第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
学情分析：
教学目标：
1．复习全等三角形的判定定理及相关性质；
2．理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何问题 教学重难点：理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何问题．
教学方法： 教学手段：
一、情境导入
探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？
二、合作探究
探究点一：全等三角形的判定和性质 【类型一】 全等三角形的判定
如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C
D．∠BAD＝∠CAD
解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若BD＝CD，则△ABD≌△ACD(SAS)；B.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若AB＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C.∵∠1
＝∠2，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD(AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠BAD＝∠CAD，则△ABD≌△ACD(ASA)；故选B.
方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.要注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【类型二】 全等三角形的性质
如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( ) A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．∠D＝∠B D．AC＝BC
解析：由△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，AC和CA是公共边，可知∠1和∠2，∠D和∠B是对应角．全等三角形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确．AC和BC不是对应边，不一定相等．∵△ABC≌△CDA，AB＝CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是对应角，∴∠1＝∠2，∠D＝∠B，∴AC和CA是对应边，而不是BC，∴A、B、C正确，错误的结论是D.故选D.
方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键．
探究点二：等边对等角
【类型一】 运用“等边对等角”求角的度数
如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝( ) A．80° B．100° C．140° D．160°
解析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，从而得到∠BCD的值．∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝280°.∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝280°÷2＝140°，故选C.
方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°.
【类型二】 分类讨论思想在等腰三角形求角度中的运用 等腰三角形的一个角等于30°，求它的顶角的度数．
解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论．
解：①当底角是30°时，顶角的度数为180°－2×30°＝120°； ②顶角即为30°.
因此等腰三角形的顶角的度数为30°或120°.
方法总结：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．
探究点三：三线合一
【类型一】 利用等腰三角形“三线合一”进行计算
如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC
＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．
解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC.
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40°.
方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合．
【类型二】 利用等腰三角形“三线合一”进行证明
如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，延长BA到E使得AE＝AD，
连接DE，求证：DE⊥BC.
解析：作AF∥DE，交BC于点F.利用等边对等角及平行线的性质证明∠BAF＝∠FAC.在△ABC中由“三线合一”得AF⊥BC.再结合AF∥DE可得出结论．
证明：过点A作AF∥DE，交BC于点F. ∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE.
∵AF∥DE，∴∠E＝∠BAF，∠FAC＝∠ADE. ∴∠BAF＝∠FAC.
又∵AB＝AC，∴AF⊥BC. ∵AF∥DE，∴DE⊥BC.
方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般要用到其中的两条线互相重合．
三、板书设计
1．全等三角形的判定和性质
2．等腰三角形的性质：等边对等角
3．三线合一：在等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线中，只要知道其中一个条件，就能得出另外的两个结论． 教学反思:
第2课时 等边三角形的性
学情分析：
教学目标： 1．进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上的高，中线)的性质；
2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．(重点、难点) 教学重难点：理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何问题．
教学方法： 教学手段： 教学过程： 一、情境导入
我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？
二、合作探究
探究点一：等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质
如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：DE∥
BC.
证明：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.又因为CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，所以∠AEB＝∠ADC＝90°，所以∠ABE＝∠ACD，所以∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，∠EBC＝∠DCB，
所以∠EBC＝∠DCB.在△BEC与△CDB中，BC＝CB，所以△BEC≌△CDB，所以BD＝CE，所以AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED.又因为∠A是△ADE和△ABC的顶角，所以∠ADE＝∠ABC，所以DE∥BC.
方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等． 探究点二：等边三角形的相关性质
【类型一】 利用等边三角形的性质求角度
如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，
DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．
【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等
如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝
CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.
解析：要证BM＝EM，由题意证△BDM≌△EDM即可．
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证明：连接BD，∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝2∠ABC＝2×60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°，在△DMB和△DME中，∠DBM＝∠E，
DM＝DM，∴△DME≌△DMB.∴BM＝EM.
方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形．
【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用
△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且
BM＝CN，BN与AM相交于Q点，求∠BQM的度数．
解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN＝∠ABC＝60°.
解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC∠ABC＝∠C，
中，∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．
三、板书设计
1．等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质 等腰三角形两底角的平分线相等； 等腰三角形两腰上的高相等； 等腰三角形两腰上的中线相等． 2．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
教学反思：
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
学情分析：
教学目标：
1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用
2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．
教学重难点：掌握等腰三角形的判定定理并学会运用，掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明
教学方法： 教学手段： 教学过程： 一、情境导入
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等
于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．
二、合作探究
探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边) 【类型一】 确定等腰三角形的个数
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角
平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是∠ABC、11∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝2∠ABC，∠ECB＝2∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC1＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2(180°1－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝2∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A.
方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．
【类型二】 判定一个三角形是等腰三角形
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝
CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.
∠B＝∠C，
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵BE＝CF，∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.1
∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝2×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.
方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
探究点二：反证法
【类型一】 假设 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这
个三角形中( )
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.
方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．
【类型二】 用反证法证明一个命题 求证：△ABC中不能有两个钝角．
解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．
证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因
此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．
方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三、板书设计
1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)． 2．反证法
(1)假设结论不成立； (2)从假设出发推出矛盾；
(3)假设不成立，则结论成立． 教学反思：
第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
学情分析：
教学目标：
1．学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题； 2．理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．
教学重难点：能够运用等边三角形的性质和判定解决问题，掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用．
教学方法： 教学手段： 教学过程：
一、情境导入 观察下面图形：
师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形．
师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究
探究点一：等边三角形的判定
【类型一】 三边都相等的三角形是等边三角形
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△
ABC是等边三角形．
解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解． 解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0， ∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c， ∴a＝b＝c.
故△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
【类型二】 三个角都是60°的三角形是等边三角形
如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，
OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由．
解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得△ODE是等边三角形．
解：△ODE是等边三角形，
理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°. ∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°. ∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°. ∴△ODE是等边三角形．
方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．
【类型三】 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延
长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
1
解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE＝2∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，从而得出△ABC是等边三角形．
解：△ABC是等边三角形．
理由如下：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D. 又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D.
1
∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝2∠ECB. ∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.
1
又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB＋2∠ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.
又∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一
个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．
探究点二：含30°角的直角三角形的性质
【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD
＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
【类型二】 与角平分线有关的综合运用 如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若
PC＝3，则PD等于( )
A．3 B．2 C．1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠11
BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝2PC＝2×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠OEP＝∠ODP，∴△OPE≌△ODP，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
【类型三】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以
美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？
解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
解：如图所示，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.∵∠BAC＝150°，∴∠DAB11
＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝2AB＝20m，∴S△ABC＝2×50×20＝500(m2)．∵这种草皮每平方米a元，∴一共需要500a元．
方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质求BD的长，正确的计算出△ABC的面积．
三、板书设计
1．等边三角形的判定
三边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°的三角形是等边三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 2．含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 教学反思：
1．2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
学情分析：
教学目标：
1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定； 2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．
教学重难点：学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题． 教学方法： 教学手段： 教学过程：一、情境导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所
示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
二、合作探究
探究点一：直角三角形的性质与判定
【类型一】 判定三角形是否为直角三角形 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C中均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D.
方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°.
【类型二】 直角三角形的性质的应用 如图①，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由．
(2)如果∠A是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？
解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD和△BCE都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可得∠D＝∠E＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可．
解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；
(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2.
方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
探究点二：勾股定理
【类型一】 直接运用勾股定理
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于
D.求：
(1)AC的长； (2)S△ABC； (3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12cm；
1
(2)S△ABC＝2CB·AC＝30cm2；
11AC·BC60
(3)∵S△ABC＝2AC·BC＝2CD·AB，∴CD＝AB＝13cm.
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长． 解析：本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
解：此题应分两种情况进行讨论：
(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
方法总结：在题目未给出具体图形时，应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形，凡符合题设的情况都要考虑，体现了分类讨论思想，这是解无图几何问题的常用方法．
探究点三：勾股定理的逆定理 【类型一】 判断三角形的形状 如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形
D．以上答案都不对
解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝＝2，AC＝＝，AB＝＝.在△ABC中，∵BC2
＋AC2＝52＋13＝65，AB2＝65，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A.
方法总结：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系 1
如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝4AD，求证：CE⊥EF.
证明：连接CF，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA1
＝4.∵点E为AB中点，AF＝4AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，∴∠FEC＝90°，即EF⊥CE.
方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法．
【类型三】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题
如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求
四边形ABCD的面积．
解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形，然后
代入三角形面积公式将△ABC和△ACD这两个直角三角形的面积求出，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．
解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．∵AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，11∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝2×6×8＋2×10×24＝144.
方法总结：此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．
探究点四：互逆命题与互逆定理
写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
解析：分别找出各命题的题设和结论将其互换即可． 解：(1)同旁内角互补，两直线平行．真命题；
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)．真命题； (3)内错角相等．假命题；
(4)等边三角形有一个角是60°.真命题．
方法总结：一个定理不一定有逆定理，只有当它的逆命题为真命题时，它才有逆定理． 三、板书设计
1．直角三角形的性质与判定
直角三角的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形． 2．勾股定理及勾股定理的逆定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
教学反思：
第2课时 直角三角形全等的判定
学情分析：
教学目标：
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；
2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解
决有关问题．
教学重难点：经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题教学手段：
教学方法： 教学手段： 教学过程：一、情境导入
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
二、合作探究
探究点：直角三角形全等的判定
【类型一】 应用“HL”证明三角形全等 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB
＝CD，BE＝CF.
求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与BF＝CE，
△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵AB＝CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．
【类型二】 利用“HL”证明线段相等 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC
＝AE.求证：BC＝BE.
解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【类型三】 利用“HL”证明角相等 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.
解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等． 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．在AB＝AD，
Rt△ABC和Rt△ADC中，∵AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.
方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决． 【类型四】 利用“HL”解决动点问题
如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q两
点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合．那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
解析：本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，∴在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．
方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
【类型五】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等 如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.
求证：OB＝OC.
解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根据AAS证得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可证得OB＝OC.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠∠1＝∠2，
BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD和△AOE中，∵OA＝OA，
OD＝OE，
∴△AOD≌△AOE(AAS)，∴OD＝OE.在△BOD和△COE中，∵∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.
方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有SSS、SAS、ASA、AAS. 三、板书设计 1．作直角三角形
2．直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
教学反思：
1．3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线
学情分析：
教学目标：
1．掌握线段垂直平分线的性质；
2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．
教学重难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题 教学方法： 教学手段： 教学过程：
一、情境导入
如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，你能帮测量人员计算BC的长吗？
二、合作探究
探究点一：线段的垂直平分线的性质定理
【类型一】 应用线段垂直平分线的性质定理求线段的长 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，
若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20，∴BC＝35－20＝15cm.故选C.
方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
【类型二】 线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，
延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
探究点二：线段的垂直平分线的判定定理
如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解析：先利用角平分线的性质得出DE＝DF，再证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF.
解：AD垂直平分EF.理由如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD.在△ADE和△ADF中，
∠AED＝∠AFD，
∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF，∴直线AD垂直平分线段EF.
方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．
三、板书设计
1．线段的垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 2．线段的垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
教学反思：
第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
学情分析：
教学目标：
1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点)
2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．
教学重难点：理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题 教学方法： 教学手段： 教学过程：
一、情境导入
现在有A、B、C三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？
二、合作探究
探究点一：三角形三边的垂直平分线
【类型一】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度
如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB
交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF.求∠DAF的度数．
解析：根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C，根据线段垂直平分线得出AD＝BD，AF＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．
解：在△ABC中，∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°.
方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【类型二】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC
于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，求MN的长．
解析：首先连接AM，AN，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，可求得∠B＝∠C＝30°.又由AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，易得△AMN是等边三角形，继而求得答案．
解：连接AM，AN，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝30°.∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，∴AN＝CN，AM＝BM，∴∠CAN＝∠C＝30°，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠ANM＝∠AMN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝CN.∵BC＝8cm，∴MN8＝3cm.
方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
【类型三】 三角形三边的垂直平分线的性质的应用 某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，
使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．
解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则P即为售票中心．
方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．
探究点二：作图
1
已知线段c，求作△ABC，使AC＝BC，AB＝c，AB边上的高CD＝2c.
解析：由题意知，△ABC是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半． 解：作法：1.作线段AB＝c；
2．作线段AB的垂直平分线EF，交AB于D；
1
3．在射线DF上截取DC＝2c，连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．
方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高确定另一个顶点的位置．
三、板书设计
1．三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 2．作图 教学反思：
1．4 角平分线 第1课时 角平分线
学情分析：
教学目标：
1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理； 2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题． 教学重难点：探究归纳角平分线的性质和判定定理, 能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题
教学方法： 教学手段： 教学过程：一、情境导入
问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的性质定理
【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC
上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和RtBD＝DF，
△DEB中，∵DC＝DE，∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；
(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，CD＝DE，∵AD＝AD，
∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．
【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝
4，则AC的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，11
∴S△ABC＝2×4×2＋2×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂
足分别为E，F.求证：CE＝CF.
解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和RtCD＝CD，
△CDF中，∵DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定
如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：
AD是∠BAC的平分线．
解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与BE＝CF，
△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
【类型二】 角平分线的性质和判定的综合
如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.
方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．
【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题 如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平
分线．
解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．
证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系． 解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；
OC＝OD，
(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵AO＝AO，∴△AOC≌△AOD(SSS)，
∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
三、板书设计
1．角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2．角平分线的判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 教学反思;
第2课时 三角形三条内角的平分线
学情分析：
教学目标：
1．在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质； 2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题． 教学重难点：归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质，能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题
教学方法： 教学手段： 教学过程：
一、情境导入
从前有一个老农，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？
二、合作探究
探究点：三角形角平分线的性质及应用
【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数 在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A
＝70°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．125° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点11
AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝2∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝2∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°，∠OBC＋∠OCB＝55°，∠BOC＝180°－55°＝125°，故选B.
方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和
定理即可求出∠BOC的度数．
【类型二】 三角形内外角平分线的应用
如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三
条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处；(2)作出相交组成的角平分线，平分线的交点就是所求的点．
解：(1)可选择的地点有4处，如图：
P1、P2、P3、P4，共4处；
(2)能．如图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点．
方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常遇到．
三、板书设计
三角形三条内角的角平分线
三角形的三条内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
教学反思：
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