第五章 二次型 一些需要理解的概念和方法

一. 二次型的表示

f(x1,x2,...,xn)aiixi22i1nn1ijnaijxixj(aijaji)xixjaiixi2i1nn1ijn

aijxixji1j1XTAX从上述的表达式中, 可以看出, 二次型中, xixj的系数是aijaji2aij.

123x1例如: 设f(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)456x2, 则该二次型关于x2x3的系数是6+7=13.

789x3所以可以直接写出该二次型如下:

22f(x1,x2,x3)x126x1x210x1x35x214x2x39x3.

二. 任意二次型经过非退化线性替换可以化成标准形, 有两种方法达到该目的. 这是因为一

个二次型经过非退化的线性替换后仍是一个二次型。

事实上，令X=CY，则

f (X)=XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y= YTBY, B=CTAC, A与B合同. 1. 配方法

2. 矩阵的合同变换

A合同CTACT

, 对A作合同变换，E只与A作同样的列变换。此时, CAC是EC一个对角形矩阵，非退化线性替换的矩阵为C， 即经过X=CY，原二次型化为标准形。 于是一个秩为r对称矩阵可以写出r个秩为1 的对称矩阵之和:

d1drT因为CACd1E11drErr,其中di0., 所以

00Ad1(C1)TE11C1dr(C1)TErrC1.

上式右端的每一项中, 因为C1和(C1T

)均可逆, 而R(Eii)=1, 可逆矩阵乘以一个矩阵不会

1T1改变这个矩阵的秩, 所以R(C)EiiCR(Eii)1.

三. 规范形

1. 复数域上: 任一个对称矩阵A合同于Er00, 任一个二次型可经过非退化线性替换0（X）=f（CY）=y12X=CY化为fyr2，R（A）=r.

Ep2. 实数域上: 任一个对称矩阵A合同于

2替换X=CY化为f（X）=f（CY）=y1Eq, 任一个二次型可经过非退化线性02y2pyp1yr2，（RA）=r.

其中, p------正惯性指数,

r-p----负惯性指数 2p-r---符号差

3. 二次型的取值: 对于一个实二次型, 若存在X1, X2使得

TTX1AX10,X2AX20, 则该二次型既不是半正定也不是半负定, 即它的正负

惯性指数都非零, 所以存在非退化线性替换XCY使得

222f(X)f(CY)y1y2pyp1yr,

且0取Y0(c1,...,cp,cp1,...,cn), 其中c1cp11,cj0,j2,...,n,jp1. 令X0CY0,则f(X0)f(CY0)c1cp10. 四. 正定二次型的几个等价条件

22实二次型f(x1,x2,,xn)XAX正定

① A与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵P,使得APP; ② A的顺序主子式都大于零.

③ f(x1,x2,,xn)的正惯性指数等于n.

④ 对于任意的0T(c1,c2,...,cn)Rn,f(c1,c2,...,cn)TA0.

推论: 设A是可逆的实对称矩阵, 则是正定矩阵. 证法1. 因为ATA

ATEA, 所以矩阵ATA与E合同, 所以ATA正定.

0, 因为A可逆,

证法2. 令B=ATA, f(X)=XTBX=X ATA X=(AX)TAX, 对任意的X0=(c1,c2,…,cn)所以A X0

0, 于是X0 ATA X0>0. 所以ATA正定.

五. 负定矩阵 A负定的充要条件是

A正定, 于是有

A负定的充要条件是A的奇数阶的顺序主子式小于零, 偶数阶的顺序主子式大于零.

第五章 二次型 小结

一. 二次型与矩阵 1. 基本概念

二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同. 2. 基本结论

(1) 非退化线性替换把二次型变为二次型.

(2) 二次型f(x1,x2,,xn)XAX可经非退化的线性替换XCY化为二次型

f(y1,y2,,yn)YBYBCAC.

(3) 矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性. 二. 标准形 1. 基本概念

二次型的标准形;配方法. 2. 基本定理

(1) 数域P上任意一个二次型f(x1,x2,,xn)都可经过非退化的线性替换

22dnyn. XCY化为标准形式d1y12d2y2(2) 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 3. 矩阵的合同变换

A合同CTACT

, 对A作合同变换，E只与A作同样的列变换。此时, CAC是一个EC对角形矩阵，非退化线性替换的矩阵为C， 即经过X=CY，原二次型化为标准形。

三. 唯一性 1. 基本概念

复二次型的规范形;实二次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差. 2. 基本定理

(1) 任一复二次型f(x1,x2,,xn)都可经过非退化的线性替换XCZ化为唯

2zr2,rf的秩. 一的规范形式z12z2因而有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.

(2) 惯性定律:任一实二次型f(x1,x2,,xn)都可经过非退化线性替换

XCY化为唯一的规范形式

22的秩, z12z2pzp1zr,rfp为f(x1,x2,,xn)的正惯性指数.因而两个n元实二次型可经过非退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.

(4) 实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.

四、正定二次型 1. 基本概念

正定二次型，正定矩阵;顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二次型，不定二次型.

2. 基本结论

(1) 非退化线性替换保持实二次型的正定性不变. (2) 实二次型f(x1,x2,,xn)XAX正定

① A与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵P,使得APP; ② A的顺序主子式都大于零.

③ f(x1,x2,,xn)的正惯性指数等于n.