广东省汕头市2014届高三3月高考模拟数学理试题

理 科 数 学

本试卷共4页，20小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生首先检查试题卷、答题卡是否整洁无缺损，之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己班级，姓名和座位号。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案答在答题卡上。不按要求填涂的，答案无效。 3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：

体积公式：

,

，其中

分别是体积、底面积和高；

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 1.已知i为虚数单位，则复数的模是（ ）

A.4 B.

2.若集合

,

C.

D.8

,则=（ ）

A.(1,3) B. C.（-1,3） D.（-3,1） 3．如图，在中，则 ( )

A A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.双曲线

的焦点到渐近线的距离为（ ）

BC A.2 B. C.1 D.3 第3题图

·1·

5.在下列命题 ①③

； ②

展开式中的常数项为2；④设随机变量

若

，则

，其中所有正确命题的序号是（ ）

A.①②③ B.①③④ C.①②④ D. ②③④

6.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）

A.4种 B. 10种 C. 18种 D. 20种

7.某个长方体被一个平面所截，截得的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A.4 B.

C.

D.8

8.设）为平面直角坐标系上的两点，其中.令

，则称点B为点

,A的“相关点”，记作：定点，平面上点列

,若

,已知=

,且

）为平面上一个

，且点

的坐标为

，其中

满足：

,z则点的相关点”有（ ）个

A.4 B.6 C.8 D.10

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

·2·

(一)必做题（9-13题） 9.已知

，则

10.在等比数列中，,若为等差数列，且, 则数列的前5项和等于

11.若执行如图所示的框图，输入

则输出的数等于

12.设是周期为2的奇函数，当时,

),

13.某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求以每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司可共获得的最大利润是

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只记前一题的得分）

14.在直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

；在极

坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）

中，曲线的方程为，则与交点个数为

15.如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：

,

,其

中正确结论的序号是

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题12分）设,(),函数

CEAFBDoG，且函数

图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距 离

·3·

(I)为求函数的解析式。

,

(II)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足

求c边的长。

17. （本小题满分12分）是日本军国主义的象征。中国人民珍爱和平，所以要坚决反对日本军国主义。2013年12月26日日本首相安倍晋三悍然参拜，此举在世界各国激起的批评。某报的环球舆情调查中心对中国七个代表性城市的1000个普通民众展开调查。某城市调查体统计结果如下表： 性别 男 女 中国是否 需要在和其他争议 问题上持续 需要 50 250 不需要 100 150 （I）试估计这七个代表性城市的普通民众中，认为“中国需要在和其他争议问题上持续”的民众所占比例；

（II）能否有以上的把握认为这七个代表性城市的普通民众的与性别有关？ (III)从被调查认为“中国需要在和其他争议问题上持续”的民众中，采用分层抽样的方式抽取6人做进一步的问卷调查，然后在这6人中用简单随机抽样方法抽取2人进行电视专访，记被抽到的2人中女性的人数为X，求X的分布列。 附：

18. （本小题满分14分）如图，已知上，点F在

上，且

.

四点共面；

，点M在; 和面

所成锐二面角大小，

上，

，垂足为H，

是棱长为3的正方体，点E在

,

P(k ) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 (I)求证：E、B、F、（II）若点G在BC上，

求证：(III)用表示截面求

.

·4·

19. （本小题满分14分）已知椭圆C的方程为中，

的三个顶点的坐标分别为

，如图，在平面直角坐标系

（I）求椭圆C的离心率； (II)若椭圆C与（III）若椭圆C与求

无公共点，求m的取值范围； 相交于不同的两点，分别为M、N,

AoyCxB面积S的最大值。

分14分）设数列

，

的前项和为

,已知

20. （本小题满

（I） 求 的值； （II） 求数列

的通项公式

（III） 证明：对一切正整数n，有21. （本小题满分14分）已知函数（I）求函数（II）试探究函数

零点；若不存在，请说明理由。

·5·

的单调区间；

在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个

（III）若的取值范围。

，且在上恒成立，求实数a

2013---2014年高三一模理科数学参

一、选择题：（1—8小题）BADCB BDC

3、本题主要考查向量的数量积的定义ABBCABBCcos1202

6、本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力。分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有C44种；二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有C46种.故赠送方法共有10种.

A 如图,该长方体的底面边长

为2,高为3,点B、C、D分别为对应棱的中点，沿着平行四边形ABCD切割该长方体，显然被切割的部分占上面正方体的一半，所以剩余的部分体积为8

12D

B C

7、

8、因为x+y=3(x,y为非零整数）故x1,y2或x2,x1，所以点P0的相关点有8个 二、填空题：

9、3 10、10 11、

21 12、 13、2880 14、2 15、①② 32解析：

11、由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，

(12)2(22)2(32)22 则S3312、f()f()f()5212121. 2·6·

14、曲线C1:x(y1)1，C2:xy10，由圆心到直线的距离d22|011|故C101，

2与C2的交点个数为2.

15、如图，AFBBFGADGDFG180,ADGAFB，所以③错

三、解答题：

16、解:(1)f(x)ab2sinxcosx3(cos2xsin2x)....................(1分)sin2x3cos2x...................................................................................(2分)132(sin2x2cos2x)2sin(2x)................................................(4分)

2232又由题意知:T4,所以1...................................................(5分)24所以函数f(x)2sin(2x3).....................................................................(6分)3)0,sin(2A方法一;(2)由(1)知道:f(A)2sin(2A又因为0A所以2A3)02,所以32A34................................................(7分)3.....................................................................(8分)33所以sinCsin(AB)...................................................................................(9分)3434ac所以由正弦定理得到;..............................................................(11分)sinAsinC622asinC6324c........................................................(12分)sinA33

2sin(,所以A34)sincoscossin62......................................(10分)4·7·

方法二:(2)由(1)知道:f(A)2sin(2A又因为0A所以2A3)0,sin(2A3)02,所以32A34................................................(7分)333ab所以由正弦定理得到;..............................................................(9分)sinAsinB22asinB226........................................................(10分)bsinA332所以,由余弦定理:a2b2c22bccosA得到:............................(11分)8261c22c,整理:3c226c40332632632解得:c(舍去),或c..................................(12分)334(说明：能体现公式的就给分) 17、解：（1）由题意知道：

,所以A....................................................................(8分)

502506.5%

55011则在这七个代表性城市的普通民众中，认为“中国需要在和其他争议问题上持续对日强

硬”的民众所占的比例大约为.5%。………………………………(4分) （2）提出假设H0：这七个代表性城市普通民众的与性别无关。

550(50150100250)21135737.430510.828 由数表知: K150400300250722则有99.9%以上的把握认为这七个代表性城市普通民众的与性别有关…………. (7分) （3）设抽取的6人中男性有n人，女性有6n人，则

n6得n1， 50300所以 6人中男性有1人，女性有5人。………………………………(8分) 则随机变量X的所有可能取值为1,2………(9分)

P(X1)11C5C1C62C52C6251………(10分) 153P(X2)102………(11分) 153则随机变量X的分布列如下表：

X 1 2 ·8·

p 1 32 3…………………(12分)

18、(方法一)解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1， 连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形， ∴D1F//CN。同理四边形DNEA是平行四边形， ∴EN//AD，且EN=AD。又BC//AD，且AD=BC， ∴EN//BC，EN=BC，∴四边形CNEB是平行四边形。

∴CN//BE。∴D1F//BE。∴E，B，F, D1四点共面。„„„„„.(5分) （2）∵GMBF，∴BCF∽MBG。

2MBBGMB3∴，即。∴MB=1。„„„„„.(7分) BCCF32∵AE=1，∴四边形ABME是矩形。∴EM⊥BB1。„„„„„.(8分) 又∵平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内， ∴EM面BCC1B1。„„„„„.(10分)

（3）∵EM面BCC1B1，∴EMBF，EMMH，GMBF。

∴∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角。„„„„„.(12分)

ME，ME=AB=3，BCF∽MHB。 MH3ME∴3：MH=BF：1。又∵BF=223213，∴MH=。∴tan=13

MH13∵∠EMH=90，∴tan所以cos14。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„..(14分) 14方法二：（向量法）（1）如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，那么

D(0,0,0)D1(0,0,3)C(3,0,0)F(3,0,2)A(0,3,0)B(3,3,0)E(0,3,1)...............................(2分)

·9·

D1F(3,0,1)EB(3,0,1)四边形BFD1E是平行四边形,所以B、F、D1、E四点共面..............(5分) z (2)由题知道:设M(3,3,h)7G(3,,0)3D1A1B1 2所以GM(0,,h),BF(0,3,2),而GMBF.............(6分)F 3所以GMBF2h20,EM(3,0,0),又CB(0,3,0)EMBF0EMBFEMCB,又BFCBB所以h1...................(7分) C1 DC MH G EA yB EMCB0.......................................(8分x ) EM平面BCC1B1.....................................................(10分)(3)设平面EBFD1的一个法向量为n(x,y,z),y2nBE3xz0那么,令x1.....................................(12分)z3nBF3y2z0n(1,2,3),而平面BCC1B1的一个法向量为EM(3,0,0)cosnEMnEMc22a

3143214..........................................(14分)1422219、解 (Ⅰ) 由已知可得, a4m,bm

a2b23m233,即椭圆的离心率为„„„„„(4分) C222a4m2(Ⅱ) 由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或ABC在椭圆内时,两者便无公共点(5分) ① 当椭圆C在直线AB的左下方时

x2y221 将AB:x2y20即x22y代入方程24mm22整理得8y8y44m0, cea0由0即32(44m)<0解得0m∴由椭圆的几何性质可知当0m22 22时, 椭圆C在直线AB的左下方„„„(7分) 2② 当ABC在椭圆内时,当且仅当点C(2,1)在椭圆内

41∴可得1,又因为m0, ∴m2 224mm2综上所述,当0m或m2时,椭圆C与ABC无公共点„„„(9分)

2·10·

2m2时, 椭圆C与ABC相交于不同的两个点M﹑N(10分) 2x2又因为当m1时, 椭圆C的方程为y21,此时椭圆恰好过点A,B

42∴① 当m1时, M﹑N在线段AB上,显然的,此时SSOAB1,当且仅当M﹑N分别

2与A﹑B重合时等号成立, „„„(11分)

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知当

②当1m2时,点M﹑N分别在线段BC,AC上, 易得M(2m1,1),N(2,m1), ∴

22S=S矩形OACBSOBMSOANSMNC „(12分)

2m21m2112(22m21)(1m21)令tm21,则0t1

22m21(1m21)2所以S=t211 综上可得面积S的最大值为1. „„„(14分)

20、解(Ⅰ) 依题意, 3S31a2(2)6,又S1a12,所以a220；„„„(3分) (Ⅱ) 当n2时, 3Snan2n1(2)6,

3Sn1an(2)n16

两式相减得3an1nan1an32„„„(5分)

整

理

得

aan1nn14n132,即

an12n12a2n3,an12n112an2n„„„„„„„„„1(6分) 又因为a2a1a22214且212 所以2212a121 „„„„(7分) 故数列1an是首项为a112,公比为2的等比数列,2n 2所以an2n12n,所以an4n2n.„„„„„„„(9分) (Ⅲ)因为当mN*时,

1a1112ma2m142m22m42m122m1 542m22m542mm1282m242m44m1282m242m42m1222m242m1„(10分) ①当n1时,

1a17；(考生易漏) „„„„„„„(11分) 1212②当n3且n为奇数时,令n2m1(mN*),

·11·

所以

111111111555 352m1a1a2ana1a2a344a2ma2m124m5113m41611111117；„„„„„„„(12分)

12212121621212116* ③当n为偶数时,令n2m(mN),

1111117 此时„„„„(13分)

a1a2a2ma1a2a2m1121117 综上,对一切正整数n,有.„„„„(14分)

a1a2an1221、解：（1）由f(x)e1ax,(xR,aR)f'(x)ea„„„„(1分) ① 当a0时，则xR有f'(x)0函数f(x)在区间(,)单调递增；„(2分) ② 当a0时，f'(x)0xlna,f'(x)0xlna

xx函数f(x)的单调增区间为(lna,)，单调减区间为(,lna)。„„„„(4分)

综合①②的当a0时，函数f(x)的单调增区间为(,)；

当a0时，函数f(x)的单调增区间为(lna,)，单调减区间为(,lna)。„„„(5分) （2）函数F(x)f(x)xlnx定义域为(0,)„„„„„„„„„(6分)

ex1lnx,x0 又F(x)0axex1lnx,x0 令h(x)x(ex1)(x1),x0„„„„„„„„„(7分) 则h'(x)x2h'(x)0x1,h'(x)00x1

故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增。

h(x)h(1)e1„„„„„„„„„(8分)

·12·

有由（1）知当a1时，对x0，有f(x)f(lna)0

ex1即e1x1

xx当x0且x趋向0时，h(x)趋向

随着x0的增长，ye1的增长速度越来越快，会超过并远远大于yx的增长速度，而

x2ylnx的增长速度则会越来越慢。故当x0且x趋向时，h(x)趋向。得到函数h(x)的

草图如图所示„„„„„„„„„(9分)

故①当ae1时，函数F(x)有两个不同的零点； ②当ae1时，函数F(x)有且仅有一个零点；

③当ae1时，函数F(x)无零点；„„„„„„„„„(10分) （3）由（2）知当x0时，e1x，故对x0,g(x)0， 先分析法证明：x0,g(x)x 要证x0,g(x)x

xyy=h(x)y=aoxex1ex 只需证x0,x即证x0,xee10

构造函数H(x)xee1,(x0)

xxxxH'(x)xex0,x0

故函数H(x)xee1在(0,)单调递增，

xxH(x)H(0)0，

则x0,xee10成立。„„„„„„„„„(12分)

①当a1时，由（1）知，函数f(x)在(0,)单调递增，则f(g(x))f(x)在x(0,)上恒成立。 „„„„„„„„„(13分)

·13·

xx②当a1时，由（1）知，函数f(x)在(lna,)单调递增，在(0,lna)单调递减， 故当0xlna时，0g(x)xlna，所以f(g(x))f(x)，则不满足题意。 综合①②得，满足题意的实数a的取值范围(,1]。„„„„„„„„„(14分)

·14·