例1:利用计算器,求方程x22x10的一个近似解(精确到0.1).
【解】设f(x)x22x1, 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为
f(2)10,f(3)20,
所以在区间(2,3)内,方程x22x10有一解,记为x1.取2与3的平均数2.5,因为
f(2.5)0.250, 所以2x12.5.
再取2与2.5的平均数2.25,因为f(2.25)0.43750, 所以2.25x12.5. 如此继续下去,得 f(2)0,f(3)0x1(2,3)f(2)0,f(2.5)0x1(2,2.5)f(2.25)0,f(2.5)0x1(2.25,2.5)f(2.375)0,f(2.5)0x1(2.375,2.5)f(2.375)0,f(2.4375)0x1(2.375,2.4375),因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为 x12.4. 利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解. 点评:①第一步确定零点所在的大致区间(a,b),可利用函数性质,也可借助计算机或计算器,但尽量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常可确定一个长度为1的区间; ②建议列表样式如下: 零点所在区间中点函数区间 值 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时,即为计算的最后一步. 例2:利用计算器,求方程lgx3x的近似解(精确到0.1). 分析:分别画函数ylgx和y3x 的图象,在两个就是方程现,方程【解】设
函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标
lgx3x的解.由函数ylgx与y3x的图象可以发
lgx3x有惟一解,记为x1,并且这个解在区间(2,3)内. f(x)lgxx3,利用计算器计算得
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以此方程的近似解为
x12.6.
思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法. 除了二分法、迭代法,求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等. 例3:利用计算器,求方程2xx4的近似解(精确到0.1). 【解】方程2xx4 可以化为2x4x. 分别画函数y2x 与y4x的图象,由图象可以知道,方程2xx4的解在区间(1,2)内,那么对于区间(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解为x1.4. 追踪训练一 1.设x0是方程lnxx4的解,则x0所在的区间为(B) A.(3,4)B.(2,3) C.(1,2)D.(0,1) 2.估算方程5x27x10的正根所在的区间是(B) A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4) 3.计算器求得方程5x27x10的负根所在的区间是(A) A.(1,0)B.2,1 C.2.5,2D.3,2.5 4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1) (1)lg2xx1(2)3xx4 答案:(1)0.8(2)x13.9,x21.6 一、含字母系数的二次函数问题 例4:二次函数f(x)px2qxr中实数p、q、r满足(1)pf(m)0); m1pqr0,其中m0,求证: m2m1m(2)方程f(x)0在(0,1)内恒有解.
m是区间(0,1)内的数,且m1mmm)和(,1)来处理. pf()0,这就启发我们把区间(0,1)划分为(0,
m1m1m1【解】(1)
分析:本题的巧妙之处在于,第一小题提供了有益的依据:
p2m,
(m1)2(m2)
由于f(x)是二次函数,故p0,又m0,所以,pf(⑵由题意,得f(0)r,f(1)pqr.
m)0 m1m若r0,则f(0)0,又f()0,
m1m所以f(x)在(0,)内有解.
m1m)0. m1①当p0时,由(1)知f(若r0,则f(1)pqrp(m1)
(prprmm,1)内有解. )r0,又f()0,所以f(x)0在(m2mm2mm1m1②当p0时同理可证. 点评:(1)题目点明是“二次函数”,这就暗示着二次项系数p0.若将题中的“二次”两个字去掉,所证结论相应更改. (2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的,本题的证明中,先对p分类,然后对r分类显然是比较好. 追踪训练二 1.若方程2ax2x10在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是(B) 1A.[,)B.(1,) 81C.(,1)D.[,1) 82.方程x22x2k10的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是1k1; 23.已知函数f(x)2mx4,在[2,1]上存在x0,使f(x0)0,则实数m的取值范围是____m1或m2_____________. 4.已知函数fxx3x ⑴试求函数yfx的零点;
⑵是否存在自然数n,使fn1000?若存在,求出n,若不存在,请说明理由.
答案:(1)函数yf(x)的零点为x0; (2)计算得f(9)738,f(10)1010,
由函数的单调性,可知不存在自然数n,使fn1000成立.
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