2020中考数学总复习：直角三角形 习题(精选各地相关真题)

|夯实基础|

1.已知命题“关于x的一元二次方程x+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例是( ) A.b=-1

B.b=2

C.b=-2

D.b=0

2

2.[2019·广安]下列命题是假命题的是 ( )

A.函数y=3x+5的图象可以看作由函数y=3x-1的图象向上平移6个单位长度而得到 B.抛物线y=x-3x-4与x轴有两个交点 C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.垂直于弦的直径平分这条弦

3.[2018·凉山州]如图K19-1,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为 ( )

2

图K19-1

A.3

B.√2

C.√3

D.√5 4.如图K19-2,在△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上,若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为 ( )

图K19-2

A.√5

B.2

C.√3

D.√2 5.[2019·陕西]如图K19-3,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若

DE=1,则BC的长为 ( )

图K19-3

A.2+√2

B.√2+√3

C.2+√3

D.3

6.[2019·绍兴]如图K19-4①,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为

6,绕底面一棱长进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图②是此时的示意图,则图②中水面高度为

( )

图K19-4

A.

524

B.

5

32

C.12√34 17

D.20√34 17

7.[2019·泰州]命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 .(填“真命题”或“假命题”) 8.[2019·北京]如图K19-5所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).

图K19-5

9.如图K19-6,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C',若∠BAC=90°,AB=AC=√2,则图中阴影部分的面积等于 .

图K19-6

10.数学文化[2019·大庆]我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图K19-7所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)的值是 .

2

图K19-7

11.[2018·庆云县期末]如图K19-8,△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,网格中的每个小正方形的边长均为单位1.

(1)求证:△ABC为直角三角形; (2)求点B到AC的距离.

图K19-8

12.如图K19-9,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是BC上一点,连结AD.过点D作DE⊥AB,垂足为E.点F是AD的中点,连结EF.

(1)如图①,若∠DAC=α,请用含α的式子表示∠EFD的大小; (2)如图②,过点B作BG⊥AB,BG=BE,连结CG.求证:AD=√2CG.

图K19-9

|拓展提升|

13.[2019·本溪]在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A<∠ABC,D是AC边上一点,且DA=DB,O是AB的中点,CE是△BCD的中线.

(1)如图①,连结OC,请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系: .

(2)点M是射线EC上的一个动点,将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON,使∠MON=∠ADB,ON与射线CA交于点

N.

①如图②,猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系;

②若∠BAC=30°,BC=m,当∠AON=15°时,请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示).

图K19-10

【参】

1.A 2.C 3.D 4.D

5.A [解析]过点D作DF⊥AC于F,如图所示,

∵AD为∠BAC的平分线,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF=1. 在Rt△BED中,∠B=30°,∴BD=2DE=2.

在Rt△CDF中,∠C=45°,∴△CDF为等腰直角三角形,∴CD=√2DF=√2, ∴BC=BD+CD=2+√2.

6.A [解析]如图所示,设DM=x,则CM=8-x,

根据题意得(8-x+8)×3×3=3×3×6,

21

解得x=4,∴DM=4.

在Rt△DMB中,∠D=90°,由勾股定理得:BM=√𝐵𝐵2+𝐵𝐵2=√42+32=5, 过点B作BH⊥AH于H,∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°, ∴∠HBA=∠DBM,∴Rt△ABH∽Rt△MBD, ∴

𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵3

=,即=,解得𝐵𝐵𝐵𝐵85

BH=5,即水面高度为5.

2424

7.真命题 [解析]如果三角形有两个直角或钝角,那么内角和就大于180°,所以三角形中最多只能有一个钝角或直角,至少有两个锐角,故原命题为真命题.

8.45 [解析]本题考查三角形的外角,可延长AP交正方形网格于点Q,连结BQ,如图所示,

经计算PQ=BQ=√5,PB=√10, ∴PQ+BQ=PB,

即△PBQ为等腰直角三角形, ∴∠BPQ=45°,

∴∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°,

2

2

2

故答案为45. 9.√2-1

10.1 [解析]由勾股定理可得,a+b=13,直角三角形面积=(13-1)÷4=3,即ab=3,所以ab=6,所以

2

2

2

1

(a-b)=a+b-2ab=13-12=1.

11.解:(1)证明:由勾股定理得,AB=√22+32=√13,BC=√42+62=2√13,AC=√42+72=√65, ∵AB+BC=65=AC, ∴△ABC为直角三角形. (2)过B点作BD⊥AC于点D,

2

2

2

222

则2AB·BC=2AC·BD,

即×√13×2√13=×√65×BD, 22解得BD=2√655

1

1

1

1

, 2√655

∴点B到AC的距离为.

12.解:(1)∵在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠CBA=45°, ∴∠EAF=45°-α.

∵DE⊥AB,点F是AD的中点,∴EF=AF, ∴∠AEF=∠EAF,

∴∠EFD=2∠EAF=90°-2α. (2)证明:连结CE,CF,

∵BG⊥AB,∴∠EBG=90°. ∵∠EBC=45°,∴∠CBG=45°, ∴∠EBC=∠GBC. ∵BE=BG,BC=BC,

∴△CEB≌△CGB(SAS),∴CE=CG.

∵DE⊥AB,∠ACB=90°,

∴△AED和△ACD都是直角三角形. ∵点F是AD的中点,∴EF=CF=AD,

21

∵∠EFD=2∠EAD,∠CFD=2∠CAF, ∴∠EFC=2∠EAC=90°, ∴△EFC是等腰直角三角形, ∴CE=√2EF=√2·AD,∴AD=√2CE,

21

∴AD=√2CG.

13.解:(1)∠OCE=∠OAC [解析]如图①,连结OE.

∵∠BCD=90°,BE=ED,BO=OA, ∴CE=ED=EB=BD,CO=OA=OB,

21

∴∠OCA=∠A.

∵BE=ED,BO=OA,∴OE∥AD,OE=2AD,∴CE=EO,∠EOC=∠OCA,∴∠EOC=∠ECO=∠OCA, ∴∠ECO=∠OAC. 故答案为:∠OCE=∠OAC.

(2)①OM=ON.证明如下:如图②,连结OC,

1

∵OC=OA,DA=DB, ∴∠A=∠OCA=∠ABD, ∴∠COA=∠ADB.

∵∠MON=∠ADB,∴∠AOC=∠MON, ∴∠COM=∠AON.

∵∠ECO=∠OAC,∴∠MCO=∠NAO,

∵OC=OA,∴△COM≌△AON(ASA), ∴OM=ON. ②m+m或m-m.

2

√33

1

√36

[解析]如图③中,当点N在CA的延长线上时,连结OC,

∵∠CAB=30°=∠AON+∠ANO,∠AON=15°,∴∠AON=∠ANO=15°,AB=2BC=2m,∴OA=AN=m, ∵△OCM≌△OAN,∴CM=AN=m,在Rt△BCD中,∵BC=m,∠CDB=60°, ∴BD=2√33

m,

12

√33

∵BE=ED,∴CE=BD=m, ∴EM=CM+CE=m+m.

如图④中,当点N在线段AC上时,连结OC,作OH⊥AC于H.

√33

∵∠AON=15°,∠CAB=30°, ∴∠ONH=15°+30°=45°, ∴OH=HN=m,

21

∵AH=2m,∴CM=AN=2m-2m, ∵EC=m, ∴EM=EC-CM=3m-√3

√31m-2m2

√33

√3√31

=2m-6m.

√31

√31√3

综上所述,线段ME的长度为m+3m或2m-6m.