线性代数历年考试试题与答案

本试卷共九大题

一．填空题：（每题4分，共20分）

11．20110 。

2．设A为3阶方阵，且A2，则4A1A* 。 3．向量组12,1,3,1,23,1,2,0,34,2,6,2线性 关。 4．线性方程组x1x2x3x40的基础解系中含有 个向量。

101t35．设11,21,32为R的一个基，且0在该基下的坐标

0110为111，则t= 。

二．选择题：（每题4分，共20分）

1．设n阶矩阵A的每行元素之和为1，则A必有一个特征值[ ] A. –1 B. 1 C. 0 D. n 2．设矩阵Aaijmn，Ax0仅有零解的充分必要条件是[ ]

A. A的行向量组线性相关 B. A的行向量组线性无关 C. A的列向量组线性相关 D. A的列向量组线性无关 3．设1,2,3为Ax0的一个基础解系，则下列[ ]也是该方程的一个基础解系。

A. 与1,2,3等价的一个向量组 B. 与1,2,3等秩的一个向量组 C. 1,12,123 D.12,23,31 4．下列结论正确的是[ ]

A. 若存在可逆的P使PA=B，则A与B应有相同的标准形

B. 若1,2为A的两个不同的特征值对应的特征向量，则1,2是正交的 C. 若1,2同为实对称阵A的某个特征值的两个特征向量，则1,2必线性无关

D. 矩阵A能对角化的充要条件为A有个n互不相同的特征值

1

5．设三阶矩阵A的特征值为0，-1，1，其对应的特征向量分别为1,2,3， 令P2,3,1，则P1AP[ ]

A. diag(0,-1,1) B. diag(-1, 0,1) C. diag(-1,1,0) D. diag(1,0,-1)

1a111a21111an,11三．（7分）求行列式

a1a2an0.

1四．（7分）利用初等变换求A3122131的逆矩阵. 1五．（8

100分）设A020，且A*BA2BA8E001，求B.

六．（10分） 求向量组12,1,4,3,21,1,6,6,31,2,2,9,

41,1,2,7的一个最大无关组，并把其余的向量用最大无关组线性表示.

x1x3k七．（10分）问k为何值时，线性方程组4x1x22x3k2有解，并求出其

6xx4x2k3231全部解.

2八．（12分）设矩阵A与B相似，其中A00001021,B00x0y000， 1T①求x,y; ②求正交阵P，使得PAPB.

九．（6分）证明：设A为m×n阵，方程YAEn有解的充分必要条件是RAn.

2004－2005学年第1学期考试试题（A）卷

一、选择题

（1）方阵A，B满足r(A)=r(B)，则（答案填在卷首答题处）

（A）A－B=O （B）r(A－B)=0 （C）r(A，B)r(A)+r(B) （D）r(A+B)=2r(A) （2）向量组1,2,...n线性相关，则（答案填在卷首答题处） （A）1可由其余向量线性表示；

2

（B）1,2,...n至少有一个零向量；

（C）1,2,...n中至少有一个向量可以由其余向量线性表示； （D）1,2,...n任两个向量成比例.

（3）设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩为r，则AX=0有非零解的充分必要条件是（答案填在卷首答题处）

（A）r=n （B）rn

（4）n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（答案填在卷首答题处）

（A）充分必要条件 （B）充分而非必要条件

（C）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 （5）矩阵A20，则（答案填在卷首答题处）

（A）A=O （B）det(A)＝0 （C）r(A)=0 （D）A=AT

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分。把答案填在卷首答题处）

1（6）设A=1112（7）设A=40111111311，则A1=（答案填在卷首答题处） 1324840，则rank（A）=（答案填在卷首答题处） 881（8）设A=1111（9）设A=031110421111，B=101235122534，则3AB-2A=（答案填在卷首答题处） 106，则|A|=（答案填在卷首答题处） 31（10）设1,2,...s是线性方程组AX=b的解，若c11c22...css也是AX=b的一个解，则c1c2...cs=（答案填在卷首答题处）

三、解答题（本题共8小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （11）（8分）求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1 0 1 0 0)， (1 1 0 0 0).

（12）（8分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：

3

a1(1 2 1 4)T，a2(9 100 10 4)T，，a3(2 4 2 8)T.

（13）（8分）设向量组设1,2,...s是线性方程组AX=0的一个基础解系，向量满足A0，证明：向量组,1,2,...s线性无关.

（14）（8分）已知ｎ阶矩阵A，B满足AB=A+B，试证A－E可逆，其中E是ｎ阶单位矩阵.

（15）（8分）已知A113024112，求A的伴随矩阵A*. 2（16）（10分）求齐次线性方程组的通解：

x12x2x3x403x16x2x33x40 5x10xx5x023412（17）（10分）试求一个正交的相似变换矩阵，将对称阵2225424化为对5角阵.

2005-2006学年第1学期考试试题 （A）卷

一、选择题（本题满分16分．共４个小题，每小题4分．在每小题的选项中，只有一

项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内） 1、排列 13(2n1)24(2n)的逆序数为（ ）． (A)

n(n1)2； (B)

n(n1)2 ； (C) n(n1)； (D) n(n1)．

2、设A是n阶方阵，A经过若干次初等列变换变为矩阵B，则（ ）． （A）AB； （B）存在可逆矩阵P，使PAB； （C）存在可逆矩阵P，使PBA； （D）存在可逆矩阵P，使BPA． 3、设有n维向量组（Ⅰ）：1,2,,r和（Ⅱ）：1,2,,m(mr)，则（ ）． (A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关； (B) 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关； (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关； (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关． 4、设矩阵A与B相似，则（ ）．

（A）A、B都是可逆矩阵； （B）存在C, 使得 CACB； （C）A与B的特征值相同； （D）A可以通过相似变换化为对角矩阵．

4

T二、填空题（本题满分20分．共4个小题，每小题5分．）

112481392714161．

111= ．

2． 设T(1,2,3),T(1,1,1)，则(T)n1．

33．设 A20223103213202018053，则A1___________．

4．设A75，则R(A)_____． 00

三、计算题(本题满分30分．共5个小题，每小题6分．) 31． 设A21112a112，B2131b1001c1d00111010，计算：ABT及AB3B． 12．计算行列式

100．

3．解矩阵方程X2212234． 5x12x2x30,x1x20,的通解． 4．求齐次线性方程组2xxx01235．已知3阶方阵A的特征值为1,1,2，A*为A的伴随矩阵，求A*4A3E． 四、解答题（本题满分8分．）

5

1021244877，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属设A3743025765于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示． 五、 解答题（本题满分9分．）

k设A111k1111，bk，B(A,b)，问k取何值，可使 22（1）R(A)R(B)3；（2）R(A)R(B)；（3）R(A)R(B)3． 六、

解答题（本题满分11分．）

10111，求一个正交阵P，使P1AP为对角阵． 00设A11七、 证明题（本题满分6分．）

(b,b,,b)．

n12a1a2设A为n阶方阵，且A的秩R(A)1，证明Aan答案：

2003～2004年度第一学期线性代数（工）期末考试试卷（A）参

一、 填空题 01、0012100 2、108 3、相 4、3 5、2 0二、 选择题

1、B 2、D 3、C 4、C 5、C 三、 解：原式=24 12四、 解：3410 ~00

00100100111112101345000111122130~40500001001011231111000121（2.5分） 2322（5分） 106

RA4.（7分）

五、 解：对ABA2BA8E左乘A，右乘A1，又由AAAE，A2，AA1E，

得

ABB4E（4分）

即

B4(AE)1（5分）

00（8分）. 22因此，B4000100021200040六、 解：对增广矩阵进行初等行变换

146011124113~05001012011（4分） 0最后一个矩阵对应方程组

x11x3（6分） x12x32故原方程组的通解为

x111x21x32（x3为任意实数）（10分） x013七、 解：因A与B 相似，故有AB,trAtrB，即

2y2（3分） 2x1y解得x0,y1.（4分）

A的特征根为11,21,32.（5分） 解齐次线性方程组EAX0，得

7

0*对应于11的特征向量为P11，将它单位化得P1101.（7分） 2120*对应于21的特征向量为P21101，将它单位化得P2.（9分）

2121*对应于32的特征向量为P3P30.（11分）

0令PP1,P2,P3，则PP1,P2,P3即为所求正交矩阵.（12分）

T八、证明： XAEn有解AXTEn有解 （1分）

TT R(A)R(A,En)（3分）

R(A)n （5分）

TR(A)n （6分）

2004—2005第一学期《线性代数》考试试题（A）标准答案

一、二选择填空与填空题（每小题4分） （1） （2） （3） （4） （5） C C B B B 01212（6） 12（7） 2 224（8） 13172922 202（9） （10） 15 1 01212012

三．解答题（本题共8小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （11）（8分）求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1 0 1 0 0)，(1 1 0 0 0)． 解：用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵：

8

1110001000001000001000 8分 000T

T

此矩阵的秩为4，其第2行和第3行是已知向量．

（12）（8分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1(1 2 1 4) a2(9 100 10 4) a3(2 4 2 8)T． 912100解：A1104421402080982193221000000910020 2分 00rank(A)=2 3分

所以向量组的秩为2． 4分

a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T不成比例，所以 a1，a2为最大无关组. 8分 （13）（8分）设向量组设1,2,...s是线性方程组AX=0 的一个基础解系，向量满足

A0，证明：向量组,1,2,...s线性无关．

证明：设k0k1(1)k2(2)...ks(s)0 1分

(k0k1k2...ks)k11k22...kss0 （1） A(k0k1k2...ks)A(k11k22...kss)0

因为1,2,...s是线性方程组AX=0的一个基础解系，所以k11k22...kss是线性方程组AX=0 的一个解.故

A(k11k22...kss)0 3分

A(k0k1k2...ks)0

又A0，则k0k1k2...ks0 （2）

由（1）k11k22...kss0，又1,2,...s线性无关，所以k1k2...ks0

6分

由（2）k00，所以向量组,1,2,...s线性无关. 8分

（14）（8分）已知ｎ阶矩阵Ａ，Ｂ满足ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，试证Ａ－E可逆，其中E是ｎ阶单位矩阵．

证明：AB-A-B=0 2分

AB-A-B+E=（A-E）（B-E）=E 6分

(AE)1BE 8分

（15）（8分）已知A113024112，求A的伴随矩阵A*． 2 9

解：因为A11|A|*A, 2分

A*|A|A11|A1|A1 4分

|A1 6分 |11 |A*|1*A1=3024112 8分 2（16）（10分）求齐次线性方程组的通解：

x12x2x3x403x16x2x33x40. 5x10xx5x02341解：对系数矩阵A进行初等行变换，有 216 A3510x1x2于是 x3x4111113~05020001010 4分0

2x2x4x20x4 6分

故方程组的解为

x1x2x3x4k12110k(k1 k2为任意常数) 10分 200102（17）（10分）试求一个正交的相似变换矩阵，将对称阵2225424化为对角阵. 5解：将所给矩阵记为A，由

2AE2225424(1)2(10) 2分 5得矩阵A的特征值为121，310 3分

对于121，解方程(AE)x0，即

10

1222442x14x24x300 0得线性无关特征向量(2 1 0)T和(2 0 1)T . 5分

将它们正交化、单位化得 p115T(2, 1, 0) p2135T(2, 4, 5) 6分

对于310，解方程(A10E)x0，即

822T

254132x14x25x300 0T得特征向量(1 2 2)，单位化得p3(1, 2, 2) 7分

于是有正交阵P(p1 p2 p3)，使P1APdiag(1 1 10) 10分

04级《线性代数》试题（A卷）标准答案及评分标准

一、选择题（本题满分16分．共４个小题，每小题4分．在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内）

1、A． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 2、D． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 3、B． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 4、C． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 二、填空题（本题满分20分．共4个小题，每小题5分．）

1． 12． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 1n2． 62333． 2443612312． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 364． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 94． 3． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分

三、计算题(本题满分30分．共5个小题，每小题6分．)

T1． 解：AB31053044， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 4 11

3AB3B05a1b1001c14100110． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 1ba101c010c02．解：

10011 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 11d1d01dabcdabadcd1． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

23．解：X34252121122342521 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 26214．解： 12x1x2x3*57．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 211r0~01001011，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 02111c1，（cR为常数）． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 115．解：AAA2A,g()*1243,g(A)2A14A3E， ┄┄┄3分

g(1)3,g(1)9,g(2)6,A4A3E162． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

四、解答题（本题满分8分．）

41010r01103(b,b,b,b,b)B， 解：由于A(a1,a2,a3,a4,a5)~123450001300000┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 而方程Ax0与Bx0同解，即方程

x1a1x2a2x3a3x4a4x5a50 与x1b1x2b2x3b3x4b4x5b50

同解，因此向量a1,a2,a3,a4,a5之间与向量b1,b2,b3,b4,b5之间有相同的线性关系．

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分

易见

b1,b2,b4是b1,b2,b3,b4,b5的一个极大无关组，且b3b1b2 b54b13b23b4，

所以

a1,a2,a4是a1,a2,a3,a4,a5的一个极大无关组，且a3a1a2 a54a13a23a4．

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

12

五、 解答题（本题满分9分．） 解：由于

kB11r3r2r2(1)1k111121r1r31rr21k~0r3kr120212k21k11k2112kk2

12k210~r3(1)01k02k ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

k1因此

（1） 当k0且k1时，R(A)R(B)3； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 （2） 当k0时，R(A)2,R(B)3,R(A)R(B)；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 1（3） 当k1时，0011k0212k12k0k10210021221r32r21~00210021021， 0R(A)R(B)23． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

六、 解答题（本题满分11分．）

2解：AE(1)(2),121,32， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 对应于121，由 (AE)x0 得

11111111,20，正交规范化，得p11,p21； ┄┄┄┄6分

260102对应于32，由 (A2E)x0 得

11131，单位化，得p31．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

311P1212016162613111T，有PAPPAP0301301000．┄┄┄┄11分 2七、

证明题（本题满分6分．）

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10证明：因为R(A)1，所以A~000000F┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 0nn故存在可逆的n阶矩阵P,Q，使得APFQ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 a1a2记PanbTb1,Qb2bna1a ，显然a2是非零列向量，

anT(b1,b2,,bn)是非零行向量，易见 Aab．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

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