维普资讯 http://www.cqvip.com 第７卷第２期 ２０ｏ７年４月 金华职业技术学院学报 ＶｏＡｏｒ．２００７ １．７ Ｎｏ．２ 再探柯西中值定理 葛健芽 ，张跃平 ，沈利红 （１．浙江金华职业技术学院，浙江金华３２１００７；２．浙江师范大学，浙江金华３２１００４；３．同济大学应用数学系，上海２００４３３） 摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用。其中证明方法有：利用闭区间套定理证明、利用反证 法证明．其应用方面为：证明一致连续、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式． 关键词：柯西中值定理；证明：应用 中图分类号：０１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—３６９９（２００７）０２－００８１－０４ Ａ Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｃａｕｃｈｙ Ｍｅａｎ－Ｖａｌｕｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ＧＥ Ｊｉａｎ—ｙａ ，ＺＨＡＮＧ Ｙｕｅ—ｐｉｎｇ２，ＳＨＥＮ Ｌｉ—ｈｏｎｇ３ ｆ１．ｉｆｎｈｕａ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，￣ｎｈｕａ ３２１００７，Ｃｈｉｎａ；２．Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｊｉｎｈｕａ ３２１００４，Ｃｈｉｎａ；３．Ｔｏｎ￣ｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００４３３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃａｕｃｈｙ ｍｅａｎ－ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｒｏｍ ｍａｎｙ ａｎｇｌｅｓ．Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｃｌｏｓｅｄ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｓｕｉｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｓｐｅｃｔｓ ａｒｅ＂ｐｒｏｖｉｎｇ ｕｎａｎｉｍｏｕｓｌｙ ｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ；ｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ，ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ａｎｄ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅａｎ—ｖａｌｕｅ ｆｏｒｍｕｌａ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃａｕｃｈｙ ｍｅａｎ—ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｐｒｏｏｆ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ 引言 则 。）＝ｌｉｍ —微分中值定理是微分学中的一个重要定理。它 ｎ—啐∞Ｉ ，一Ｃ ” 包括罗尔定理、拉格朗１３中值定理、柯西中值定理。 而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性． 本文主要对柯西中值定理的证明方法再作探 究，并与应用相结合，以使其更好地被认识． １ 柯西中值定理的证法再探 １。１利用闭区间套定理证明柯西中值定理－】 证明思路是：由图１，若Ａ、Ｂ分别表示点（ｇ（口）， 图１中值定理的闭区间套示意图 ａ）），（ｇ（ｂ） ６））由柯西中值定理条件，应有一族 证明由于厂（ ）在ａ，ｈｉ￣连续，在 ｏ∈（口，６）处可 平行于ＡＢ的弦Ａ。Ｂ。，Ａ ，…它们运动的极限位置 导．且口≤ ≤孱≤６，ｌｉｍ ｃｒｎ＝ｌｉｍｆｌ￣ｘ０，故 就是曲线）， ）在点处ｃ（ｇ（０ ）的切线． 首先介绍以下三个引理： ｌｉｍ． ） ，ｒ—一 ３ｎ－ａｎ 引理１嘲设函数 （ ）在 ，６】上连续，且在 。∈（口，ｂ）处可导，又｛【％，屏】｝为一闭区间套，且 ， ｌ－％ ％ ｌｉｍ ｃ ＝ｌｉｍ孱＝ ０， ｆｌ￣－－Ｘｏ＋ｌｉｍ ｘ０－ｃｒ￣ 肌—收稿１３期：２０ｏ７—０４—ｏ４ 作者简介：葛健芽（１９６４一），男，浙江东阳人，副教授，主要从事应用数学研究。 维普资讯 http://www.cqvip.com 金华职业技术学院学报 。）（ 磊 詈） 。） 嘴式 ）＝ｌｉｍ 成立． —引理２嘲设函 ）在［０，ｂ］ｇａ连续，则存在［０１， ６１］ｃ［０，６］且６１—０１＝÷（６一口），使 １２ ！）一ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）一 ｂｌ－ａ１ ｂ－ａ 证明 作辅助函数Ｆ（ ） ＋ １（６一口）］ （ ）一 －ｆ（ｂ）＋ 口）．显然，Ｆ（ ）在［０，譬］上连续． （１）若Ｆ（口）＝０，贝Ⅱ令口 ＝口，ｂ ＝． ： 若Ｆ（芋）＝０，则令０１＝旦 ， ６； 若 （口）＝Ｆ（ 鱼－）＝０，则以上两种情况中任取其一确 定ａ１，ｂ１． （２）若Ｆ（口）≠Ｏ，则 ） 旦 ）＝０， 口） 譬）＜０． 由连续函数的介值定理，在ｆ０， 鱼’ 内至少存在一 点 ，使Ｆ（ ＝０．此时，设ａｌ＝ｘ０，６ １（６一口）． 以上这些情况下，皆有 ＿—ｆ（ｂ１）－—ｆ（ａ１）一． ） ） ｂ１—０】 ｂ－ａ ’ 引理３Ⅲ设厂（ ）、ｇ ）在［口，ｈｉ￣连续，且ｇ（ ）是 单射，则存在［０Ｊ，ｂ１］Ｃ［ａ，６］且６ －ａｌ＝ １（６一口），使 垒！） ！）：． 垒） ）． ｇ（６１）－ｇ（口１）ｇ（ｂ）－ｇ（口）。 证明略 引理２证明土 下面证明柯西中值定理 证明先证当 ∈［０，ｂ］Ｒ ≠ 时， ）≠ ． 若否，由引理２，存在， ｃ 且 ∞＝÷（ ， 使 届＝ －ｏ， — １ 从而ｇ ） ）．在 ， 上再应用引理２，存在 ，屈］ｃ［ｍ ］，且 屈一 ＝÷（局一∞）． 使 一 ｏｒ２ ： 届一∞ ， 从而ｇ（屈）－ｇ（ ）．反复应用引理２，可得一个闭区间 套（【 ，例），满足ｌｉａｒ（孱一 ）＝Ｏ且ｇ（孱）＝ ）． 由闭区间套定理罔，存在 ∈ ， ｃ［口，６］，使ｌｉａｒ ｔｒ，，＝ｌｉｍｆｌ，，＝，ｆ．由引理１得 ｇ，（ 这与条件“Ｖ ∈（口，ｂ），ｇ，（ ）≠０”矛盾．故当 ， ∈【０，ｂ］Ｒ ≠ 时，ｇ（ａ）≠ｇ（ ，根据引理３，存在 【口 ，ｂ ］ｃ【口，ｂ］＿Ｒｂ 一口 ＝ 一（６一口）．使 垒！） ：． 垒） ｇ（６１）一ｇ（口１）ｇ（ｂ）－ｇ（口） 反复应用引理３，可得闭区间套（【 ，ｔｄ｝．满足 ｌｉｍ（ －－－￣）＝０ 且 ． 垒 ）＝ ）：． 垒） ｇ（ｂ ）－ｇ（ ）ｇ（ｂ）－ｇ（口） 由闭区间套定理，存在Ｃ∈［０，ｂ］，使ｌｉｍａ，，＝ｌｉｍ６ ＝ 由 引理１．有 垒 ） 错＝ｌ—ｉｍ （（６ ｂ．－ ａ． ）） ＝・ ． 垒２ ） ｇ（ｂ）一ｇ（口） 即柯西中值定理成立． １．２利用反证法证明柯西中值定理 由１．１引理３。我们易得： 引理４ ）与ｇ（ ）在［０，６］上连续，在（口，ｂ） 内可导，且Ｖ ∈（口，ｂ），ｇ ）≠０．则存在［０ ，ｂ ］Ｃ［ａ， ｂ］＿Ｒｂ１一口１＝ １＿（６一口）．使 ＝—ｆ（ｂ） －ｆ（ａ）ｇ（６１）－ｇ（口１） ｇ（ｂ）－ｇ（ａ・）。 下面证明柯西中值定理． 证明不断运用引理４，可得闭区间列（【 ，ｔｄ｝， 满足 （１）【 １，６ １］ｃ ，ｂｄ； （２）６ 一ａｎ＝ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 葛健芽等：再探柯西中值定理 ８３ ㈣ ｆ（ｂ．）－：ｆ（（ａ ４＝ ．ｇ由闭区间套定理知，存在 ∈ ，６ｎ】，使 ｌｉｒａ ｌ＝ｌｉｍ ＝ 假设 盟 ． ２ ２ ｇ （ ） ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）’ 不妨设 、． 垒２ ２ ｇ （ ｇ（ｂ）－ｇ（ａ） 由于 ｌ ｉａｒ ） ２ ＝ｌｉ ａｒ （ — ： ＞． 垒２ 堡２ ，ｇ （ ｇ（ｂ）－ｇ（ａ） 故存在 （ ， ），０＜３＜ｂ一口，当 ∈ （ ， ）时， ｇ（ ）－ｇ（ ＞ ｇ（ｂ －ｇ（ａ） ） ① ｄａｌｉｍａ，，＝ｌｉｍｂ，，＝，￣知，存在正整数ｍ，使ａｍ，ｂ ∈ （ ， ， 且 ． ｇ（ｂ ）－ｇ（‰）一ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）２ ）：． 垒２ ２ 由①式得 ） ． ２ 堡２ ｇ（ｂ ）－ｇ（ ）ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）’ ｇ（ ＞ —ｇ（‰）ｇ（ｂ －ｇ（） ａ ） ③ 由于ｇ （ ）≠０，不妨设ｇ （ ）＞０．又‰＜ ＜６ ， 故 ｇ（ ）＜ｇ（ ＜ｇ（６ ）． 从而上述不等式③变为 ６ｍ） ＞ （６ｍ）－ｇ（ ‰） ＞ ｇ（点！ｂ）＝－＝ｇ（ａ 唼 （、晒、 —ｓ，６、ｇ（ ／Ｊ‰）］ 将上两式相加．得 瓶）－ｓＳａ．）＞ （ 即 ２ ）、． 垒） 垡） ｇ（ｂ ）—ｇ（‰）ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）‘ 这与⑦式矛盾． 同理可证器＜ 不航 又由于器存在，故只有 ￡ ：． 垒２ ２ ｇ，（ ｇ（６）－ｇ（ａ）‘ ２柯西中值定理的应用 ２。１证明一致连续闱 ）在（ｏ， 上可导，＿￣ｌｉｍ、／ ： ）存在且有 限，试ｉｉＥｆ（ｘ）在（Ｏ， 上一致连续． 证明只要ｉ￣ｔｌｉｍｆ（ ）存在且有限．Ｖ ８＞０，设 ｌｉｍ 、／ ）＝ｆ，则ｊ Ｏ（尔口），￣ｘ：０＜ｘ＜３ｏ，有 ｌ）一ｌｌ＜１ 即有 ｌ Ｓ，／－ｘｆ￣ｘ）ｌ≤Ｉｌ Ｉ＋ｌ Ｖｘ，ｙ∈（ｏ，口）， 由柯西中值定理 、／ ：Ｖ＇，单２ （ ， — ２ｖ７－ 其中 在 与Ｙ之间，因此 Ｉｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）Ｉ＝ｌ２ Ｉ１ ＿－、／ ｌ ￣ｔｌｉｍ、／ 存在且有极限知，对于 哥＞０，３８ｏ＞Ｏ（８＜３０） Ｖｚ ， Ｏ ，Ｏ＜ｚ 有 打 于是Ｖｘ，ｘ Ｏ ，０＜ｘ 有 Ｉ ） ，）Ｉ＝ｌ ２ 刀）ｌ ｌ＿－ ｌ ＜ Ｉｔ 南＝占 其中 在 与 之间．由柯西收敛原理知，ｌｉｍ／（ｘ） 存在且有限，令 ≤口 易知，（ ）在［Ｏ，口】上连续，在（０，ａ）内可导．故 Ｆ（ｘ）在［Ｏ， 上一致连续，从而Ｆ（ ）在（Ｏ， 上一致 连续，即 ）在（Ｏ， 上一致连续． 维普资讯 http://www.cqvip.com 金华职业技术学院学报 ２ ０ ０ ７矩 ２．２研究定点问题 设 ）在ａ，ｈｉ￣连续，在（口，ｂ）内可导（０≤ｏ＜６）， 一ｌＩ（ ｌ ｅ ） ：ｅ ｆ（ａ）≠ ｂ）．试证了 ，ｒ／∈（口，ｂ），使 其中ｌ＜ｓＣ＜ｘ，而 帮 证明设ｇ（戈）＝ ，由０≥０知ｆ（ｘ），ｇ（ ）在【口，ｂ】 上满足柯西中值定理，故至少了叼∈（口，ｂ），使 ｌ Ｉ（ｅ ） Ｉ ｌ ≤ １ ｌｅ－￣ ｌ ）亦有 垒２ 堡） ６ｚ．－ 即 ＝ ． ２ ≤ Ｉ 一 （孝）Ｉ＋｝ｌ 一 （ ）Ｉ＋争ｌ ｅ－￣ ０）ｌ ≤争Ｉ 一 （孝）Ｉ＋争Ｉ 一 （．，７）Ｉ＋ １ ｂｅ（Ｏ）ｉ 其中０＜叼＜毒因ｅ 厂（ ）有界，由上式知， 界． Ｄ ａ－二 ７１（叼） 又 （ ）在 ，ｂ］ｌ－＿满足拉格朗日中值定理条件， 故至少了孝∈（口，ｂ），使 故结论成立． －厂（孝） 由上知，ｊ孝，叼∈（口，６），使 孝） ）・ ２．４推导中值公式 ｊ孝在 ， 。之间，使 （ ） （ 。） （ｘｏ）（ －ｘｏ）＋ （此即展开到一次幂Ｔａｙｌｏｒ公式）． 。 设 ）在（口，ｂ）￣－－次可微，ｉ￣ｉｉＥ：Ｖ ，知∈（ａ，ｂ）， ２．３作为函数与导数的关系 设 ）在（一∞，＋∞）上连续可导，且 （孝）（ 一 ） 成立 ＳＵ 导 Ｉｅ （ ）Ｉ＜＋∞， 。证明只证 。的情况 ＜‰的情况类似可证， 的情况显然）．令 证日月．ＳＵ 导Ｉｅ 厂（ ）Ｉ＜＋∞・ （ ） ）－ｆ（知）－厂（知）（ ），Ｇ（ ）＝｝（ ） 则 Ｆ （ ）－厂（ ）－厂（ｘｏ），Ｇ ｘ）＝ｘ－ｘｏ． 由于Ｆ（ｘ０）＝Ｇ（ ｏ）＝０，Ｆ （ｘｏ）＝Ｇ （ ｏ）＝０两次应 证明ＳＵ 导ｌ ）ｌ（＋∞等价于ｅ ）在尺上 有界．故问题等价于已知ｅ 广 ）有界，证明 ｅ 有界．由 Ｐ ） 用柯西中值定理，则 ）在卜１，１】上连续，故在卜１，１】上有界． ２ ） （ （ ）： ）： Ｇ（ ） 只需证（１，＋ｏ。），（一ｏ。，一１）上有界．以（１，＋ｏ。）为例证 明，（一∞，一１）的情况类似可证． 设ｘ＞ｌ为任意数，则 ＝ Ｇ（ ）一Ｇ（） Ｇ（叼） Ｇ （＝ ）一Ｇ （ ｏ） ）－Ｇ ｏＦ（ｘ）－Ｆ（ｘ ｏ）ｊＩ＝ ｌ Ｉ＝Ｉ ≤ｌ 卜 ＝器： ） ）＝ ） （ ）（ — ０）＋—ｊ ＿＝广 （孝）（ — ｏ） ． ｌ 其中叼∈（ ，粕），亭∈（ ，叼）．即有 参考文献： ［１】黄德丽．用五种方法证明柯西中值定理【Ｊ］．湖州师范学院学报，２００３（１）：２７—３１． ［２］华东师范大学数学系．数学分析（上）【Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９０． 【３】倪培溉．罗尔定理的推广和柯西中值定理的证明叨．中国民航学院学报，１９９５（３）：９６—１０２． ［４］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法【Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８８．
