2015.11.29李浩男第三次课 教师版

上善教育学科教师辅导讲义（学生版）

组长签字：

学员编号：ss0017 年 级：九年级 课 时 数：3课时 学员姓名：李浩男 辅导科目：数 学 学科教师：吕明龙 授课日期及时段 教学目标 重点难点 2015年11月29日 8:00---10:00（第三次课） 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程的关系 教学内容 目录 Contents 上节课回顾: 作业检查+知识点复习 课堂流程 一、导入 二、知识梳理+经典例题 三、随堂检测 四、归纳总结 五、课后作业 上节课回顾： 一、作业检查情况 完成 未完成 二、知识点回顾 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~选择上善 人人都可以是优等生 1

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课堂导入 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 知识讲解 1. 旧知回顾：（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ ， ） 一元一次方程x＋2＝0的根为________ （2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（ ， ） 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________ 通过观察对比，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？ 结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根 二次函数与一元二次方程之间的联系 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 反馈练习1：求下列二次函数与x轴的交点坐标 （1） y＝x2＋4x－5；（2）y＝－x2＋6x－9；（3）y＝2x2＋3x＋5 选择上善 人人都可以是优等生 2

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图象与x轴的交点个数： 0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，b24ac方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1. a2② 当0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点. 1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0． 反馈练习2：判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1） y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0） 2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 总结： ⑴一元二次方程ax2bxc0的实数根就是对应的二次函数yax2bxc与x轴交点的 . 选择上善 人人都可以是优等生 3

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⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为x1、x2）

⑶二次函数yax2bxc与y轴交点坐标是 .

3、联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？

例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？

分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，列出方程组，消去y后再利用判别式判断即可.

反馈练习3：二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋b有唯一公共点（即相切），求出b的值.

一、自主学习

1.如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是_________，因此x=_________就是方程ax2+bx+c=0的一个根. 2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：

①没有公共点,这对应着一元二次方程根的情况是______；②有一个公共点，这对应着一元二次方程根的情况是______；③有两个公共点，这对应着一元二次方程根的情况是_______.

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3.y=x2－3x－4与x轴的交点坐标是_________，与y轴交点坐标是_________ 4.二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是( ) A.3 B.5 C.－3和5 D.3和－5 5.填表26－1，指出下列函数的各个特征. 函数解析式 y=2x21 Y=x－x+1 y=－2x－32x 11Y=x25x 2422开口方向 对称轴 顶点坐最大（小）与x轴有无标 值 交点 S=1－2t－t H=1005t2 y=x(8－x) 2二、基础巩固 6.二次函数y=x+x+1，∵b－4ac=_________，∴函数图象与x轴_________交点. 8.抛物线y=x2+2x－3与x轴的交点的个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9.若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=___(只要求写一个). 13.函数y=ax2+6x+c的图象如图26－6所示，那么关于x的方程a 2+bx+c=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根; B.有两个异号实数根; C.有两个相等实数根; D.无实数根 22 图26－6 图26－7 26－8 14.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图26－7所示，则下列结论成立的是( ) A.a＞0，bc＞0，△＜0 B.a＜0，bc＞0，△＜0 C.a＞0，bc＜0，△＜0 D.a＜0，bc＜0，△＞0 15.函数y=ax2+bx+c的图象如图26－8所示，则下列结论错误的是( ) A.a＞0 B.b2－4ac＞0 C.ax2+bx+c=0的两根之和为负 D.ax2+bx+c=0的两根之积为正 16.关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0选择上善 人人都可以是优等生 5

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且函数的图象开口向下时，ax2+bx+c=0必有两个不等实根；③当a＜0时，函数图象最高点的纵4acb2坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称，其中正确的个数是( ) A.1 4aB.2 C.3 D.4 17.利用二次函数的图象求下列方程的实数根. (1)x2+x－12=0； (2)2x2－x－3=0. 三、能力提高 18.y=ax2+bx+c中，a＜0，抛物线与x轴有两个交点A(2，0)和B(－1，0)，则ax2+bx+c＞0的解是__________；ax+bx+c＜0解是__________. 12m与x轴有交点. 4120.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+1上，设点M的坐2x219.当m__________时，y=x2－(m+2)x+标为(a，b)，则抛物线y=－abx2+(a+b)x的顶点坐标为__________. 23.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(－2，0)，(xl，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2)的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4ad+c＜0，④2a－b+1＞0.其中的有正确的结论是(填写序号)________. 24.抛物线y=3x－x+4与x轴交点为A、B，顶点为C，求△ABC的面积。 四、模拟链接 选择上善 人人都可以是优等生 6

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25.已知二次函数y=x2－6x+8，求：

(1)抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标； (2)抛物线的顶点坐标；

(3)画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

①方程x2－6x+8=0的解是什么?②x取什么值时，函数值大于0?③x取什么值时，函数值小于0?

26.已知函数y=x2+bx－1的图象经过(3，2).

(1)求这个函数的解析式；

(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； (3)当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围：

27.已知二次函数y=x2+mx+m－5，求证：

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(1)不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点； (2)当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短. 经典例题讲解 【例1】已知：关于x的方程mx23(m1)x2m30． ⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数y1mx23(m1)x2m1的图象关于y轴对称． ①求二次函数y1的解析式； ②已知一次函数y22x2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象经过点(5，0)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2，均成立，求二次函数y3ax2bxc的解析式． 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数y2恰好是抛物线y1的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将y3用只含a的表达8

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式表示出来,再利用y1≥y3≥y2,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解：（1）分两种情况：

当m0时，原方程化为3x30，解得x1， （不要遗漏） ∴当m0，原方程有实数根.

当m0时，原方程为关于x的一元二次方程， ∵△[3m1]24m2m3m26m9m3≥0.

∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）

综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.

（2）①∵关于x的二次函数y1mx23(m1)x2m3的图象关于y轴对称， ∴3(m1)0.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴m1.

∴抛物线的解析式为y1x21.

②∵y1y2x212x2x1≥0，（判断大小直接做差） ∴y1≥y2（当且仅当x1时，等号成立）. （3）由②知，当x1时，y1y20.

∴y1、y2的图象都经过1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）

∵对于x的同一个值，y1≥y3≥y2， ∴y3ax2bxc的图象必经过1,0. 又∵y3ax2bxc经过5,0，

∴y3ax1x5ax24ax5a. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算） 设yy3y2ax24ax5a(2x2)ax2(4a2)x(25a). ∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，

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∴y3y2≥0，∴yax2(4a2)x(25a)≥0. 又根据y1、y2的图象可得 a0， ∴y最小4a(25a)(4a2)2≥0.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值） 4a∴(4a2)24a(25a)≤0. ∴(3a1)2≤0.而(3a1)2≥0.只有3a10，解得a. ∴抛物线的解析式为y31245xx. 33313【例2】关于x的一元二次方程(m21)x22(m2)x10. （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根； 1是抛物线y(m21)x22(m2)x1上的点，求抛物线的解析式； （2）点A1，（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能. 【解析】： 2m2）（1）由题意得（4(m21)0 解得m m210 解得m1 2当m且m1时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得m212(m2)11 m1（舍） (始终牢记二次项系数不为0) 解得m3， y8x210x1 （3）抛物线的对称轴是x 1 (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 由题意得B4，158 x与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏) 选择上善 人人都可以是优等生 10

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另设过点B的直线ykxb（k0） k11代入ykxb，得b1，bk1 把B，4144y8x210x11 ykxk1  14ykxk14整理得8x2(10k)xk20 有且只有一个交点，(10k)248(k2)0 解得k6 y6x 综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有x，y6x 【例3】已知P（3,m)和Q（1，m）是抛物线y2x2bx1上的两点． （1）求b的值； （2）判断关于x的一元二次方程2x2bx1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线y2x2bx1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值． 【例4】 选择上善 人人都可以是优等生 11

321-6-5-4-3-2-1-1-2-3图7121414121412 上善教育 中国教育培训领军品牌

已知关于x的一元二次方程2x24xk10有实数根，k为正整数. （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y2x24xk1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y象有两个公共点时，b的取值范围. 【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题. 解：（1）由题意得，168(k1)≥0． 2，3． ∴k≤3．∵k为正整数，∴k1，y 8 6 4 2 2 4 x 4A 2O B 24681xbbk与此图2（2）当k1时，方程2x24xk10有一个根为零； 当k2时，方程2x24xk10无整数根； 当k3时，方程2x4xk10有两个非零的整数根． 2综上所述，k1和k2不合题意，舍去；k3符合题意． 当k3时，二次函数为y2x24x2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y2x24x6． （3）设二次函数y2x24x6的图象与x轴交于 0)． 0)，B(1，A、B两点，则A(3，依题意翻折后的图象如图所示． 31xb经过A点时，可得b； 2211当直线yxb经过B点时，可得b． 22当直线y由图象可知，符合题意的b(b3)的取值范围为选择上善 人人都可以是优等生 12

13b． 22 上善教育 中国教育培训领军品牌

m23m224. 已知抛物线yxmx与抛物线yxmx在直角坐标系中的位置如图所示，其中242一条与x轴交于A，B两点． （1）试判断哪条抛物线经过A，B两点，并说明理由； （2）若A，B两点到原点的距离AO，OB满足条件物线的函数式． Ａ Ｏ Ｂ 112，求经过A，B两点的这条抛OBOA3y x ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 归纳总结 知识网络结构图 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 选择上善 人人都可以是优等生 13

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家庭作业 二次函数yaxbxc 2与 一元二次方程axbxc0 2 y与x轴有 个交( , )O b24ac 0，方程有 的实数根是 . ( , )x点 与x轴有 个交yO( , )x点  b24ac 0，方程有 的实数根是 . b24ac 0，方程 实这个交点是 点 yOx与x轴有 个交点  数根. 1.已知函数y=kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( ) A.k＞7777－ B.k≥且k≠0 C.k≥ D.k＞且k≠0 44442.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 3.抛物线y2x83x2与x轴有 3x22x80的根的情况为 个交点，因为其判别式b24ac 0，相应二次方程 ． 4. 函数ymx2x2m（m是常数）的图像与x轴的交点个数为 ． 5. 二次函数yx26x9的图像与x轴的交点坐标为 ． 6. 若二次函数yax2c，当x取x1、x2（x1x2）时，函数值相等，则 当x取x1x2时，函数值为 。 7.关于二次函数yax2bxc的图像有下列命题：①当c0时，函数的图像经过原点；②当c0，且函数的图像开口向下时，方程ax2bxc0必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐选择上善 人人都可以是优等生 14

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4acb2标是；④当b0时，函数的图像关于y轴对称．其中正确命题的个数是 。 4a118.已知二次函数yx2bxc，关于x的一元二次方程x2bxc0的两个实根是1和225，则这个二次函数的解析式为 9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)且a＜0，a－b+c＞0，则一定有( ) A.b2－4ac＞0 B.b2－4ac=0 C.b2－4ac＜0 D.b2－4ac≤0 10.二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________ 111.已知抛物线y=(x－4)2－3的部分图象如图26－5所示，图象3再次与x轴相交时的坐标是( ) A.(5，0) B.(6，0) C.(7，0) D.(8，0) 12. 关于x的方程mx2mx5m有两个相等的实数根，则相应二次函数ymx2mx5m与x轴必然相交于 点，此时m ． 13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则a 0，b 0， c 0，,b24ac 0， 14. 抛物线yx2(2m1)x6m与x轴交于两点(x1，0)和(x2，0)，若x1x2x1x249，要使抛物线经过原点，应将它向右平 个单位． 15. 关于x的二次函数y2mx2(8m1)x8m的图像与x轴有交点，则m的范围是 。 16.函数y(k2)x27x(k5)的图像与x轴只有一个交点，则交点的横坐标x0 ． 课 后 练 习 1.函数yax2bxc的图象如左下图所示，那么关于x的一元二次方程ax2bxc30的根的情况是（ ） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个异号的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根 Ｄ．没有实数根 3.2)及部分图象（如右上图所示）2.已知二次函数yax2bxc(a≠0)的顶点坐标(1，，由图象可知关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个根分别是x11.3和x2 ． 选择上善 人人都可以是优等生 15

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3.y=ax2+bx+c中，a＜0，抛物线与x轴有两个交点A(2，0)和B(－1，0)，则ax2+bx+c＞0 的解是_________；ax2+bx+c＜0解是_________. 4.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=为(a，b)，求抛物线y=－abx2+(a+b)x的顶点坐标. 8)在抛物线5. 一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2，且x1x24，点A(3，1上，点N在直线y=x+1上，设点M的坐标2xyax2bxc上，求点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标． 16. 已知抛物线y(xh)2k的顶点在抛物线yx2上，且抛物线在x轴上截得的线段长是343，求h和k的值． 7. 已知函数yx2mxm2． 选择上善 人人都可以是优等生 16

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（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图像与x轴都有两个不同交点； 5（2）若函数y有最小值，求函数表达式． 4 8、已知二次函数y2x24mxm2． （1）求证：当m0时，二次函数的图像与x轴有两个不同交点； （2）若这个函数的图像与x轴交点为A，B，顶点为C，且△ABC的面积为42，求此二次函数的函数表达式． 9.已知二次函数yax2bxc（a≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为x1，它的图像与x轴17

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交于两点A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，x1x210。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

家校互动表（老师填写）：

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上次讲义复习效果 老师建议： 校互动表（家长填写）： 讲义作业完成情况 家长回馈并签字 本次课堂重难点 学员课堂表现 随堂练习效果 本次家庭作业 具体完成时间 是否复习讲义 家长建议或意见

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