相量法 (1)

Chapter 8 相量法

主要内容：

1.复数； 2.正弦量； 3.相量、相量法； 4.电路定律的相量形式。

§8-1复数

一、复数的几种表示形式

1. 代数形式：Fajb 2. 三角形式：FF (cosjsin) 欧拉公式 ejcosjsin 3. 指数形式： FFej 4. 极坐标形式：FF

二、复数的运算

1.相等

若两复数的实部和虚部分别相等，则这两复数相等；若它们的模相等，辐角相等，则这两复数相等。

2.加减运算

F1F2(a1jb1)(a2jb2)(a1a2)j(b1b2)

复数的加减运算可以在复平面上用图形来表示。

求复数之和的运算在复平面上符合平行四边形求和法则。

Chapter 8 相量法 111

3.乘法运算

F1F2F1 ej1 F2 ej2F1F2 ej(12)  F1F2F1F2, arg(F1F2)arg(F1)arg(F2)

复数相乘时，其模相乘，其辐角相加。 4.除法运算

F11F1F 112F2F22F2

F1F1F , arg1arg(F1)arg(F2)F2F2F2

复数相除时，其模相除，其辐角相减。 5.旋转因子

① ej1, 若 AA eja, 则 A ejA ej(a) ② ej2j, ej2j, ej1, ej21

F1。 F2例8-1：设 F13j4,F210135, 求 F1F2 和 解：F1F23j4101353j4（52j52)

143 -4.07j3.075.1

F13j4553.10.5188.10.5171.9 F21013510135

§8-2 正弦量

一、正弦量

时变电压和电流：随时间变化的电压和电流。

根据电压和电流瞬时值的正负号，结合参考方向便可确定电压或电流的真实方向。

Chapter 8 相量法 112

周期电压和电流：时变电压和电流的每个值在经过相等的时间后重复出现。 u(t)u(tKT)

周期T ：波形（函数）重复出现所需的最短时间间隔，单位：秒(s)。 频率f ：单位时间内的循环（周期）数，单位：赫兹(Hz)。

1 f

T如果周期电压、电流的大小和方向都随时间变化，这种周期电压、电流便是交变的，称为交变电压、交变电流，亦称交流电流。

正弦量：换时间按正弦规律变化的电压、电流等。

u(t)Umcos( tu) 也可用sin函数表示 二、正弦量的三要素

1.振幅Um：常量、最大瞬时值。

2.角频率：每秒变化的弧度数，d2( tu)2 f dtT  rad/s. T0.02s 市电 ：f50Hz, 100 3.初相位u：初始相位角，( tu)t0u

一般情况下，时间的起点不一定恰好选在正弦波为正最大值的瞬间，则正弦电压应表示为

u(t)Umcos( tu)

Chapter 8 相量法 113

u(0)Umcosu 初相 u 反映了正弦波初始值的大小, u 正峰值位于纵轴左方，u0 ，正峰值位于纵轴右方，u0 相位角  tu 表示了正弦波变化的进程。

正弦波的三要素（振幅、频率、初相）是正弦量之间进行比较和区分的依据。

例8-2：正弦交流电路中， i(t)100cos( t) mA，2 rad/s，试求：

4（2） t2.5 rad 时；(3)  trad 时，电流的大小及实际方向。 (1) t0.5 S 时；

2

解： (1) t0.5s，i100cos(20.5)100cos()100cos

444 50270.7mA ba

（2） t2.5  rad, i100cos(2.5)100cos(2)100cos

444 50270.7mA ab

(3)  trad, i100cos()100cos70.7mA

2244例8-3：电压波形如下图所示，（1）试求 T，f，及 ；（2）用cos函数写出 u(t)的表示式，（3）用sin函数写出 u(t) 的表示式。

解：(1) T22.52.520 mS, f150 Hz, 2f314 rad/s T

(2) 由坐标原点（即时间起点）到第一个正最大值所需时间2.5 ms, 所对应的

角度为 2.51034rad

 u(t)100cos(100 t4) 或 u(t)100cos(100 t450)

Chapter 8 相量法 114

（3）  cosxsin(x2)

  u(t)100cos(100 t)100sin(100 t)

442 100sin(100 t)

4三、有效值

周期电流（电压）的有效值等于与其热效应相等的直流电流（电压）值。

TTT Qp(t)dtiRdtRi2dt

0002 Q-PTRI2T

 QQ-RI2TRi2dt

0T I1T2idt 方均根值 0T周期电流的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值，再取平方根。

正弦电流 iImcos( ti)

1T212Icos( t)dt Im0.707Im mi0T21Um0.707Um 类似地 U2I四、相位差

两个同频率的正弦量的相角或相位之差。

初相不同，表明它们随时间变化“步调”不可能一致。

相位差等于初相之差，与时间无关， 是区分两个同频率正弦量相角的重要标志。

( tu)( ti)ui

Chapter 8 相量法 115

① ui0, u 超前于 i ( i 滞后于 u )； ② ui0, u 滞后于 i ( i 超前于 u )； ③ ui0, u 和 i 同相； ④ ui, u 和 i 反相； ⑤ ui2, u 与 i 正交。

两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们的初相也改变，但两者的相位差仍保持不变，相位差与计时起点的选择无关。

3i2(t)Imcos( t ) A， 例8-4：设有两个正弦电流，i1(t)Imcos( t) A, 42问哪一电流滞后，滞后的角度是多少？

解：123()5

424 i1 超前 i2 5 或 i1 滞后 i2 3 （253）

4444

§8-3 相量法的基础

1.相量：表征正弦时间函数的复值常数。

j( tu)1) u (t ) Umcos t(u)ReU[]me juj tj t  R e U [ e]ReU[]ReU[memem t]Ueju，是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电压的振幅，其中，Umm辐角为该正弦电压的初相。

2) 相量只能表征或代表正弦波, 并不等于正弦波！ u(t) u(t) UUm t] u(t)Re[Um

3) 相量图：相量在复平面上可用有向线段表示，相量在复平面上的图示称为相量图。

Chapter 8 相量法 116

ej t 2.旋转相量：Um1) ej t是一个随着时间推移而旋转的因子，它在复平面上是以原点为中心，以角速度  不断逆时针旋转的复数（模为1）。

2) 相量与 ej t 的乘积，则是时间t的复值函数，在复平面上可用以恒定角速度逆时针方向旋转的相量表示。

3）旋转相量在实轴上的投影，即为同一时刻正弦量的瞬时值。

例8-5：试写出代表下列三个正弦电流的相量并绘相量图，i1(t)5cos(314t60)A ，

0 i2(t)10sin(314t600)A , i3(t)4cos(314t600)A。

ej314t] A 解：(1) i1(t)5cos(314t600) ARe[I1m5600A I1mej314t] A (2) i2(t)10sin(314t600)10cos(314t1500) ARe[I2m101500A I2mej314t] (3) i3(t)4cos(314t600)4cos(314t1200) ARe[I3m41200 A I3m Chapter 8 相量法 117

50300 V, U1001500 V, f50Hz，试写出它们所代例8-6：已知U1m2m表的正弦电压。

解：u1(t)Re[50300100 t]50cos(100 t300) V u2(t)Re[1001500100 t]100cos(100 t1500) V

U，复值常数的模表示有效值。 4）有效值相量 ：Uu u(t)Umcos( tu)2Ucos( tu)

U U2U) U (UummuuI 类似地 I i(t)2Icos( ti) i例8-6中若为有效值相量，再写出它们所代表的正弦电压。 3.相量运算

① 同频率正弦量的代数和

ej t]Re[2Iej t]  ii1i2Re[2I12I)ej t]Re[2I ej t] Re[2(I12II  I12② 正弦量的微分

设 i2Icos( ti)，对 i 求导，有

 ej t]Red[2I ej t]Re[2(j I) ej t] didRe[2Idtdtdtj( ti)2]2 Icos( ti) Re[2 I e2 ej t]Red[I ej t]Re[(j I)ej t] dRe[Idtdt 正弦量的导数是一个同频率正弦量，其相量等于原正弦量i的相量 I 乘以 j。 ③ 正弦量的积分

Chapter 8 相量法 118

设 i2Icos( ti)，则

j t ej t] dtRe[(2I idtRe[2I e)dt]

j tI Re[2()e]2I cos( ti)

j2正弦量的积分结果为同频率正弦量，其相量等于原正弦量 i 的相量I 除以j。

5 例8-7: 已知正弦电流分别为 i1102cos(314t) A, i2222cos(314t)A，

36di试求：(1) i1i2; (2) 1; (3) i2dt。

dt10600A, I221500A 解：I12II10600221500(5j8.66)(19.05j11) (1)  I120  (-14.05-j2.34)14.24-170.54 A

0  ii1i214.242cos(314t170.54 ) A

di (2) 1102314sin(314t600)31402cos(314t1500)

dt0I2215000222150A, idt的相量  I (3) 0.0712022jj314  i2dt0.072cos(314t1200)

4.用相量法求解线性电路在正弦激励下微分方程的特解

 ej t]Re[2(j LI) ej t]Re[2(I ej t]  Re[R2I)ej t]Re[2 USj CIj tj t ej t  R2I e2(j LI) e2() ej t2 USj Cj LIj1IU  RIS CUS I

1(Rj Lj) C

§8-4 电路定律的相量形式 1.基尔霍夫定律的相量形式

Chapter 8 相量法 119

单一频率  的正弦激励下，正弦稳态时 (1) KCL： i0

 ej t)Re(I) ej t0  ikRe(Ikmkmnnnk1nk1k10  Iejik  IIkmkmkm 0, I  Iejik 或  Ikkkk1k1n(2)KVL：u0

 ej t)Re(U  ukRe(Ukm) ej t0 km0  Uejuk  UUkmkmkm0, U  Uejuk 或  Ukkkk1k1nnnnk1nk1k1在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流相量和电压相量写出，也可直接用电流振幅相量和电压振幅相量写出。

例8-8：已知 uab10cos( t600) V,ubc8sin( t1200) V, 求 uac。 解： uacuabubc

10600521200 V Uab28(1200900)42300 V Ubc2UU5.0467.50 V U  acabbc2 uac5.04cos(t67.50) V

2．三种基本电路元件伏安关系的相量形式 (1) 电阻元件的相量关系式

Chapter 8 相量法 120

 ej t]  u(t)Umcos( tu)Re[2 U ej t] i(t)Imcos( ti)Re[2 I又 u = R i

 2Ucos( tu)2R Icos( ti)

 ej t]RRe[2 I ej t]Re[2R I ej t] 或 Re[2 U

例8-9：4电阻两端电压为 u82cos(314t600) V, 求 i 。

u(t)22cos(314t600) A RU0或 U860 V, I2600 A, i22cos(314t600) A

R 解：i(t) (2) 电容元件的相量关系式

 iCdu dt

 ej t]CdRe[ U ej t]Re(j C U ej t)  Re[ Immmdt Chapter 8 相量法 121

若 u(t)2Ucos( tu), 则 i(t)2 CUcos( tu900) 若 i(t)2 Icos( ti), 则 u(t)2Icos( ti900)

 C （3）电感元件的相量关系式

 uLdi dt

ej t]LdRe[ Iej t]Re(j LIej t) Re[Ummmdt

以上关系可根据对偶量置换得出（只需以L代C，C代L，UL代IC，IL代UC，I代U，U代I即可）。

例8-10：流过0.5F电容的电流为 i(t)2cos(100t30)A，试求电容电压u(t),并绘制相量图。

130 A 解：1) I Chapter 8 相量法 122

 2) U1IIj0.02120 V j C C100t120) V 3) u(t)0.022cos(

例8-11：4H电感两端电压为 u(t)82cos( t50) V,100 rad /s, 求流过电感的电流 i(t), 并绘制相量图。

850 V 解：1) UU850 2) I0.02140 A j Lj1004 3) i(t)0.022cos(100t140) A

例8-12：电路如下图所示，已知u(t)1202cos(1000t90) V，R15 ，

L30 mH, C83.3 F，求 i(t)。

U 解：U12090，IR890j8 A

Rj CU100083.310612090901018010 A IC

U12090 IL40 A

j Lj100030103IIIj810406j810127 A  IRLC i(t)102cos(1000t127) A