第24章圆——常见辅助线证明题专练2
1. 如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且
分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G． （1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径； （2）设OG=3，CD=2√5，求⊙O的半径．
2. 已知AB是半圆O的直径,C是半圆O上的动点,D是线段AB延长线上的动点,在运
动过程中,保持CD=OA.
(1)当直线CD与半圆O相切时,如图(2)当直线CD与半圆O相交时,如图
,连接OC,求∠DOC的度数.
,设另一交点为E,连接AE,OC,若AE//OC.
试猜想AE与OD的数量关系,并说明理由; 求∠ODC的度数.
3. 如图，在平面直角坐标系xoy中，A（m+1，0）、B（0，m）（m＞0），以AB为
直径画圆⊙P，点C为⊙P上一动点.
（1）判断坐标原点O是否在⊙P上，并说明理由；
AC，（2）若点C在第一象限，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接BC、且∠BCD=∠BAC， ①求证：CD与⊙P相切； ②当m=3时，求线段BC的长；
4. 如图，OA，OB是⊙𝑂的两条半径，𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，C是半径OB上一动点，连结AC并
延长交⊙𝑂于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知𝑂𝐴=8． (1)求证：∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐸𝐷𝐶； (2)若𝑂𝐶=2，求DE长；
(3)当∠𝐴从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．
AB=AC，在△ABC中，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． 5. 如图，
（1）求证：BD=CD．
（2）若弧DE=50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC=8，AF=3BF，求弧BD的长．
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB=BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
E为AB上一点，DE=DC，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，7. 如图，
以D为圆心，以DB的长为半径画圆． 求证：（1）AC是⊙D的切线； （2）AB+EB=AC．
，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D. (1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若AC=3，∠B=30°.求⊙O的半径；
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的
切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，EF=√6，求EB的长．
10. 已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长； （2）如图2，若∠BAD=2∠DAC，求BD，CD的长．
11. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC=60°，求弧BC的长度． （2）连接BD，求证：DE=DB．
12. 如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO
于F．
（1）求证：OC=OF； （2）求证：AB=DE．
13. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN,∠MAC=∠ABC，D是弧AC
的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F． （1）求证：MN是半圆的切线； （2）求证：F是AG中点．
14. 以△ABC的边BC上一点O为圆心的⊙O经过A，B两点，且与BC边交于点E，点
D为BE所对下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，AC=FC． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径为5，EF=3，求DF的长．
15. 已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为
点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC． （1）如图1，求证：∠D=∠PCB；
（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC=5，求⊙O的半径．
16.如图
,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点A的切线与CD的延长线相
交于点P,且∠APC=∠BCP.
(1)求证:∠BAC=2∠ACD; (2)过图
中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图
),当BC=6,AE=2时,求⊙O的半径.
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