数列知识点总结及题型归纳总结

一、数列的概念

(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作a ； n 数列的一般形式： a1， a2， a3 ，……， an ，……，简记作 {an } 。

例：判断下列各组元素能否构成数列

(1)a, -3, - 1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)2010 年各省参加高考的考生人数。

(2)通项公式的定义：如果数列 {an } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 a ，在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项)，在第二个位 n

叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ， 2 ， 3 ，4， 5 ， …

说明：

1 1 1 1 ②： 1，，，， …

2 3 4 5

数列①的通项公式是 an = n ( n 共 7， n = N+ )，

1 a数列②的通项公式是 n = ( n = N+ ) 。

n

①{an } 表示数列， an 表示数列中的第 n 项， an = f (n) 表示数列的通项公式；

an = (-1)n =〈② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如

，

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

(k =Z)；

(3)数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ： 4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看， 数列

实质上是定义域为正整数集 N+ (或它的有限子集)的函数 f(n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列 函数值 f(1), f(2), f(3), ……， f(n) ，……．通常用 an 来代替 f(n) ，其图象是一群孤立点。

例：画出数列 an = 2n+ 1 的图像.

(4)数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关

系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1)1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

(5)数列{ an }的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系： an =〈

(S1 (n = 1)

lSn - Sn-1 (n ≥ 2)

例：已知数列{an } 的前 n 项和sn = 2n2 + 3 ，求数列{an } 的通项公式

1

练习：

1．根据数列前 4 项，写出它的通项公式：

(1)1，3，5，7……；

(2)

22 112

， ，

32 1132*3，

42 1143*4，

52 1

(3)

(4)9，99，999，9999… (5)7，77，777，7777，… (6)8, 88, 888, 8888… 2．数列an } 中，已知 an =

1*2， ，

15

；

。4*5

(n N+ )

(1)写出 a ， a ， a ， a ， a ；

1, 2 3 n+1 n2

2

(2) 79 是否是数列中的项？若是，是第几项？

3

3． (2003 京春理 14， 文 15)在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白( _____ )内。

4、由前几项猜想通项：

根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.

(1) (4) (7) ( ) ( )

5 . 观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是( )，其通项公式 为

.

A．40 个 B．45 个 C．50 个 D．55 个

2 条 直 线 相 3 条 直 线 相 4 条 直 线 相 交，最多有 1 交，最多有 3 交，最多有 6 个交点 个交点 个交点

2

二、等差数列

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这 个 数 列 就 叫 等 差 数 列， 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差， 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为

an 一 an 一1 = d (n > 2) 或 an+1 一 an = d (n > 1) 。

题型二 、等差数列的通项公式： an = a1 + (n 一 1)d； 例：等差数列 an = 2n 一 1， an 一 an一1 =

说明：等差数列(通常可称为 A P 数列)的单调性： d > 0 为递增数列， d = 0 为常数列， d < 0 为递减数列。 例：1. 已知等差数列 {an } 中， a7 + a9 = 16， a4 = 1，则a12 等于( )

A．15 B．30 C．31 D．

2. {an } 是首项a1 = 1 ，公差 d = 3 的等差数列，如果an = 2005 ，则序号 n 等于 (A)667 (B)668 (C)669 (D)670

“递减数列”)

题型三 、等差中项的概念：

3.等差数列 an = 2n 一 1, bn = 一2n+ 1， 则 an 为 bn 为

(填“递增数列”或

定义：如果 a， A， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项。其中 A =

a， A， b 成等差数列 一 A =

即： 2a= a+ a

n+1 n n+2

( 2an = an一m + an+m )

例：1．(14 全国 I)设{an } 是公差为正数的等差数列， 若 a1 + a2 + a3 = 15，a1a2 a3 = 80，则 a11 + a12 + a13 = ( )

A． 120 B． 105 C． 90 D． 75

n

2.设数列{a } 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是( ) A．1 B.2 C.4 D.8 题型四 、等差数列的性质：

(1)在等差数列{a } 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； n (2)在等差数列{a } 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； n (3)在等差数列{an } 中，对任意 m， n = N+， an = am + (n 一 m)d， d =

a 一 anm

(m 士 n)；

n一m

(4)在等差数列{an } 中，若 m， n， p， q = N+ 且 m + n = p + q ，则 am + an = ap + aq； 题型五、等差数列的前 n 和的求和公式： Sn =

n(n 一1)

= na1 +

1d

d = n 2 +(a1 一 ) n 。 22 2

2

( S = An+ Bn n

(A, B为常数) 亭 {an }是等差数列 )

(a1 + an )n (am + an一(m一1) )n

递推公式： S = = n

2 2

例：1.如果等差数列{an } 中， a3 + a4 + a5 = 12 ，那么 a1 + a2 + ...+ a7 = (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

3

2. (2015 湖南卷文)设 Sn 是等差数列an } 的前 n 项和，已知 a2 = 3， a6 = 11 ，则 S7 等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63

3. (2015 全国卷Ⅰ理) 设等差数列an } 的前 n 项和为Sn ，若 S9 = 72 ,则a2 + a4 + a9 =4. (2015 重庆文) (2)在等差数列a } n 1 9 5 中， a + a = 10 ，则 a 的值为( )

(A)5 (B)6 (C)8 (D)10

5.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有( )

A. 13 项 B. 12 项 C. 11 项 D. 10 项 6. 已知等差数列a } 的前 n 项和为S ，若 S = 21，则a + a + a + a = n n 12 2 5 8 11 7. (2014 全国卷Ⅱ理)设等差数列 an } 的前 n 项和为Sn ，若 a5 = 5a3 则 8． (2014 全国)已知数列{ bn }是等差数列， b1=1， b1+b2+…+b10=100. (Ⅰ)求数列{bn }的通项 bn；

S9

=

S5

9. 已知a }数列是等差数列， a10 = 10 ，其前 10 项的和 S10 = 70 ，则其公差 d 等于( ) n

A．-

3

2

B．-

3

1

1 C. 3

2 D. 3

10. (2015 陕西卷文)设等差数列

an }

的前 n 项和为sn ,若 a6 = s3 = 12 ,则 an =

11． (2013 全国)设{ an }为等差数列， 的前 n 项和，求 Tn。

S

Sn 为数列{ an } 的前 n 项和，已知 S7 ＝7， S15＝75， Tn 为数列{ n}

n

12.等差数列a } 的前 n 项和记为 S ，已知 a = 30， a = 50 n n 10 20

①求通项 a ；②若 S =242，求 n n n

已知 a + a = 40, 求S

13.在等差数列{an } 中， (1)已知 S8 = 48, S12 = 168, 求a1 和d； (2)已知 a6 = 10, S5 = 5, 求a8 和S8； (3)

3 15 17

4

题型六.对于一个等差数列：

S奇

S 奇 = nd (1)若项数为偶数，设共有 2n 项，则① S 偶 ； ②

(2)若项数为奇数，设共有 2n 1项，则① S 奇 S 偶 = an = a中； ②

S奇

=

S偶

S偶

；

。

n=

n1

题型七.对与一个等差数列， Sn , S2n Sn , S3n S2n 仍成等差数列。

例：1.等差数列{an }的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为( )

A. 130 B. 170 C.210 D.260 2.一个等差数列前 n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为

。

} 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为3．已知等差数列a n

4.设 S n n 4 10 7 9 为等差数列a } 的前 n 项和， S = 14， S S = 30，则S =5． (2015 全国 II)设 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和，若 3 ＝ ，则 6 ＝

S 1 S

S 3 S 6 12

3

A． 10

①定义法：

1 B．

3

1 C．

8 1 D．

9

题型八 ．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

an+1 an = d(常数)( n = N * ) an }是等差数列

②中项法：

2an+1 = an + an+2 (n = N* ) an }是等差数列

③通项公式法：

an = kn + b

(k, b为常数) an }是等差数列

④前n 项和公式法：

Sn = An+ Bn

2 (A, B为常数) an }是等差数列

例：1. 已知数列{an } 满足an an

1

= 2 ，则数列{an } 为 ( )

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

2. 已知数列{an } 的通项为 an = 2n + 5 ，则数列{an } 为 ( )

D.无法判断 D.无法判断

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列

3. 已知一个数列{an } 的前 n 项和sn = 2n2 + 4 ，则数列{an } 为( ) 4. 已知一个数列{an } 的前 n 项和sn = 2n2 ，则数列{an }为( ) A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列

5

D.无法判断

5. 已知一个数列{an } 满足an+2 一 2an+1 + an = 0 ，则数列{an } 为( )

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 6.数列{an }满足 a1 =8， a4 = 2， 且an+2 一 2an+1 + an = 0 ( n = N * )

①求数列{a } 的通项公式；

n

7． (14 天津理，2)设 Sn 是数列{an }的前 n 项和，且 Sn=n2 ，则{an }是( ) A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

题型九.数列最值

(1) a1 > 0， d < 0 时， Sn 有最大值； a1 < 0， d > 0 时， Sn 有最小值；

(2) S 最值的求法：①若已知 S ， S 的最值可求二次函数 S = an2 + bn 的最值； n n n n

可用二次函数最值的求法( n = N+ )；②或者求出{an } 中的正、负分界项，即： 若已知 an ，则 Sn 最值时 n 的值(n = N+ )可如下确定〈中， a > 0， S = S ，则前例：1．等差数列{a } n 1 9 12

0

共0

或〈

共1

0

。

项的和最大。

2．设等差数列{a } 的前 n 项和为S ，已知 a = 12， S > 0， S < 0 n n 3 12 13 ①求出公差 d 的范围，

②指出 S， S，…， S 中哪一个值最大，并说明理由。 1 2 12

3． (12 上海)设{ an } (n∈N* )是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，且 S5＜S6， S6 ＝S7＞S8 ，则下列结论错误 的 ．．是( )

A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

6

4．已知数列{an } 的通项

n _ 98

(n = N * )，则数列{an } 的前 30 项中最大项和最小项分别是

n _ 99

5. 已知{an } 是等差数列，其中 a1 = 31 ，公差 d = _8 。 (1)数列{an } 从哪一项开始小于 0？

(2)求数列{an } 前 n 项和的最大值，并求出对应 n 的值．

6. 已知{an } 是各项不为零的等差数列，其中 a1 > 0， 公差 d < 0， 若 S10 = 0 ,求数列{an } 前 n 项和的最大 值．

7.在等差数列{an } 中， a1 = 25， S17 = S9 ，求 Sn 的最大值．

题型十.利用 an =〈

(S1 (n = 1)

lSn _ Sn _1 (n > 2)

求通项．

1.数列{an } 的前 n 项和 Sn = n2 + 1． (1)试写出数列的前 5 项； (2)数列{an } 是等差数列吗？(3)你能写出数 列{an } 的通项公式吗？

7

2．已知数列an } 的前 n 项和Sn = n2 4n +1，则

3.设数列{an } 的前 n 项和为 Sn=2n2 ，求数列{an } 的通项公式；

4. 已知数列an } 中， a1 = 3，前 n 和 Sn = (n + 1)(an + 1) 1

1

2

①求证：数列a }是等差数列

n

②求数列a } 的通项公式

n

5. (2015 安徽文)设数列{an } 的前 n 项和 Sn = n2 ，则 a8 的值为( ) (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)

等比数列

等比数列定义

一般地， 如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，．．．． ．． 那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示 (q 0)，即： a ： a = q(q 0) 。

n+1 n

一、递推关系与通项公式

递推关系： an+1 = an q 通项公式： an = a1 . q n 1 推广： an = am . q n m

1． 在等比数列an } 中, a1 = 4, q = 2 ，则 an =

2． 在等比数列an } 中, a7 = 12, q = 3 2 ,则 a19 = _____.

3. (2014 重庆文)在等比数列{an }中， a2 ＝8， a1＝，，则公比 q 为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)8

4.在等比数列an } 中， a2 =

2， a5 = ，则 a8 =

8

5.在各项都为正数的等比数列 {an } 中，首项 a1 = 3 ，前三项和为 21，则 a3 + a4 + a5 = ( )

A 33 B 72 C 84 D 1

二、等比中项：若三个数 a, b, c 成等比数列，则称 b 为 a与c 的等比中项，且为b = 士 ac，注： b2 = ac 是成等 比数列的必要而不充分条件.

例：1. 2 + 3 和 2 一 3 的等比中项为( )

(A)1 (B) 一 1 (C) 士1 (D)2

2. (2013 重庆卷文) 设{an } 是公差不为 0 的等差数列， a1 = 2 且a1 , a3 , a6 成等比数列， 则{an } 的前 n 项

和 S =( )

n

A． +

n

2

7n

4 4

B． +

n

2

5n

3 3

C． +

n

2

3n

2 4

D． n2 + n

三、等比数列的基本性质，

1. (1) 若m + n = p + q， 则am . an = ap . aq (其中m, n, p, q 仁 N* ) (2) q n一m =

an

， an 2 = an一m . an+m (n 仁 N* )am

(3) {an } 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. (4) {an } 既是等差数列又是等比数列 一 {an }是各项不为零的常数列.

例：1．在等比数列{an } 中, a1 和 a10 是方程 2x2 + 5x +1 = 0 的两个根,则 a4 . a7 = ( )

5 (A) 一 2 (B) 2

2 1 (C) 一 2 1 (D) 2 2. 在等比数列{an } ，已知 a1 = 5， a9 a10 = 100 ，则 a18 = 3.在等比数列{an } 中， a1 + a6 = 33， a3 a4 = 32， an > an+1

①求 an

②若Tn = lg a1 + lga2 + … + lgan , 求Tn

9

4.等比数列{an } 的各项为正数，且 a5 a6 + a4 a7 = 18, 则log3 a1 + log3 a2 + …+ log3 a10 = ( ) A．12 B．10 C．8 D．2+ log 3 5

a5 . a2 n-5 = 22n (n > 3)则当n > 1 时 {a} a> 0, n = 1, 2, …n n 5. (2014 广东卷理) 已知等比数列 满足， 且 ， ，

log 2 a1 + log 2 a3 + … + log 2 a2 n-1 =

( )

A. n(2n - 1) B. (n + 1)

2.前 n 项和公式

2

C. n

2

D. (n - 1)

2

(q = 1) (| na1

n

S a1 (1 - q )=a1- an q(q 才 1) 〈n =

|l1-q 1-q

例：1. 已知等比数列 {an } 的首相 a1 = 5 ，公比 q = 2 ，则其前 n 项和Sn =

1

2. 已知等比数列 {an } 的首相 a1 = 5 ，公比 q = ，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项

2

和 S = n

3.设等比数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，已 a2 = 6, 6a1 + a3 = 30 ，求 an 和 Sn

4． (2015 年北京卷)设 f(n) = 2 + 24 + 27 + 210 + … + 23 n+10 (n 从 N) ，则 f(n) 等于( )

2 2 2 2 7 7 7 7

5． (2014 全国文，21)设等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S3＋S6＝2S9 ，求数列的公比 q；

A． (8n - 1) B． (8n+1 - 1) C． (8n+3 - 1) D． (8n+4 - 1)

6．设等比数列{an } 的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，若 Sn+1 ,Sn， Sn+2 成等差数列，则 q

的值为

.

3.若数列{an }是等比数列， Sn 是其前 n 项的和， k 从 N * ，那么 Sk， S2k - Sk， S3k - S2k 成等比数列.

S9 S 6

S aSS 例：1. (2014 辽宁卷理)设等比数列{ n }的前 n 项和为 n ，若 3 =3 ，则

7 8

A. 2 B. 3 C. 3 D.3

2.一个等比数列前 n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为( )

A．83 B．108 C． 75 D．63

10

6 =

3. 已知数列{an }是等比数列，且 Sm = 10， S = 30，则S = 2m 3m

4.等比数列的判定法 (1)定义法：

= q (常数) 亭 {an } 为等比数列；

(2)中项法： an+1

2

= an . an+2 (an 丰 0) 亭 {an } 为等比数列；

(3)通项公式法： an = k . q n (k, q为常数) 亭 {an } 为等比数列； (4)前 n 项和法： Sn = k(1 - q n ) (k, q为常数) 亭 {an } 为等比数列。

Sn = k - kq n (k, q为常数) 亭 {an }为等比数列。

例：1. 已知数列 {an } 的通项为 an = 2n ，则数列{an } 为 ( )

2. 已知数列{an } 满足 an+1

2

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列

= an . an+2

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

(an 丰 0) ，则数列{an } 为 ( )

D.无法判断

3. 已知一个数列{an } 的前 n 项和sn = 2 - 2n +1 ，则数列{an } 为( ) A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

5.利用 an =〈

(S1 (n = 1)

lSn - Sn -1 (n > 2)

求通项．

1

例：1. (2015 北京卷)数列{an } 的前 n 项和为 Sn， 且 a1= 1， an+1 = Sn， n=1，2，3，……，求 a2， a3， a4

3

的值及数列{an }的通项公式．

2. (2015 山东卷)已知数列{an } 的首项a1 = 5, 前 n 项和为 Sn， 且 Sn+1 = Sn + n +5(n 仁 N* ) ，证明数 列{a + 1} 是等比数列．

n

11

四、求数列通项公式方法 (1)． 公式法(定义法)

根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1 已知等差数列{an } 满足： a3 7, a5 a7 26， 求 an；

2. 已知数列{an } 满足 a1 2, an an

1

1(n 1) ，求数列{an } 的通项公式；

3.数列an 满足 a1 =8， a4 2， 且an2

2an1 an 0 (n N)，求数列an 的通项公式；

4. 已知数列{an } 满足 a1 2,

1 1

a a n1 n

2 ，求数列an 的通项公式；

5. 设数列{an } 满足 a1 0 且

1

1an

1，求{an } 的通项公式

12

6. 已知数列{an } 满足 an1 , a1 1 ，求数列{an } 的通项公式。

7. 等比数列{a n } 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1， a3 2 9a2 a6 ，求数列{an } 的通项公式

8. 已知数列{an } 满足 a1 2, an 3an1 (n 1) ，求数列{an } 的通项公式；

9. 已知数列{an } 满足 a1 2， a2 4且an2 an an1

2

(n N)，求数列an 的通项公式；

10. 已知数列{an } 满足 a1 2，且 an1 5n1 2(an 5n ) (n N)，求数列an 的通项公式；

13

11. 已知数列{an } 满足a1 = 2，且 an+1 + 5〉2n+1 + 2 = 3(an + 5〉2n + 2) (n = N* )，求数列{an } 的通项公 式；

1

12.数列已知数列{an } 满足a1 = , an = 4an 一1 +1(n > 1). 则数列{an } 的通项公式=

2

(2) 累加法

1、累加法 适用于： a = a + f (n)

n+1 n

a2 一 a1 = f (1)

若 an+1 一 an = f (n) (n > 2) ，则

a3 一 a2 = f (2)

… …

a 一 a = f (n) n+1 n

两边分别相加得 an+1 一 a1 = f (n)

n

x

k=1

1

例： 1.已知数列{an } 满足a1 = ,

2

1

an+1 = an +

4n2一1

，求数列{an } 的通项公式。

14

2. 已知数列{an } 满足an1 an 2n 1， a1 1 ，求数列{an } 的通项公式。

3. 已知数列{an } 满足an1 an 2 3n 1， a1 3 ，求数列{an } 的通项公式。

4. 设数列{an } 满足a1 2， an1 an 3 22n 1 ，求数列{an } 的通项公式

(3)累乘法

适用于： a f (n)a n1 n

若

f(n) ，则

a2

a1

a

f(1)，3

n

a2

f(2)，…… ，

f(n)

两边分别相乘得，

a 1 k 1

a1 

f (k)

15

例： 1. 已知数列{an } 满足an+1 = 2(n +1)5n an， a1 = 3 ，求数列{an } 的通项公式。

2.已知数列an }满足 a1 = ， an+1 =

3.已知 a1 = 3， an+1 =

23an ，求 an 。

an (n > 1) ，求 an 。

(4)待定系数法

适用于 a = qa + f (n)

n+1 n

解题基本步骤： 1、确定 f(n)

2、设等比数列an + 入1f(n)} ，公比为

3、列出关系式 an+1 + 入1f(n +1) = 入2 [an + 入2 f(n)]

4、比较系数求 入， 入 1 2

5、解得数列an + 入1f(n)} 的通项公式

} 的通项公式 6、解得数列a n

16

例： 1. 已知数列{an } 中， a1 = 1, an = 2an 1 +1(n > 2) ，求数列an } 的通项公式。

2. (2015，重庆,文,14)在数列an } 中，若 a1 = 1, an+1 = 2an + 3(n > 1)，则该数列的通项 an = _______________

3. (2014. 福建.理 22.本小题满分 14 分)已知数列an } 满足a1 = 1, an+1 = 2an +1(n N*). 求数列an } 的通 项公式；

4.已知数列{an } 满足an+1 = 2an + 35n， a1 = 6 ，求数列an } 的通项公式。 解：设 a + x 5n+1 = 2(a + x 5n )

n+1 n

5. 已知数列{an } 满足an+1 = 3an + 5 2n + 4， a1 = 1 ，求数列{an } 的通项公式。解：设 an+1 + x 2n+1 + y = 3(an + x 2n + y)

17

5 1 1 1

6.已知数列a } 中， a1 = , an+1 = an + ()n+ ，求 a

n

6 3 2

n

7. 已知数列{an } 满足an+1 = 2an + 3n2 + 4n + 5， a1 = 1 ，求数列{an } 的通项公式。

解：设 an+1 + x(n + 1)2 + y(n + 1) + z = 2(an + xn2 + yn + z)

8. 已知数列{an } 满足an+1 = 2an + 4 . 3n 1， a1 = 1 ，求数列an } 的通项公式。

递推公式为 an+2 = pan+1 + qan (其中 p， q 均为常数)。先把原递推公式转化为 an+2 san+1 = t(an+1 san ) 其中 (s + t = p

s， t 满足〈

st = q

9. 已知数列{an } 满足an+2 = 5an+1 6an , a1 = 1, a2 = 2 ，求数列{an } 的通项公式。

18

(5)递推公式中既有 S

n

分析：把已知关系通过 an =〈

(S1 , n = 1

转化为数列{an } 或 Sn 的递推关系，然后采用相应的方法求解。

lSn - Sn -1 , n > 2

1

1. (2015 北京卷)数列{ an }的前 n 项和为 Sn， 且 a1=1， an+1 = Sn， n=1，2，3，……，求 a2， a3， a4 的值及

3

数列{an }的通项公式．

2. (2015 山东卷)已知数列{an } 的首项 a1 = 5, 前n 项和为 Sn，且 Sn+1 = Sn + n + 5(n = N* )，证明数列{an + 1} 是等比数列．

3．已知数列{an } 中， a1 = 3，前 n 和 Sn = (n + 1)(an + 1) - 1 ①求证：数列{a }是等差数列

n

12

②求数列{a } 的通项公式

n

19

1

4. 已知数列{a } 的各项均为正数，且前 n 项和 S 满足 S = (a + 1)(a + 2)， 且 a , a , a 成等比数列，求数

n n n n 2 4 9

6 n

列{an } 的通项公式。

(6)倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例： 1. 已知数列{an } 满足an+1 =

,a1 = 1 ，求数列{an } 的通项公式。

(7) 对无穷递推数列

消项得到第 n + 1 与 n 项的关系

例： 1. (2014 年全国 I 第 15 题，原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 = 1， an = a1 + 2a2 + 3a3 + … + (n 1)an 1(n > 2) ，求{an } 的通项公式。

n

2.设数列a } 满足a + 3a + 32 a + …+ 3n 1a = n n

1 2 3

3

} 的通项； ， a =N* ．求数列a n

20

五、数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

Sn =

n(n -1)

= na1 +

a1

d Sn =〈2

(q 丰 1)

公比含字母时一定要讨论

(理)无穷递缩等比数列时， S =

1 - q

例：1. 已知等差数列{an } 满足a1 = 1, a2 = 3 ，求前 n 项和{Sn }

2. 等差数列{an }中， a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=( )

A． 9 B．10 C．11 D．12

3. 已知等比数列{an } 满足a1 = 1, a2 = 3 ，求前 n 项和{Sn }

4.设 f(n) = 2 + 24 + 27 + 210 + … + 23 n+10 (n =N) ，则 f(n) 等于( )

2

A. (8n - 1) 7

B. 2 (8n+1 - 1)

7

C. 2 (8n+3 - 1)

7

D. (8n+4 - 1)

2

7

2．错位相减法求和：如： {an }等差, {bn }等比, 求a1b1 + a2 b2 + … + an bn 的和. 例：1．求和 Sn = 1+ 2x +3x2 + … + nx n-1

2.求和： Sn = +

n123

+ + … +

an a a2 a3

21

(Ⅰ) 3.设{an } 是等差数列， {bn } 是各项都为正数的等比数列，且 a1 = b1 = 1， a3 + b5 = 21， a + b = 13 5 3

( a )

求{an }， {bn } 的通项公式； (Ⅱ)求数列〈

卜 的前 n 项和 Sn． lbn J

n

3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项： = 一

1 1 1

n(n +1) n n +1

1 1 1 1

= ( 一 )

(2n 一 1)(2n +1) 2 2n 一 1 2n +1 1 1 1 1

= [ 一 ]

n(n +1)(n + 2) 2 n(n +1) (n +1)(n + 2)

1 1 1 1

= ( 一 )

n(n + 2) 2 n n + 2

n . n!= (n + 1)!一n!

n 1 1

= 一

(n + 1)! n! (n + 1)!

一 = C i 一 C i C i 1

n一1 n n一1

例：1.数列{an } 的前 n 项和为Sn ，若 an = ，则 S5 等于( )

A． 1

B．

5

6

1

C．

6

1 D． 30

，求前 n 项的和；

2. 已知数列{an } 的通项公式为 an =

3. 已知数列{an } 的通项公式为 an = 1 n + n +1 ，求前 n 项的和．

22

4. 已知数列{an } 的通项公式为 an ＝，设Tn = ．

1

aa13

1+ ．

+ … + aa24

， 求Tn．

1 1 1 1

5． 求1+ + + + ,(nN*)。 …+1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+…+n

6． 已知a > 0, a 1， 数列an }是首项为 a， 公比也为 a 的等比数列， 令bn = an . lg an (n N)， 求数列bn } 的前 n 项和 S 。 n

4．倒序相加法求和

1

例：1. 求 S = 3C+ 6C2 + … + 3nCn

n n n n

2.求证： C0+ 3C1+ 5C2+ ... + (2n +1)Cn= (n +1)2n

n n n n

23

3．设数列a }是公差为d ，且首项为 a = d 的等差数列， n 0

0 + a C 1 + 求和： S = a C … + a C n

n+1 0 n 1 n n n

综合练习：

1.设数列{an } 满足 a1 = 0 且 (1)求{an } 的通项公式

-

1

= 1 1-an

(2)设 bn = n+1 , 记 Sn =

1 - a n

bk ，证明： Sn < 1

n k=1

2.等比数列{an } 的各项均为正数，且 2a1 + 3a2 = 1， a3 2 = 9a2 a6

(1)求数列{an } 的通项公式

aa1 + log2 + ... + logn ，求数列{ (2)设 bn = log a

333

1

bn

}的前 n 项和

24

3. 已知等差数列{an } 满足a2 = 0 , a6 + a8 = 10 . (1)求数列{an } 的通项公式及 Sn (2)求数列{

an

2n1

} 的前 n 项和

4. 已知两个等比数列 {an }， {bn } ，满足 a1 = a(a > 0)， b1 a1 = 1， (1)若 a = 1, 求数列{an } 的通项公式 (2)若数列{an } 唯一，求 a 的值

5.设数列{an } 满足 a1 = 2， an+1 an = 3 . 22n 1

(1)求数列{an } 的通项公式

(2)令 bn = nan ，求数列{bn } 的前 n 项和 Sn

25

b2 a2 = 2，b3 a3 = 3

7. 已知等差数列{an } 满足： a3 7, a5 a7 26， {an } 的前 n 项和Sn (1)求 a 及 S n n (2)令 bn 

1

(n N)，求数列{bn }前 n 项和 Tn

a21 n

8．已知数列an 中， a1 3，前 n 和 Sn ①求证：数列a n 是等差数列

②求数列a n

的通项公式 1

2

(n 1)(an 1) 1

26