一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ， ）
1. 如图，要拧开一个边长为𝑎=6𝑐𝑚的正六边形螺帽，扳手张开的开口𝑏至
少为（ ）A.6√2𝑐𝑚
B.12𝑐𝑚
C.6√3𝑐𝑚
D.4√3𝑐𝑚
2. 已知△𝐴𝐵𝐶是⊙𝑂的内接正三角形，△𝐴𝐵𝐶的面积等于𝑎，𝐷𝐸𝐹𝐺是半圆𝑂的内接正方形，面积等于𝑏，𝑏的值为（ ） A.2
3. 如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，∠𝐴𝐵𝐶=70∘，则∠𝐴𝐷𝐶的度数是( )
B.2 √6𝑎
C.
3√3 5
D.
15√3 16
A.70∘
4. 已知正多边形的边心距与边长的比是√3:2，则此正多边形是（ ） A.正三角形
5. 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂．如果∠𝐷=80∘，那么∠𝐵等于（ ） A.80∘
B.100∘
C.120∘
D.160∘
B.正方形
C.正六边形
D.正十二边形
B.110∘
C.130∘
D.140∘
6. 若一个正九边形的边长为𝑎，则这个正九边形的半径是（ ） A.cos20
7. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为⊙𝑂的内接四边形，若∠𝐵𝐶𝐷=110∘，则∠𝐵𝐴𝐷为
𝑎
B.sin20 𝑎
C.2cos20 𝑎
D.2sin20 𝑎
（ ）A.140∘
B.110∘
C.90∘
D.70∘
8. 如图，把正△𝐴𝐵𝐶的外接圆对折，使点𝐴与劣弧的中点𝑀重合，若𝐵𝐶=
5，则折痕在△𝐴𝐵𝐶内的部分𝐷𝐸的长为（ ）A.
5√3 3
D.2 5
B.
10√33
C.3 10
9. 如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4𝑚的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2𝑑𝑚的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不
到的正六边形的部分为（单位：𝑑𝑚2）（ ）A.2400√3−1200𝜋
B.8√3−400𝜋
C.8√3−3𝜋 D.24√3−3𝜋
2
2
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
10. 圆内接正六边形的半径为2𝑐𝑚，则其边长等于________． 11. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，∠𝐴=62∘，则
∠𝐶=________∘．
12. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是⊙𝑂的内接四边形，∠𝐶𝐵𝐸是它的外角，若∠𝐷=
120∘，则∠𝐶𝐵𝐸的度数是________．
13. 如图，𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹是⊙𝑂的内接正六边形，若△𝐵𝐶𝐹的面积为18√3𝑐𝑚2，
则六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的面积为________𝑐𝑚2．
14 半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．
15 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷外切于⊙𝑂，且𝐴𝐵=16，𝐶𝐷=10，则四边形的周长是________．
16. 已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于圆，且弧𝐴𝐵、𝐵𝐶的度数分别为140∘和100∘，若弧𝐴𝐷=2•弧𝐷𝐶，则∠𝐵𝐶𝐷=________．
17. 已知𝐴𝐵，𝐴𝐶分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠𝐴𝐶𝐵度数为________ ．
18. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是⊙𝑂的内接四边形，∠𝐷𝐶𝐸=60∘，则
∠𝐵𝐴𝐷=________度．
19. 小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心𝑂的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图1，若这个正多边形为正六边形，此时𝐸𝐹=________；若这个正多边形为正三角形，如图2，当正△𝐸𝐹𝐺可以绕着点𝑂在正方形内自由旋转时，𝐸𝐹的取值范围为_________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题，共计63分 ， ）
20. (1)请你用直尺和圆规作出△𝐴𝐵𝐶的外接圆（保留作图痕迹）；
(2)当𝐴𝐵=𝐴𝐶=4√5，𝐵𝐶=16，求△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径．
21. 延长圆内接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐷和边𝐵𝐶，相交于点𝐸，求证：△𝐴𝐵𝐸∽△𝐶𝐷𝐸．
22. 如图，圆内接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，两组对边的延长线分别相交于点𝐸、𝐹，且
∠𝐸=40∘，∠𝐹=60∘，求∠𝐴的度数．
23. 如图，在等腰△𝑃𝐴𝐷中，𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝐵是边𝐴𝐷上的一点，以𝐴𝐵为直径的⊙𝑂经过点𝑃，𝐶是⊙𝑂上一动点，连接𝐴𝐶,𝑃𝐶,𝑃𝐶交𝐴𝐵于点𝐸，且∠𝐴𝐶𝑃=60∘．
（1）求证：𝑃𝐷是⊙𝑂的切线．
（2）连结𝑂𝑃,𝑃𝐵,𝐵𝐶,𝑂𝐶，若⊙𝑂的直径是4，则： ①当四边形𝐴𝑃𝐵𝐶是矩形时，求𝐷𝐸的长； ②当𝐷𝐸=________时，四边形𝑂𝑃𝐵𝐶是菱形．
24 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是⊙𝑂的内接四边形，∠𝐶𝐵𝐸是它的一个外角. 求证：∠𝐷=∠𝐶𝐵𝐸.
25. 问题提出
(1)如图①，在⊙𝑂中，点𝑀、𝑁分别是⊙𝑂上的点，若𝑂𝑀=4，则𝑀𝑁的最大值为________.
问题探究
(2)如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐶=120∘,𝐴𝐶=6，求△𝐴𝐵𝐶外接圆的半径及𝐴𝐵+𝐵𝐶的长；
问题解决
(3)如图③．某旅游区有一个形状为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的人工湖，已知
𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵=180𝑚，𝐵𝐶=300𝑚，𝐴𝐷>𝐵𝐶，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内建一个湖心小岛𝑃，并分别修建观光长廊𝑃𝐵和𝑃𝐶，且𝑃𝐵和𝑃𝐶相互垂直．为了容纳更多的游客，要使线段𝑃𝐵、𝑃𝐶之和尽可能的大．试问𝑃𝐵+𝑃𝐶是否存在最大值？若存在，请求出𝑃𝐵+𝑃𝐶的最大值，若不存在，请说明理由.（观光长廊的宽度忽略不计）
24.4弧长及扇形面积
一、单选题
1.如图，在边长为2的等边 △𝐴𝐵𝐶 中， 𝐷 是 𝐵𝐶 边上的中点，以点 𝐴 为圆心， 𝐴𝐷 为半径作圆与 𝐴𝐵 ， 𝐴𝐶 分别交于 𝐸 ， 𝐹 两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 3
2ππ
π
π
2.已知扇形的半径为6，圆心角为 150° .则它的面积是（ ） A. 2𝜋 B. 3𝜋 C. 5𝜋 D. 15𝜋
3.如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从 𝐴 地走到 𝐵 地有观赏路（劣弧 𝐴𝐵 ）和便民路（线段 𝐴𝐵 ）.已知 𝐴 、 𝐵 是圆上的点， 𝑂 为圆心， ∠𝐴𝑂𝐵=120° ，小强从 𝐴 走到 𝐵 ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
3
A. 6𝜋−6√3 B. 6𝜋−9√3 C. 12𝜋−9√3 D. 12𝜋−18√3
4.在 𝛥𝐴𝐵𝐶 中，已知 ∠𝐴𝐵𝐶=90° ， ∠𝐵𝐴𝐶=30° ， 𝐵𝐶=1 .如图所示，将 𝛥𝐴𝐵𝐶 绕点 𝐴 按逆时针方向旋转 90° 后得到 𝛥𝐴𝐵′𝐶′ .则图中阴影部分面积为（ ）
A. 4 B.
√3𝜋 2𝜋
𝜋−√32
C.
𝜋−√34
D.
5.若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°
6.如图，在扇形纸片 𝑂𝐴𝐵 中， 𝑂𝐴=10,∠𝐴𝑂𝐵=36°,𝑂𝐵 在桌面内的直线l上.现将此扇形在直线l上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当 𝑂𝐴 落在l上时，停止旋转.则点O所经过的路线长为（ ）
A. 13𝜋 B. 12𝜋 C. 11𝜋 D. 10𝜋
7.如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）
A. 3 π B. 2 π C. 16 π D. 32 π
8.如图，从一块半径为 8cm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角是 60° 的扇形 𝐴𝐵𝐶 ，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（ ）
21
2
1
11
A. 3 B. 3 C. D.
4√3
38
4
8√3
3
9.如图，从一张腰长为 90cm ，顶角为 120° 的等腰三角形铁皮 𝑂𝐴𝐵 中剪出一个最大的扇形 𝑂𝐶𝐷 ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面周长为（ ）
A. 60𝜋cm B. 50𝜋cm C. 40𝜋cm D. 30𝜋cm
10.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ 4√2 ．以BC的中点O为圆心的⌢ 的长为（ ） ⊙O分别与AB ， AC相切于D ， E两点，则 𝐷𝐸
𝜋
A. 2 B. π C. 2π
D. 4π
11.《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（ ） A. 3 平方步 B. 3 平方步 C. 120平方步 D. 240平方步
12.下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是（ ） A. 长度为 √5 的线段 B. 斜边为3的直角三角形 C. 面积为4的菱形
D. 半径为 √2 ，圆心角为 90° 的扇形
二、填空题
13.如图，在边长为4的正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，以 𝐴𝐵 为直径的半圆交对角线 𝐴𝐶 于点E，以C为圆心、 𝐵𝐶 长为半径画弧交 𝐴𝐶 于点F，则图中阴影部分的面积是________.
32
64
14.如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC.若AB＝12，则点B
⌢ 长度为 ________.（结果保留π） 经过的路径 𝐵𝐶
15.若扇形的圆心角为 30° ，半径为17，则扇形的弧长为________. 16.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图， 𝐴𝐶,𝐵𝐷 分别与 ⊙𝑂 相切于点C，D，延长 𝐴𝐶,𝐵𝐷 交于点P.若 ∠𝑃=
⌢ 的长为________ cm .（结果保留 120° ， ⊙𝑂 的半径为 6cm ，则图中 𝐶𝐷
𝜋 ）
17.如图，从一块直径为 4dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90° 的扇形，则此扇形的面积为________ dm2 .
18.如图，在△ABC中，∠A＝50°，BC＝6，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，则图中由O、D、E三点所围成的扇形面积（阴影部分）等于________（结果保留π）
三、综合题
19.如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐷//𝐵𝐶 ， ∠𝐵𝐴𝐷=90° ， 𝐶𝐵=𝐶𝐷 ，连接 𝐵𝐷 ，以点B为圆心， 𝐵𝐴 长为半径作 ⊙𝐵 ，交 𝐵𝐷 于点E.
（1）试判断 𝐶𝐷 与 ⊙𝐵 的位置关系，并说明理由； （2）若 𝐴𝐵=2√3 ， ∠𝐵𝐶𝐷=60° ，求图中阴影部分的面积.
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交边AC于点E，点D在边AB上，以BD为直径作⊙O经过点E，交BC边于点F.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝8，∠A＝30°，求阴影部分的面积.
21.如图，在△ABC中，AC＝BC ， 以BC为直径的半圆O交AB于点D ， 过点D作半圆O的切线，交AC于点E ．
（1）求证：∠ACB＝2∠ADE；
⌢ 的长． （2）若DE＝3，AE＝ √3 ，求 𝐶𝐷
22.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.
（1）△𝐴𝐵𝐶 是边长为3的等边三角形，E是边 𝐴𝐶 上的一点，且 𝐴𝐸=1 ，小亮以 𝐵𝐸 为边作等边三角形 𝐵𝐸𝐹 ，如图1，求 𝐶𝐹 的长； （2）△𝐴𝐵𝐶 是边长为3的等边三角形，E是边 𝐴𝐶 上的一个动点，小亮以 𝐵𝐸 为边作等边三角形 𝐵𝐸𝐹 ，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△𝐴𝐵𝐶 是边长为3的等边三角形，M是高 𝐶𝐷 上的一个动点，小亮以 𝐵𝑀 为边作等边三角形 𝐵𝑀𝑁 ，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的边长为3，E是边 𝐶𝐵 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形 𝐵𝐹𝐺𝐻 ，其中点F、G都在直线 𝐴𝐸 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合.则点H所经过的路径长为________，点G所经过的路径长为________.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C 【解析】【解答】 ∵△𝐴𝐵𝐶 是等边三角形， 𝐷 是 𝐵𝐶 边上的中点 ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 ， ∠𝐴=60°
∴𝐴𝐷=√𝐴𝐵2−𝐵𝐷2=√22−12=√3 𝑆 𝜋
扇形
𝐴𝐸𝐹
=
60𝜋𝑟2√3)2
360
=
60𝜋×(360
=2
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 ， ∠𝐴=60°理求出AD的长，根据扇形的面积公式计算即可. 2.【答案】 D 【解析】【解答】解： 𝑆=
150𝜋×62
360
=15𝜋 .
故答案为：D
【分析】利用扇形的面积公式直接进行计算，可求出结果. 3.【答案】 D 【解析】【解答】解：作OC△AB于C，如图，
则AC=BC， ∵OA=OB，
∴∠A=∠B= 1
2 （180°-∠AOB）=30°， 在Rt△AOC中，OC= 1
2 OA=9， AC= √182−92=9√3 ， ∴AB=2AC= 18√3 ，
又∵ 𝐴𝐵
⌢=120×𝜋×18180
= 12𝜋 ， ∴走便民路比走观赏路少走 12𝜋−18√3 米，
利用勾股定 ，故答案为：D.
【分析】作OC△AB于C，由垂径定理可得AC=BC，由等边对等角和三角形内角和定理可得∠A=∠B=2（180°-∠AOB），在Rt△AOC中，用勾股定理可求得AC的值，再根据AB=2AC可求得AB的值，用弧长公式l=180可求得弧AB的值，再求差即可求解. 4.【答案】 B 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠𝐵𝐴𝐶=30° ， ∴AC=2BC=2，
∴ 𝐴𝐵=√𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√3 ，
∵ 𝛥𝐴𝐵𝐶 绕点 𝐴 按逆时针方向旋转 90° 后得到 𝛥𝐴𝐵′𝐶′ ， ∴ 𝐴𝐵=𝐴𝐵′=√3,𝐵𝐶=𝐵′𝐶′=1,∠𝐶𝐴𝐶′=90∘ ∴ ∠𝐶𝐴𝐵′=60∘
∴ 𝑆阴影=𝑆扇形𝐶𝐴𝐶′−𝑆𝐴𝐵′𝐶′−𝑆扇形𝐷𝐴𝐵′=
90𝜋·22360
1
90𝜋·(√3)2𝜋−√3= 3602𝑛πR
1
−2×√3×1−
.
故答案为：B
【分析】先求出AC、AB，在根据 𝑆阴影=𝑆扇形𝐶𝐴𝐶′−𝑆𝐴𝐵′𝐶′−𝑆扇形𝐷𝐴𝐵′ 求解即可.
5.【答案】 D 【解析】【解答】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，
设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°， 则
2𝑟•𝜋𝑟180
=2πr，
解得：n=180°． 故答案为：D．
【分析】本题要求学生理清圆锥底面半径、母线以及侧面展开图的圆心角之间的对应关系。 6.【答案】 B 【解析】【解答】解：点O经过的路线长 = =
90𝜋×10180180
+ 36𝜋×10180
+
90𝜋×10180
216×𝜋×10
=12π
故答案为：B
【分析】点O所经过的路线是三段弧，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案. 7.【答案】 A 【解析】【解答】解：如图，
根据旋转的性质， △𝑂𝑃𝑄≅△𝑂𝑀𝑁 ， ∴ 𝑆△𝑂𝑃𝑄=𝑆△𝑂𝑀𝑁 ，
则 𝑆阴影=𝑆扇形𝑂𝑄𝑀+𝑆△𝑂𝑀𝑁−𝑆△𝑂𝑃𝑄−𝑆扇形𝑂𝑃𝑁 =𝑆扇形𝑂𝑄𝑀−𝑆扇形𝑂𝑃𝑁 ，
∵点P在直线 𝑦=−2𝑥+2 上，点Q在直线 𝑦=−𝑥+3 上，且PQ∥ 𝑦 轴， 设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，
∴OP2= 𝑎2+(2−2𝑎)2=5𝑎2−8𝑎+4 ， OQ2= 𝑎2+(3−𝑎)2=2𝑎2−6𝑎+9 ，
𝑆阴影=𝑆扇形𝑂𝑄𝑀−𝑆扇形𝑂𝑃𝑁 45𝜋•𝑂𝑄245𝜋•𝑂𝑃2=−
360360=(−3𝑎2+2𝑎+5)•𝜋 ，
8
1
设 𝑦=−3𝑎2+2𝑎+5=−3(𝑎−3)2+∵ −3<0 ，
1
1163
，
163
∴当 𝑎=3 时， 𝑦 有最大值，最大值为 ∴ 𝑆阴影 的最大值为
163
，
×8𝜋=3𝜋 .
12
故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质可证得△OPQ≌△OMN，利用全等三角形的面积相等可得到S△OPQ=S△OMN ， 再证明阴影部分的面积等于扇形QOM的面积减去扇形OPN的面积，利用函数解析式，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用勾股定理求出OP2 ， OQ2 ， 𝑆阴影=𝑆扇形𝑂𝑄𝑀−𝑆扇形𝑂𝑃𝑁 ， 可得到二次函数解析式，利用二次函数的性质可求出阴影部分的面积的最大值. 8.【答案】 D 【解析】【解答】解：如图，连接 𝐵𝐶 ，并作 𝑂𝐷⊥𝐵𝐶 于点D ．
∵ ∠𝐵𝐴𝐶=60° ， ∴ ∠𝐵𝑂𝐶=120° ， ∵OB=OC ，
∴ ∠𝑂𝐵𝐷=30° ， 𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶 ，
21
∴ 𝐵𝐷=
√3𝑂𝐵2
=
√3×2
8=4√3 ．
∴ 𝐵𝐶=2𝐵𝐷=8√3 ． ∵AB=AC ，
∴ △𝐴𝐵𝐶 是等边三角形， ∴ 𝐴𝐵=𝐵𝐶=8√3 ，
⌢=60𝜋×2𝐴𝐵=60𝜋×2×8√3=8√3𝜋 ， ∴ 𝐵𝐶
3603603∴设此扇形围成的圆锥底面圆的半径为r， ∴ 2𝜋𝑟=∴ 𝑟=
8√3𝜋 3
，
4√3 3
．
故答案为：D．
【分析】根据题意，由同弧所对的圆周角和圆心角的性质，结合题意，证明△ABC为等边三角形，继而由等边三角形的性质，结合弧长公式，求出半径r。
9.【答案】 D 【解析】【解答】解：过 𝑂 作 𝑂𝐸⊥𝐴𝐵 于E ，
∵ 𝑂𝐴=𝑂𝐵=90𝑐𝑚 ， ∠𝐴𝑂𝐵=120° ， ∴ ∠𝐴=∠𝐵=30° ， ∴ 𝑂𝐸=𝑂𝐴=45𝑐𝑚 ， ∴弧CD的长 =
120×𝜋×45
180
=30𝜋 ，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面的周长即可得出。
10.【答案】 B 【解析】【解答】解：连接OD、OE、OA ， 如图，
∵⊙O分别与AB ， AC相切于D ， E两点，
∴OD△AB ， OE△AC ， 而∠A＝90°，OD＝OE ， ∴四边形ADOE为正方形， ∴∠DOE＝90°，
∵O点为BC的中点，
∴OA＝ 2 BC＝ 2 ×4 √2 ＝2 √2 ， ∴OD＝
√2 21
1
OA＝
√2 2
×2 √2 ＝2，
⌢ 的长＝ 90𝜋×2 ＝π． ∴ 𝐷𝐸
180
故答案为：B ．
【分析】连接OD、OE、OA ， 如图，根据切线的性质得OD△AB ，
OE△AC ， 则可判断四边形ADOE为正方形，所以∠DOE＝90°，在根据斜边上的中线性质得到OA＝ 2 BC＝ 2 ×4 √2 ＝2 √2 ，接着根据正方形的性质计算出OD的长，在根据弧长公式计算即可。 11.【答案】 C 【解析】【解答】∵弧长30步，其所在圆的直径是16步， ∴这块田面积= 2 × 2 ×16×30=120（平方步），
故答案为：C.
【分析】先求出扇形所在的圆的半径，再根据扇形的面积公式进行计算. 12.【答案】 D 【解析】【解答】解： ∵ 半径为1的圆的直径为2 ∴ 半径为 1 的圆及其内部所能覆盖的线段最长为2， 而 √5 ＞ 2，
∴ 半径为 1 的圆及其内部不能覆盖长度为 √5 的线段.故 𝐴 不符合题意， ∵ 斜边为3的直角三角形的外接圆的直径为3，而 3 ＞ 2 ，
所以半径为1的圆及其内部不能覆盖斜边为 3 的直角三角形，故 𝐵 不符合题意，
∵𝑆圆=𝜋𝑟2=𝜋×12=𝜋 ，菱形的面积为4， 而 𝜋 ＜ 4，
∴ 半径为 1 的圆及其内部不能覆盖面积，4的菱形，故 𝐶 不符合题意； ∵ 半径为 √2 ，圆心角为 90° 的扇形的面积为：
90𝜋×(√2)21
=𝜋， 3602
1
1
1
1
而 𝜋 ＜ 𝜋，
2
1
所以半径为 1 的圆及其内部能覆盖半径为 √2 ，圆心角为 90° 的扇形，故 𝐷 符合题意， 故答案为：D
【分析】利用图形中最长得到线段与圆的直径进行比较，可作出判断. 二、填空题
13.【答案】 3π-6 【解析】【解答】连接BE，
∵在正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，以 𝐴𝐵 为直径的半圆交对角线 𝐴𝐶 于点E， ∴∠AEB=90°，即：AC△BE， ∵∠CAB=45°，
∴ △𝐴𝐵𝐸 是等腰直角三角形，即：AE=BE， ∴弓形BE的面积= 4𝜋×22−2×2×2=𝜋−2 ，
∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积- △𝐵𝐶𝐸 的面积 = 𝜋−2 +
45×𝜋×42
360
1
1
- 2×2×4×4 =3 𝜋 -6.
11
故答案是：3π-6.
【分析】连接BE，可求出△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，可得AE=BE，由于阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积- △𝐵𝐶𝐸 的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式进行计算即可. 14.【答案】 2𝜋 【解析】【解答】解： 𝑙𝐵𝐶⌢=
30𝜋⋅12180
=2𝜋 ，
故答案为： 2𝜋 .
【分析】利用已知条件可知弧BC所对的圆心角的度数为30°，半径为12，利用弧长公式进行计算即可. 15.【答案】
176
𝜋
176
【解析】【解答】∵扇形的圆心角为 30° ，半径为17， ∴扇形的弧长= 故答案为：
176
30𝜋×17180
= 𝜋 .
𝜋
𝑛𝜋𝑟
【分析】把数据直接代入扇形的弧长公式l=180计算即可. 16.【答案】 2π 【解析】【解答】连接OC、OD，
∵ 𝐴𝐶,𝐵𝐷 分别与 ⊙𝑂 相切于点C，D， ∴ ∠𝑂𝐶𝑃=∠𝑂𝐷𝑃=90° ，
∵ ∠𝑃=120° ， ∠𝑂𝐶𝑃+∠𝑂𝐷𝑃+∠𝑃+∠𝐶𝑂𝐷=360° ， ∴ ∠𝐶𝑂𝐷=60° ，
⌢ 的长= 60𝜋×6=2𝜋 （cm）∴ 𝐶𝐷，
180
故答案为：2π..
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质，结合四边形的内角和求出∠COD，然后根据弧长公式计算即可. 17.【答案】 2π 【解析】【解答】解：如图，连接 𝐴𝐵,
∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴𝐴𝐵 为圆的直径， 𝐴𝐵=4， ∴𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2,𝐴𝐶=𝐵𝐶, ∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=2√2, ∴
90°𝜋×(2√2)2𝑆==2𝜋.
360°
故答案为：2π
【分析】连接𝐴𝐵,由圆周角定理可得AC为圆的直径，利用勾股定理求出𝐴𝐶=𝐵𝐶=2√2,根据扇形公式计算即可.
18.【答案】 2π 【解析】【解答】解：∵∠A＝50°， ∴∠B+∠C＝130°，
∵∠DOC+∠BOE＝2∠B+2∠C，∠DOC+∠BOE＝∠BOC+∠DOE， ∴∠DOC+∠BOE＝260°，
∴∠DOE＝260°﹣∠BOC＝260°﹣180°＝80°， ∵BC＝6， ∴OD＝3，
∴扇形DOE的面积是：
80𝜋×32360
＝2π，
故答案为：2π.
【分析】先求出∠DOC+∠BOE＝260°，求出∠DOE，再求出半径，根据扇形的面积公式求出即可. 三、综合题
19.【答案】 （1）解：过点B作BF△CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD， ∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°， ∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上， ∴CD与圆B相切
（2）解：∵∠BCD=60°，CB=CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CBD=60° ∵BF△CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°， ∴∠ABF=60°， ∵AB=BF= 2√3 ，
∴AD=DF= 𝐴𝐵⋅tan30° =2， ∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE = 2×2√3×2−= 2√3−𝜋
【解析】【分析】（1） 过点B作BF△CD，证明△ABD≌△FBD（AAS），可得BF=BA，根据切线的判定定理即证；（2）求得△BCD是等边三角形，可得∠CBD=60°，由BF△CD，可得∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，从而求出
AD=DF= 𝐴𝐵⋅tan30° =2， 根据阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE ， 进行即可.
20.【答案】 （1）证明：连接OE.
1
30×𝜋×(2√3)2
360
∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠OEB＝∠EBC， ∴OE∥BC， ∴∠AEO＝∠C ∵∠C＝90°， ∴∠AEO＝90°， ∴ OE△AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OF.
∵BD是⊙O的直径，BD＝8， ∴OE＝4，
∵∠AEO＝90°，∠A＝30°， ∴AO＝2OE＝8，
∴AE＝ √𝐴𝑂2−𝑂𝐸2 ＝4 √3 ，∠AOE＝60°，AB＝ 4+8= 12， ∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝ 2 AB＝6， AC＝ √𝐴𝐵2−𝐵𝐶2 ＝6 √3 ， ∴CE＝AC﹣AE＝2 √3 .
∵OB＝OF，∠ABC＝60°， ∴△OBF是等边三角形.
∴∠FOB＝60°，BF＝OF＝4，
∴CF＝6﹣4＝2，∠EOF＝180°－ 60°－ 60°＝60°. ∴S梯形OECF ＝ 2 （2＋4）×2 √3 ＝6 √3 . ∴S扇形EOF＝
60𝜋×423601
1
=3𝜋 ，
8
8
∴S阴影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF＝6 √3 ﹣ 3𝜋 .
【解析】【分析】（1）连接OE.利用等腰三角形的性质与角平分线的性质证明OE∥BC，可得∠AEO＝∠C，证明 OE△AC，从而可得结论；
（2）连接OF.由BD是⊙O的直径，BD＝8，分别求解AO＝2OE＝8，AE＝ √𝐴𝑂2−𝑂𝐸2 ＝4 √3 ，∠AOE＝60°，AB＝12，再求解BC＝ 2 AB＝6， AC＝6 √3 ，CE＝2 √3 .再证明△OBF是等边三角形.可得∠FOB＝60°，BF＝OF＝4，求解CF＝2，∠EOF＝60°.再利用S阴影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF ， 从而可1
得答案.
21.【答案】 （1）证明：连接OD，CD，
∵DE是圆O的切线， ∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠EDC=90° ∵BC是直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°， ∴∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠ADE=∠ODC， ∵AC=BC，
∴∠ACB=2∠DCO， ∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=∠ADE ∴∠ACB=2∠ADE.
（2）解： 在Rt△ADE中
𝐴𝐷=√𝐸𝐷2+𝐴𝐸2=√(√3)2
+32=2√3.
∴AD=2AE,
∴∠ADE=30°，∠A=∠B=∠ODB=60°，
∴∠DOC=∠B+∠ODB=60°+60°=120°，△ABC是等边三角形， ∴BC=AB
∵AC=BC，CD△AB， ∴AB=2AD=4√3, ∴𝑂𝐶=2√3
⌢ 的长为120π×2√3=4√3π. ∴ 𝐶𝐷
1803
【解析】【分析】（1）连接OD，CD，利用切线的性质可证得
∠ODC+∠EDC=90° ；利用圆周角定理可推出∠ADE+∠EDC=90°，即可得到∠ADE=∠ODC，利用等腰三角形的性质可证得∠ACB=2∠DCO，∠ODC=∠DCO=∠ADE，由此可证得结论.
（2）利用勾股定理求出AD的长；可得到AD=2AE；再证明∠DOC=120°，△ABC是等边三角形，再求出OC的长；然后利用弧长公式可求出弧CD的长. 22.【答案】 （1）解：∵ 𝛥𝐴𝐵𝐶 、 𝛥𝐵𝐸𝐹 是等边三角形， ∴ 𝐵𝐴=𝐵𝐶 ， 𝐵𝐸=𝐵𝐹 ， ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐹=60° . ∴ ∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐹+∠𝐶𝐵𝐸 ， ∴ ∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐹 ， ∴ 𝛥𝐴𝐵𝐸≌𝛥𝐶𝐵𝐹 ， ∴ 𝐶𝐹=𝐴𝐸=1
（2）解：连接 𝐶𝐹 ，
∵ 𝛥𝐴𝐵𝐶 、 𝛥𝐵𝐸𝐹 是等边三角形，
∴ 𝐵𝐴=𝐵𝐶 ， 𝐵𝐸=𝐵𝐹 ， ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐹=60° . ∴ ∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐹+∠𝐶𝐵𝐸 ， ∴ ∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐹 ， ∴ 𝛥𝐴𝐵𝐸≌𝛥𝐶𝐵𝐹 ，
∴ 𝐶𝐹=𝐴𝐸 ， ∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐵𝐴𝐸=60° ， ∵ ∠𝐴𝐵𝐶=60° ， ∴ ∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐴𝐵𝐶 ， ∴ 𝐶𝐹//𝐴𝐵 ，
又点 𝐸 在 𝐶 处时， 𝐶𝐹=𝐴𝐶 ，点 𝐸 在A处时，点 𝐹 与 𝐶 重合. ∴点 𝐹 运动的路径的长 =𝐴𝐶=3
（3）解：取 𝐵𝐶 中点 𝐻 ，连接 𝐻𝑁 ，
∴ 𝐵𝐻=2𝐵𝐶 ， ∴ 𝐵𝐻=2𝐴𝐵 ， ∵ 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 ， ∴ 𝐵𝐷=2𝐴𝐵 ，
∴ 𝐵𝐻=𝐵𝐷 ，
∵ 𝛥𝐴𝐵𝐶 、 𝛥𝐵𝑀𝑁 是等边三角形，
∴ 𝐵𝑀=𝐵𝑁 ， ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝑀𝐵𝑁=60° ， ∴ ∠𝐷𝐵𝑀+∠𝑀𝐵𝐻=∠𝐻𝐵𝑁+∠𝑀𝐵𝐻 ， ∴ ∠𝐷𝐵𝑀=∠𝐻𝐵𝑁 ， ∴ 𝛥𝐷𝐵𝑀≌𝛥𝐻𝐵𝑁 ，
∴ 𝐻𝑁=𝐷𝑀 ， ∠𝐵𝐻𝑁=∠𝐵𝐷𝑀=90° ， ∴ 𝑁𝐻⊥𝐵𝐶 ，
又点 𝑀 在 𝐶 处时， 𝐻𝑁=𝐶𝐷=合，
∴点 𝑁 所经过的路径的长 =𝐶𝐷=√3
2
（4）4𝜋；
3
3√2𝜋 4
33√3 2
111
，点 𝑀 在 𝐷 处时，点 𝑁 与 𝐻 重
【解析】【解答】解:（4）连接CG ，AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
⌢ 上运动， ∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的 𝐵𝐶
∵四边形ABCD为正方形，BC为边长， ∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理 𝐶𝑂2+𝐵𝑂2=𝐵𝐶2 即 𝑥2+𝑥2=32 ， ∴ 𝑥=
3√2 2
，
⌢ 长= 1×2𝜋(3√2)=3√2𝜋 ， 点G所经过的路径长为 𝐵𝐶
424⌢ 上运动， 点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧 𝐵𝑁
⌢ 的长度， 点H所经过的路径长为 𝐵𝑁
∵点G运动圆周的四分之一， ∴点H也运动圆周的四分一，
⌢ 的长= 1×2𝜋×3=3𝜋 ， 点H所经过的路径长为 𝐵𝑁
424故答案为 4𝜋 ；
3
3√2𝜋 4
.
【分析】（1）证明𝛥𝐴𝐵𝐸≌𝛥𝐶𝐵𝐹 ， 可得𝐶𝐹=𝐴𝐸=1；
（2）连接𝐶𝐹 ， 证明𝛥𝐴𝐵𝐸≌𝛥𝐶𝐵𝐹 ， 可得𝐶𝐹=𝐴𝐸 ， ∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐵𝐴𝐸=60° ， 从而得出
∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐴𝐵𝐶 ， 可证𝐶𝐹//𝐴𝐵 ， 由于点 𝐸 在 𝐶 处时， 𝐶𝐹=𝐴𝐶 ， 点 𝐸 在A处时，点 𝐹 与 𝐶 重合，据此可得点 𝐹 运动的路径为AC的长，据此即得结论；
（3） 取 𝐵𝐶 中点 𝐻 ， 连接 𝐻𝑁 ， 证明𝛥𝐷𝐵𝑀≌𝛥𝐻𝐵𝑁 ， 可得𝐻𝑁=𝐷𝑀 ， ∠𝐵𝐻𝑁=∠𝐵𝐷𝑀=90° ，即得𝑁𝐻⊥𝐵𝐶 ， 由于点 𝑀 在 𝐶 处时， 𝐻𝑁=𝐶𝐷=3√3 2 ， 点 𝑀 在 𝐷 处时，点 𝑁 与 𝐻 重合，点 𝑁 所经过的路径为CD的长，据此即得结论；
（4）连接CG ，AC ，OB，由∠CGA=90°，可得点G在以AC中点为圆心，
⌢ 上运动，求出 𝐵𝐶⌢的长即可；由于点H在以BC中点为圆AC为直径的 𝐵𝐶
⌢ 上运动，点H所经过的路径长为 𝐵𝑁⌢ 的长度，求心，BC长为直径的弧 𝐵𝑁
⌢ 的长即可. 出 𝐵𝑁
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