2r4

2 r2r10解得r21r21（舍去） 即|z|=21

219．（I）解∵a11,a2314,a33413

n1（II）证明：由已知anan13,故

an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1

5

=3

n13n231312n.

所以an3122n

20．解（I）f(x)2sin 1

x2sinxcosx1cos2xsin2x

2(sin2xcoscos2xsin)1442sin2(x4)

所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1382.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 x y  8 2 8 38 2 58 1 11 11 故函数yf(x)在区 间[

21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心P(x,y)的坐标为

2220t,x300102 722y30020t.102222 此时台风侵袭的区域是(xx)(yy)[r(t)]，其中r(t)10t+60，

2,2]上的图象是

若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

(0x)(0y)(10t60),

21022721022222即(30020t)(300220t)(10t60),

222即t36t2880， 解得12t24.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离

6

的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a） 设

BEBCCFCDDCDAk(0k1)，

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）. 直线OF的方程为：2ax(2k1)y0， ① 直线GE的方程为：a(2k1)xy2a0. ②

从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2y22ay0， 整理得x(ya)21a2221.

当a当a2212121212时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.

1212当a2时，点P到椭圆两个焦点(a,a),(2a,a)的距离之和为定值

22.

当a2

时，点P到椭圆两个焦点(0,a12a），（0，a2a212)的距离之和为定值2a.

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