有限长均匀带电直线电场的分析

金彪

（浙江省上虞市春晖中学，浙江 上虞 312353）

摘要：本文分析了有限长均匀带电直线周围的电场，用两种方述了有限长均匀带电直线电场的电场线为双曲线而等势面为旋转椭球面，并由此计算出导体旋转椭球面电容及面电荷密度分布。

关键词：有限长均匀带电直线；旋转椭球面；双曲线；等势面；电场线；电势；电场强度

如图1所示线段AB为真空中均匀带正电直线，长为2c，线电荷密度为e，求其产生的电场中任一点D的电场强度ED与电势UD。

A

图1

D B

1 用等效替代法求电场

过D点作AB的垂线段DE，垂足为E，以D为圆心，DE长为半径，作圆弧FEG，点F在线段AD上，点G在线段BD上，当圆弧FEG的线电荷密度也为e时，圆弧FEG与线段AB在D点产生的电场强度相等。论证如下：

过D点作任一微小角d，在圆弧和线段上分别截得HI、JK，过K作KN垂直于DJ，则有三角形相似可得：

2D F N A

J K

图2

H I E

G B

LJKLLLLLLDJ （1） NKDJNKDJHI2LDELDHLDH由点电荷电场求解公式可得：线电荷密度相等短线JK和HI在D点产生的电场强度相等，故线段AB

和圆弧FG在D点的电场也相等。由此可以得到线段AB在D的电场强度ED方向为沿ADB的角平分线DC反向延长线向外。

若沿电场线方向移动一段微小距离dl到D/，如图3。可得

LAD/LADdlsinADC，

LBD/LBDdlsinBDC，

由于DC是ADB的角平分线，可得

LAD/LADLBD/LBD， LAD/LBD/LADLBD。

即：当D点始终沿电场强度方向运动时，D点运动的轨迹为电场线，而D点到A、B两点的距离差保持不变，即电场线为双曲线。

ED D/ ED D// D C 图3

若沿垂直电场线方向移动一段微小距离dl到D//，如图4。可得

C 图4

D A B A B

LAD//LADdlcosAD//D LBDLBD//dlcosBDD//

由于DC是ADB的角平分线，且dl可忽略，可得

LAD//LADLBDLBD//LAD//LBD//LADLBD

可得：当D点在ABD平面内始终沿垂直电场强度方向运动时，D点运动的轨迹为等势线，而D点到A、B两点的距离和保持不变，即等势线为以A、B两点为焦点的椭圆，等势面是以A、B两点为焦点的旋转椭球面。

下面求D点场强及电势。以AB中点为原点，AB方向为x轴正方向建立直角坐标系，设

y A、B、D三点坐标分别为c,0、c,0、

xD,yD，任一小段带电细线在D点产生场强

θ 为dE，与y方向夹角为，分解后的分量分别为dEx、dEy，再设线段BD和线段AD与x轴夹角分别为α和β，如图5所示。由（1）式得：

A 图5

β E D α B x dExkesind yDkecosd yDdEyExkeksindeyyDD22coscos22keyDyDyDLDBLDA11keLDBLDA （2）

EykeyD22kecosdyD （3）

kexDcxDcsin2sin2yLLDBDDAEyExcoscos tansinsin2设合场强与x轴夹角为γ，则

tan即场强ED方向为沿ADB的角平分线反向延长线。

现在求D点电势。

UDxD11keLDBLDAdxkexDdxxc2y2dxxDxc2y2kelnxDccxD22xDc2yD2lnxDcxDcyD22xDcyDkelnxDcxDc2yD2kelncxD

22xDc2yD2kelnxDcxDcyD

2 用叠加法求电场

设坐标为x的一小段直线dx在D点产生的电势为dU，则

dUkedxL2DAxc2LDAxcos2kedxLDAsin2xcLDAcos2

UckedxcLDAsin2xcLDAcos2LDAsin2xcLDAcos2 （4）

ckedlnxc-LDAcosckeln2c-LDAcos-LDAcoscxDLDAsin22cLDAcos2LDAsin2LDAcos2xDc2yD2keln22-cxDxDcyDxDc2yD2kelnxDcxDc2yD2cxDxDc2yD2由此，当D点在等势面上移动时，

xDcxDc2yD2cxD保持不变，可设

xDc2yD2xDcxDc2yD2cxD其中a为可求常量。则有：

acac

xDcyDxDcxDc2yD2cxD22LDA1cossin1cosLDB1cossin1cos2ac （5） actan2tan延长三角形ABD的AD、AB两边，作半径为r的圆与边BD及AB、AD的延长线相切，切点分别为G、H、F，由圆与直线相切的性质可得：

D F β A

图6

G α B H

LABLAHLBH可得：

tanrrr21tantantantan2222rtanrtanacr12c tanac2LADLBDLAFLBG

22

tanr2r1tantantan222ac12aac即D到A、B两点的距离之和为常量，故所有电势相等的点的集合为旋转椭球面。由（4）式得，xy平面内任意一点的电场强度为（设该点到A、B两点的距离分别为、r）

UUEixyj2xc2y2lnxcxcy2lncxkexi kekelncx12xc2y2lnxcxcy2yjxc2y21xc2iy2yy2222xcyxcyj ke2222cxxcyxcxcysin11sinkeikjerr1cos1cossin1cossin1cos11keiker1cos2r1cos2j111cos1coskeikersinrsinjkkesinsiniecoscosjyy11kekeriyxcxcrj

此点为某条电场线上一点，设电场线函数为yfx，则其导数为

f/xdydxEyEXcoscos

sinsin则有：

dddxxcdx2y2xcydydxcossincoscossin

sinsinsinsinxc2y2drddxxcdx2y2xcydydxcossincoscossin

sinsinsinsinxc2y2量，故电场线为双曲线。 即：ddr，r常3 关于孤立导体旋转椭球面电容及面电荷密度的求解

x2y2z21。由前所述，带电量为 Q的导体旋转椭球面处于静电平衡状态，椭球面的方程为22ab对于中点在原点、长度为2c2a2b2、电荷密度为eQ2ab22、在x轴上的有限长均匀带电直

x2y2z21的椭球面为其一个等势面，由（4）线，方程为2、（5）两式得电势为 2abackQaa2b2Ukelnln

2222ac2abaab因此，该导体旋转椭球面的电容为：

CQ80Uaa2b222ablnaa2b2 1本式与文献[1]中（11）式一样。由于有限长均匀带电直线在某点(x、y、0)产生的电场强度为

22EExEykeykeyyry2kexcxcry222y2x2c2222rr

kQ222cykQ222cyy2x2c2y2xcy2xcy2x2c2y2x2c224x2c2x2y2z21的导体在(x、y、0)上面电荷密度为： 则总电量为Q，椭球面方程为22abeE00kQ2cy22y2x2c2y22x2c224x2c2Q2242cy2x2b12a2x2b1a222xc2224x2c2xcQ2242cy2c2x2aa22c2x2b2c2a224xc2c2x2b2c2Qa2242cyc2x22a2aQ42cy2c2x22aa22c2x222ba2cc2x22a2a2c2x24c2aQ42cyc2x22a2a2y224cc1b2Q42cyy222ac1b2Q144ba2b2y2

上式是导体旋转椭球表面电荷密度的一般表达式，正确性可由文献[2]中4.16式经变换后得以验证。 参考文献

[1] 丁振瑞,李双九.导体旋转椭球电容的一种计算方法(J).大学物理，2003（4）,5~7

[2] Л.Д.朗道Е.М.栗弗席兹.连续媒质电动力学 上册(M),北京:人民教育出版社,1963.29~35