2012年湖南省益阳市中考数学试卷
2012年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（2012•益阳）下列计算正确的是（ ）
223260
A．2a+3b=5ab B．（x+2）=x+4 C．（ab）=ab D．（﹣1）=1 3．（2012•益阳）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 4．（2012•益阳）已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ） A．平均数是9 B．中位数是9 C．众数是5 D．极差是5 5．（2012•益阳）下列命题是假命题的是（ ）
A．中心投影下，物高与影长成正比 B．平移不改变图形的形状和大小 C．三角形的中位线平行于第三边 D．圆的切线垂直于过切点的半径 6．（2012•益阳）如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2012•益阳）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 8．（2012•益阳）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 9．（2012•益阳）今年益阳市初中毕业生约为33000人，将这个数据用科学记数法可记为 _________ ． 10．（2012•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： _________ ． 11．（2012•益阳）如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC= _________ 度．
12．（2012•益阳）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是 _________ ．
13．（2012•益阳）反比例函数
的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的
解析式是 _________ ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 14．（2012•益阳）计算代数式
的值，其中a=1，b=2，c=3．
15．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC． 求证：AB=AC．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．（2012•益阳）某市每年都要举办中小学三独比赛（包括独唱、独舞、独奏三个类别），如图是该市2012年参加三独比赛的不完整的参赛人数统计图．
（1）该市参加三独比赛的总人数是 _________ 人，图中独唱所在扇形的圆心角的度数是 _________ 度，并把条形统计图补充完整；
（2）从这次参赛选手中随机抽取20人调查，其中有9人获奖，请你估算今年全市约有多少人获奖？
17．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B、C两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米/小时≈16.7米/秒）
18．（2012•益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．（2012•益阳）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 积与和的商 ﹣2÷2=﹣1， （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
20．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）+c与x轴交于点A（x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．
2
，0）和点B，将抛物线沿
（1）求原抛物线的解析式；
（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比据：
，
（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数，结果可保留根号）
六、解答题（本题满分12分） 21．（2012•益阳）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积； （3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
2012年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
考点： 绝对值。 专题： 计算题。 分析： 根据绝对值的性质，当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；即可解答． 解答： 解：根据绝对值的性质，
|2|=2． 故选A． 点评： 本题考查了绝对值的性质，①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的
绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零． 2．（2012•益阳）下列计算正确的是（ ）
223260
A．2a+3b=5ab B．（x+2）=x+4 C．（ab）=ab D．（﹣1）=1
考点： 完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂。 分析： A、不是同类项，不能合并；
B、按完全平方公式展开错误，掉了两数积的两倍； C、按积的乘方运算展开错误；
D、任何不为0的数的0次幂都等于1． 解答： 解：A、不是同类项，不能合并．故错误；
22
B、（x+2）=x+4x+4．故错误；
3226
C、（ab）=ab．故错误；
0
D、（﹣1）=1．故正确．
故选D． 点评： 此题考查了整式的有关运算公式和性质，属基础题． 3．（2012•益阳）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形；轴对称图形。 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 解答： 解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误． 故选：C． 点评： 此题主要考查了好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 4．（2012•益阳）已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ） A．平均数是9 B．中位数是9 C．众数是5 D．极差是5
考点： 极差；算术平均数；中位数；众数。 分析： 分别计算该组数据的平均数、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案． 解答： 解：平均数为（12+5+9+5+14）÷5=9，故A正确；
中位数为9，故B正确；
5出现了2次，最多，众数是5，故C正确； 极差为：14﹣5=9，故D错误． 故选D．
点评： 本题考查了数据的平均数、中位数、众数及极差，属于基础题，比较简单． 5．（2012•益阳）下列命题是假命题的是（ ）
A．中心投影下，物高与影长成正比 B．平移不改变图形的形状和大小 C．三角形的中位线平行于第三边 D．圆的切线垂直于过切点的半径
考点： 中心投影；三角形中位线定理；切线的性质；命题与定理；平移的性质。 分析： 分别利用中心投影的性质以及切线的性质、平移的性质、三角形中位线定理等进行判断即可得出答案． 解答： 解：A．中心投影下，物高与影长取决于物体距光源的距离，故此选项错误，符合题意；
B．平移不改变图形的形状和大小，根据平移的性质，故此选项正确，不符合题意；
C．三角形的中位线平行于第三边，根据三角形中位线的性质，故此选项正确，不符合题意； D．圆的切线垂直于过切点的半径，利用切线的判定定理，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 点评： 此题主要考查了中心投影的性质以及切线的性质、平移的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握并
区分这些性质是解题关键． 6．（2012•益阳）如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集。 专题： 探究型。 分析： 根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可． 解答： 解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x≥﹣3，
A、不等式组
的解集为x＞﹣3，故本选项错误；
B、不等式组的解集为x≥﹣3，故本选项正确；
C、不等式组的解集为x＜﹣3，故本选项错误；
D、不等式组的解集为﹣3＜x＜5，故本选项错误．
故选B． 点评： 本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题
的关键． 7．（2012•益阳）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
考点： 平行四边形的判定；作图—复杂作图。 分析： 利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形． 解答： 解：∵别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD=BC AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故选A． 点评： 本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法． 8．（2012•益阳）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象。 分析： 根据在一个标准大气压下水加热到100℃后水温不会继续增加，而是保持100℃不变，据此可以得到函数
的图象． 解答： 解：当水均匀加热时，吸热升温，当温度达到100℃时，水开始沸腾，此时温度又会保持不变．
故B． 点评： 此题主要考查了函数的图象．解决本题时要有一定的物理知识，同时要知道水在沸腾过程中吸热，但温
度保持不变．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
4
9．（2012•益阳）今年益阳市初中毕业生约为33000人，将这个数据用科学记数法可记为 3.3×10 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数。
n
分析： 科学记数法的形式为a×10，其中1≤a＜10，n为整数．
4
解答： 解：33000=3.3×10．
4
故答案是 3.3×10． 点评： 此题考查用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a＜10，n是比数的整数位数小1的正整数．
10．（2012•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： x﹣3 ．
考点： 实数范围内分解因式。 专题： 开放型。 分析： 显然答案不唯一．只需符合平方差公式的应用特征即可． 解答： 解：答案不唯一，如
2
x﹣3
2
=x﹣（） =（x+）（x﹣）．
2
故可填 x﹣3． 点评： 此题考查在实数范围内分解因式，属开放型试题，比较简单． 11．（2012•益阳）如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC= 120 度．
22
考点： 圆周角定理。 分析： 欲求∠BOC，已知了同弧所对的圆周角∠A的度数，可根据圆周角定理求出∠BOC的度数． 解答： 解：∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°． 故答案为120． 点评： 此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．比较简单，属于基础题． 12．（2012•益阳）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是 ．
考点： 概率公式；三角形三边关系。 分析： 根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合
条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 解答： 解：∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2、3、4；3、4、7；2、4、7；
3、4、7四种情况，
而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况，
所以能组成三角形的概率是． 故答案为：．
点评： 本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m
种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．（2012•益阳）反比例函数解析式是 y= ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。 专题： 计算题。 分析： 将（1，k）代入一次函数y=2x+1，求出k的值即可得到反比例函数解析式． 解答： 解：将（1，k）代入一次函数y=2x+1得，k=2+1=3；
则反比例函数解析式为y=． 故答案为
．
的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要知道，函数图象的交点坐标符合函数的解析式．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 14．（2012•益阳）计算代数式
的值，其中a=1，b=2，c=3．
考点： 分式的化简求值。 专题： 探究型。 分析： 先根据分式的加减法把原式进行化简，再把a=1，b=2，c=3代入进行计算即可． 解答：
解：原式=
=
=c．
当a=1、b=2、c=3时，原式=3． 点评： 本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分、约分的应用． 15．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC． 求证：AB=AC．
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定。 专题： 证明题。 分析： 根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角
相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证． 解答： 证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠1=∠2， ∵AE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．（2012•益阳）某市每年都要举办中小学三独比赛（包括独唱、独舞、独奏三个类别），如图是该市2012年参加三独比赛的不完整的参赛人数统计图．
（1）该市参加三独比赛的总人数是 400 人，图中独唱所在扇形的圆心角的度数是 180 度，并把条形统计图补充完整；
（2）从这次参赛选手中随机抽取20人调查，其中有9人获奖，请你估算今年全市约有多少人获奖？
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。 专题： 图表型。 分析： （1）利用参加独舞的人数除以参见独舞的百分比，进行计算即可求出参赛总人数；求出参加独唱的人数
正好是参赛总人数的一半，所以独唱所在扇形的圆心角度数是180°； （2）用参赛总人数乘以获奖率，进行计算即可得解． 解答： 解：（1）120÷30%=400人，
400﹣120﹣80=200人，
×360°=180°； 补全条形统计图如图； 故答案为：400，180．
（2）估计今年全市获奖人数约有400×
=180（人）．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是
解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 17．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B、C两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米/小时≈16.7米/秒）
考点： 解直角三角形的应用。 专题： 计算题。 分析： （1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC的距离；
（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可． 解答： 解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，
∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．…（5分） 法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD， ∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°， ∴AD=60，CD=，BC=60+≈112（米） …（5分）
（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时） ∴此车没有超过限制速度．…（8分） 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键． 18．（2012•益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
考点： 一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用。 分析： （1）假设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1220
元，结合单价，得出等式方程求出即可；
（2）结合（1）的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案． 解答： 解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得：
80x+60（17﹣x ）=1220， 解得：x=10， ∴17﹣x=7，
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
（2）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵， 根据题意得： 17﹣x＜x，
解得：x＞
，
购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17﹣x）=20x+1020， 则费用最省需x取最小整数9， 此时17﹣x=8，
这时所需费用为20×9+1020=1200（元）．
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1200元． 点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程应用，根据一次函数的增减性得出费用最省
方案是解决问题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．（2012•益阳）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 积与和的商 ﹣2÷2=﹣1， （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
考点： 规律型：数字的变化类。 分析： （1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；
（2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值． 解答： 解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）=5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17=170， （﹣2）+（﹣5）+17=17， 170÷10=17． 三个角上三个数的积 三个角上三个数的和 积与和的商 图① 图② 图③ 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17=170 1+（﹣1）+2=2 ﹣2÷2=﹣1， （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17=17 （﹣60）÷（﹣12）=5， 170÷10=17 （2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）=360， 5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1， y=360÷（﹣12）=﹣30，
图⑤：=﹣3，
解得x=﹣2；． 点评： 此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应
该具备的基本能力．
20．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处． （1）求原抛物线的解析式；
（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比据：
，
（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数，结果可保留根号）
2
考点： 二次函数的应用。 分析： （1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）根据已知得出C，D两点坐标，进而得出“W”图案的高与宽（CD）的比． 解答： 解：（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，
∴P点坐标为（1，﹣3）； …（2分）
∵抛物线y=a（x﹣1）+c过点A（∴
；…（3分）
2
，0），顶点是P（1，﹣3），
解得；…（4分）
2
则抛物线的解析式为y=（x﹣1）﹣3，…（5分）
2
即y=x﹣2x﹣2．
（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上， ∴C、D两点纵坐标为3； …（6分） 由（x﹣1）﹣3=3， 解得：
，
，…（7分）
，3），（
，3）
2
∴C、D两点的坐标分别为（
∴CD=…（8分） ∴“W”图案的高与宽（CD）的比=
（或约等于0.6124）…（10分）．
点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用，根据已知得出C，D两点坐标是解题关键．
六、解答题（本题满分12分） 21．（2012•益阳）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积； （3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形。
专题： 几何综合题。 分析： （1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，
即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF； （2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案； （3）首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC， ∴∠ABF+∠CBF=90°， ∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF．…（4分）
（2）解：∵正方形面积为3， ∴AB=，…（5分） 在△BGE与△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°， ∴△BGE∽△ABE，…（7分） ∴
，
又∵BE=1，
222
∴AE=AB+BE=3+1=4， ∴S△BGE=
×S△ABE=
=
．…（8分）
（3）解：没有变化． …（9分） 理由：∵AB=，BE=1， ∴tan∠BAE=
=
，∠BAE=30°，…（10分）
∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′公共， ∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′， ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G， 设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共， ∴△BAG≌△HAG，…（11分）
∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化．…（12分）
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此
题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
参与本试卷答题和审题的老师有：
CJX；sjzx；gbl210；lantin；zxw；星期八；zcx；wangjc3。（排名不分先后） 菁优网
2012年6月19日
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