2-7 微分在经济中的应用

第 十四 讲 课题：2-7 微分在经济中的应用 1、理解边际成本及其经济意义，边际收益及其经济意义，边际效用及其经济意义； 知 2、掌握弹性与弹性函数的概念； 识 目 3、学会如何利用数学的方法解决一些实际问题与优化问题。 标 能 1、会求函数的边际成本、边际收益、边际效用、需求价格弹性； 力 2、会求实际问题中函数的最优解。 目 标 重 重点：1、边际成本、边际收益及其经济意义 点 2、弹性与弹性函数、优化问题 难 难点：弹性与弹性函数、实际问题中求经济函数的最值。 点 时量 90分钟 教 学 方 式 设 计 1、课前复习（5分钟） 2、边际分析（25分钟）。 3、弹性分析（25分钟）； 4、经济函数的优化（25分钟）； 5、课堂练习与小结及布置作业（10分钟） 教学过程 2.7.1边际分析（Marginal Cost） 由导数定义知，函数的导数是函数的变华率。在经济分析中，经济函数的变化率（因变量对自变量的导数），通常称为“边际”. 在经济问题中，经常用到年产量的变化率、成本的平均变化率等概念。设函数yf(x)在点x0处可导，则在(x0,x0x)区域内的平均变化率为 f(x0)limx0y，瞬时变化率为 xf(x0x)f(x0) x定义1：设函数yf(x)是一可微的经济函数，则称f(x)为f(x)的边际函数。 由微分的概念可知，当自变量x的改变量很小时有ydy，但在经济应用中，最小的改变量可以是一个单位，即x1，所以有 ydyf(x0)xf(x0) 1

这说明f(x)在点xx0处当x产生一个单位的改变时，函数yf(x)近似改变了f(x0). 经济分析中，最常见的有边际成本MC( Marginal Cost)，边际收益MR(Marginal Revenue)、边际效用MU( Marginal Utility)等。MC和MR分别表示增加一个单位产品(Q1)所增加的成本和收益，MU表示增加一个单位商品的消费所增加的效用。 (1) 边际成本 设总成本函数为C(Q)，则称其导数C(Q)lim际成本，记做MC。 即边际成本函数为MCdClimC(Q0Q)C(Q0). dQQ0C(QQ)C(Q)为产量为Q时的边 x0QQ由于CC(Q0)Q，当Q1时，CC(Q0)，因此产量为Q0时的边际成本的经济意义为：C(Q)近似等于当产品的产量生产了Q个单位时，再生产一个单位产品时所需增加的成本数。 显然，边际成本与固定成本无关。 C(Q)QC(Q)C(Q)平均成本的导数C(Q)为边际平均成本。 2QQ（2）边际收入 设总收益函数为R(Q)，则称其导数R(Q)limR(QQ)R(Q)为销售量为Q时的Q0Q边际成本，记作MR，即MRR(Q0Q)R(Q0)dR. limQ0dQQ经济含义：假定已销量为Q0个单位，再销售一个单位产品，所增加的收益为R(Q0). x2例1 某产品总成本TC（元）为产量x（个）的函数。TC(x)900。求生产100100个产品时的平均单位成本及边际成本。 C(x)900x解：平均单位成本为AC(x). xx100于是生产100个产品时的平均单位成本为AC(100)x2x), 边际成本为MC(90010050900100， 10（元/个）100100于是生产100个产品时的边际成本为MC(100)1002（元/个）. 50 2

这说明：生产100个产品时，均摊在每个产品上的成本为10元，在此基础上再多生产1个产品，所需要增添的成本大约为2元。 例2 设某产品的需求函数是Q200.25P，求边际收益和Q9,10,11的边际收益值。 解：由需求函数 Q200.25P，解得P804Q。 总收益 TRPQ(804Q)Q80Q4Q2。 所以，边际收益为MR(80Q4Q2)808Q Q9,10,11的边际收益分别为MR(9)8,MR(10)0,MR(11)8. 当Q10时，MR0；当Q10时，MR0。在Q10时，总收益最大，此时价格 P40，说明生产越多(Q10)，总收益反而减少，这是由于产量增大使得价格下跌所致。2.7.2 弹性分析 1、函数的弹性 设yf(x)是可导函数，yf(xx)f(x)， yf(xx)f(x) yf(x)称为函数在点x的相对该变量，而定义2 函数的相对改变量x称为自变量x在点x的相对该变量。 xyx与自变量的相对该变量的比，当x0时的极限，yxyyxxdyxy即 limlimf(x) x0xx0xyydxf(x)xEyEf(x)称为函数yf(x)在点x处的弹性(Elasticity)，记作：或或yx. ExEx在经济学中，经常要研究弹性问题，如需求价格弹性、需求收入弹性、需求交叉弹性和供给弹性。这里仅介绍需求价格弹性。 2、需求价格弹性 弹性概念是经济学中的另一个重要概念，它所描述的是一个经济变量对另一个经济变量的反应程度。 设某商品的需求函数为QQ(p)，其中P为价格，Q为需求量。 由函数弹性的定义可知，需求价格弹性（需求量对价格的弹性）为 3

EQQQPQPdQEQ，记作 . limlimP0P0EPPPQPQdPEP通常是负数，它表示在价格为P时，价格每上升（或下降）1%，需求量将减少（或增加）%。需求价格弹性，反映了某商品价格变动时，需求量变动的灵敏程度。 例3若某种商品的需求量Q是价格P的函数QQ(P)AebP,P0,)，（b0,A0,为常数），求需求量对价格的弹性。 解：PPPQ(P)bP(AebP)bPAebP(bP)P(b)bP。 Q(P)AeAe因此，需求量对价格的弹性bP，它表示价格上升1%，需求量将减少bP%。 例4 设需求函数QQ(P)102P,P0,5,求当P2时的需求价格弹性，并说明其经济意义。 解：由弹性公式得需求价格弹性为 (P)PPPPP， Q(P)(102P)(2)Q(P)102P102P5PP5220.67. 253经济意义是：在价格P2，若价格上升1%，需求量将减少0.67%；若价格下降1%，需求量将增加0.67%. 2.7.3 经济函数的优化 经济函数的优化问题中，该经济函数称为目标函数，目标函数的最值点称为最优解，目标函数的最大（或小）值称为最优值。 经济函数优化的步骤如下： （1）根据实际问题的具体情况，建立目标函数关系式； （2）求目标函数的极值点，往往也是最值点，即最优解。 例5 某产品总成本C（单位：万元）为年产量x（单位：百吨）的函数：当P2时的需求价格弹性为(2)CC(x)abx3，其中a,b为待定系数。已知固定成本为4万元，且当年产量x9百吨时，总成本C31万元。问年产量为多少时才等使平均成本AC最低？ 解：由于总成本C(x)abx3，从而C(0)a，说明a为固定成本，因此a4,将。 x9，C31代入C(x)有314b93，解得b1.故C(x)4x3（万元）于是目标函数为平均成本 AC(x)C(x)4， x（万元/百吨）xx 4

441，令AC(x)0，得唯一驻点x4. AC(x)(x)2xx2xAC(x)(4181113，)AC(4)0. x22xx34x383232所以x4为AC(x)的极小值点，也是最小值点，为最优解。 例6 某商品的销售量Q与单价P的关系为Q80008P。问销量为多少时才能使TR总收入最高？ 解：由Q80008P，解出P1000Q， 8QQ2, 于是目标函数总收入为TRPQ(1000)Q1000Q88TR(Q)1000Q, 令TR(Q)0，得唯一驻点Q4000。 41又TR(Q)0，故Q4000为R(Q)的极大值点，也是最大值点，为最优解。所4以销售量为4000时，才能使总收入R最高。 例7 某厂每日生产Q单位某商品的总成本为TC元，其中固定成本为200元，且生产1单位商品的变动成本均为10元。没单位商品售价P元，又需求函数为Q1502P，问每日产量为多少时才能使总利润L最大？ 解：由于LTRTC,令LTRTC0,即MRMC 得出驻点，对于实际经济问题，此驻点就是利润最大点。 Q从需求函数Q1502P，解出P75， 2QQ2总收入函数为TRPQ(75)Q75Q，边际收益为MR75Q. 22已知固定成本200元，生产Q单位某商品的可变成本为10Q元，因而总成本函数为 TC20010Q. 边际成本MCTC10，令MRMC，即75Q10，得唯一驻点Q65。 Q65为L(Q)的极大值点，也是最大值点，为最优解。故每日产量为65单位时才能使总利润L最大。 课堂练习 P14 1，2，3

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布置作业： P15 4， 6. 6