摘 要:在稳健的波束合成器中,采用对角负载的校正方法能有效克服误差影响。与传统的对角负载稳健波束合成器相比,新算法一方面综合考虑多种误差影响,建立相应数学模型;另一方面,在求解最优对角负载值时,对协方差矩阵进行了预处理,消除了部分误差影响,从而使对角负载校正方法更加有效。计算机仿真证明了新算法的有效性。
关键词:稳健波束合成器;对角负载;协方差矩阵 中图分类号:TN911 文献标志码:A
文章编号:1001-3695(2010)02-0523-03 doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.02.033
Diagonal loading robust beamformer based on miscellaneous errors ZENG Hao,ZHANG Lei,YANG Shi-zhong,LIU Ling
(College of Communication Engineering, Chongqing University,Chongqing 400030,China)
Abstract:In order to calibrate the array errors, diagonal loading is used in the robust beamformer. Compared with the traditional
beamformer, the new algorithm outperformed in two sides. One was that all kinds of errors were considered with the correct math models. On the other hand, the covariance matrix was preprocessed before
calculating the optimum diagonal loading factor, which could get rid of some errors and improve the performance of diagonal loading method. The error models, approaches of preprocessing and diagonal loading factor calculating were proposed. Furthermore, the simulations certify the virtue of the new algorithm.
Key words:robust beamformer; diagonal loading; covariance matrix 自适应波束合成技术利用信号不同空间来向,通过对接收信号进行复数加权,实现主瓣对准期望信号,零陷对准干扰,从而提高系统输出信干噪比。该技术广泛应用于通信、雷达、语音、声纳系统中[1~4]。但是,由于实际系统中存在各种误差,导致波束合成器无法达到理想效果。为了克服误差影响,实现稳健波束合成器,对角负载的校正方法由于实现简单而成为研究热点。文献[5,6]介绍了多
种对角负载方法。文献[5]虽然提出了一种对角负载的改进算法,但当快拍数很小时,这种方法效果就不是很好了;文献[6]中仅考虑了阵元间的互耦误差对系统的影响;文献[7]介绍了G-analysis分析方法求解最优负载值,完成稳健波束合成,但这也只针对有限快拍误差。新算法通过对阵元位置误差、通道不一致误差、有限快拍误差和阵元互耦误差进行数学建模,综合考虑各种误差影响。首先,对协方差矩阵进行预处理,去除耦合干扰,然后再利用G-?analysis?分析方法求解最优负载值,从而提高传统对角负载稳健波束合成器的性能。 1 误差源模型
考虑由N个全向天线阵元组成的均匀线阵,阵元间距为信号半波长。空间具有一个期望信号s?0?(t),功率为σ?2??0?,波达方向θ?0?;同时,存在J个干扰信号s?j?(t),功率为σ?2??j?,波达方向θ?j?,j=1,…,J。所有信号都是窄带远场不相关信号。阵列接收信号矢量可以表示为 x(t)=s?0?(t)a?0?+∑Jj=1s?j?(t)a?j?+n(t)= ∑Jj=0s?j?(t)a?j?+n(t)(1)
其中:a?0?为期望信号方向矢量;a?j?为干扰信号方向矢量;n(t)是阵列高斯热噪声矢量,其功率为σ?2?。方向矢量可以表示为 a?j?=[e?-jk?j?p?1?? … e?-jk?j?p?N??]?T?(2)
其中:k?j?为该信号的波数矢量,由信号波达方向决定;p?n?则是第n个阵元的坐标矢量,显然n=1,…,N。
对应阵列的阵元位置误差体现在阵元坐标的误差上。假设第n个阵元偏离理论位置Δp?n?,则此时的信号方向矢量为
a^j=[e?-jkj(p1+Δp1)? … e?-jkj(pN+ΔpN)?]T= diag(e?-jkjΔp1? … e?-jkjΔpN?)×aj=Δjaj(3)
其中:diag()表示以自变量为对角元素的对角矩阵,即Δ?j?是以e?-jk?j?Δp?n??为对角元素的N×N的对角矩阵,其中n=1,…,N。通常假设每个阵元位置误差值Δp?n?是高斯分布。
对于每个阵元接收信号,由于所经过的射频、中频的物理通道是不相同的,各个通道的增益也是不同的。这里,增益包括幅度不同,也包括相位不同。假设第n个阵元接收信号可以表示为 x^n(t)=(1+gn)e?jφn?xn(t)(4)
其中:g?n?和φ?n?都是高斯分布,则系统的接收数据可以表示为
x^(t)=diag((1+g1)e?jφ1? … (1+gN)e?jφN?)x(t) =Γx(t)(5)
其中:Γ也是一个N×N的对角矩阵。 当考虑阵元互耦时,阵列接收信号为 x^(t)=Cx(t)(6) 其中,互耦矩阵[8]
C=(Z?A?+Z?T?)(Z+Z?T?I)?-1?(7) 式中Z?A?为阵元自阻抗,而 Z?T?=Z????A?(8)
符合表示取共轭,Z则是复阻抗矩阵
Z=Z?A?+Z?T?Z?12?…Z?1N?Z?21?Z?A?+Z?T?…Z?2N????Z?N1?Z?N2?…Z?A?+Z?T?(9)
其中:Z?ij?(i≠j)表示阵元i和j之间的互阻抗。互耦误差不同于阵元位置误差和通道不一致误差,互耦误差矩阵不是一个随机矩阵,而是确定值。由天线基本理论,对于天线长度l为半波长m倍的阵元天线,其自阻抗为 Z?A?=30[0.577+ln(2πm)-Ci(2πm)+j Si(2πm)](10) 其中:ln()表示自然对数,表达式 Ci(u)=∫u-∞cos xxdx(11) Si(u)=∫u-∞sin xxdx(12) 平行天线阵元互阻抗则可以表示为
Z?ij?=30[2Ci(u?0?)-Ci(u?1?)-Ci(u?2?)]-j30[2Si(u?0?)-Si(u?1?)-Si(u?2?)](13) 其中:
u?0?=β|i-j|d(14)
u?1?=β(l?2?+(|i-j|d)?2?+l)(15)
u?2?=β(l?2?+(|i-j|d)?2?-l)(16) 其中:d是相邻阵元间距;β是相位常数。 β=2πλ(17)
正是因为互耦误差的不同性质,对于互耦误差校正可以采取特殊方式,这也是协方差矩阵预处理要解决的问题。
综合考虑各种误差时,由式(1)(3)(5)(6)得到误差情况下的阵列接收信号矢量 x^(t)=CΓ(∑Jj=0sj(t)Δjaj+n(t))(18) 2 协方差矩阵预处理
阵列接收信号协方差矩阵定义为 R?x?=E[x(t)x?H?(t)](19) 将式(1)带入式(19)可以得到
R?x?=∑Jj=0σ?2??j?a?j?a?H??j?+σ?2?I(20)
当考虑系统各种误差时,把式(18)代入协方差矩阵定义式(19),得 R^x=C Γ(∑Jj=0σ2jΔjajaHjΔHj+σ2I)ΓHCH(21)
在实际系统中,由于信号功率无法准确获得,采用估计方法获得协方差矩阵。假设阵列接收信号连续K次采样,得到K个快拍数据,则无误差时估计值为 Q?x?=1KXX?H?(22) 有误差时估计值为 Q^x=1KX^X^H(23)
其中,数据矩阵由K次快拍构成 X=[x(1) … x(K)](24) X^=[x^(1) … x^(K)](25)
正如上文阐述,阵元位置误差和通道不一致误差由于是随机误差,不能从解析表示的角度进行校正。但互耦误差是一个可以计算的确定值,也就是互耦矩阵C是已知的。在对协方差矩阵作进一步处理前,可以通过预处理消除互耦误差。比较式(20)和(21),新的协方差矩阵为
E^x=C?-1?Q^x(CH)?-1?(26)
预处理后的协方差矩阵E?x?再通过对角负载的方式,对有限快拍误差、阵元位置误差和通道不一致误差进行校正。 3 对角负载校正方法
在过去的文献中, 对角加载因子大多是通过定性分析估计得到,这些方法运算简单, 但是缺乏理论依据, 无法证明得到的是最佳对角加载因子。在文献[7] 中, Xavier运用G-analysis方法很好地解决了这个问题。但是,文献中仅仅考虑了有限快拍误差,并没有对其他误差存在时的情况进行分析,而这也是新方法要解决的一个重要问题。
结合式(21)和(26),在预处理条件下,理论上新的协方差矩阵为
E?x?=Γ(∑Jj=0σ?2??j?Δ?j?a?j?a?H??j?Δ?H??j?+σ?2?I)Γ?H?≈∑Jj=0σ?2??j?v?j?v?H??j?+σ?2?I(27)
此时,相当于把阵元位置误差和通道不一致误差归结为方向矢量误差,这个有误差的方向矢量为 v?j?=ΓΔ?j?a?j?(28)
对角负载的校正方法是可以处理方向矢量误差的,所以同样可以采用G-analysis方法进行最优对角负载值的估计。同时,式(27)说明,误差下的协方差矩阵与式(20)具有相同的形式,从而文献[7]的结论是可以直接利用的,只是个别参数需要用新模型下对应量替代。 按照输出信干噪比最大准则定义代价函数 f(α)=(1-cp(α))?2?q(α)(29) 其中:c=N/K(30)
p(α)=1N∑Nn=1λ?n?α+λ?n?(31)
q(α)=aH0(E^x+αI)?-1?E^x(E^x+αI)?-1?a0(aH0(E^x+αI)?-1?a0)2(32) 其中λ?n?为E^x的特征值。需要指出,文献[7]中代价函数定义表示有误,应为原定义的倒数,即式(29)所示,这一点可以从下文仿真中得以验证。当代价函数f(α)最小值时对应的α?DL?即为最优对角负载值 α?DL?=arg ?min?α f(α)(33)
以往研究表明,最优对角负载值是一个大于协方差矩阵最小特征值、小于最大特征值的一个量。所以,如果E^x特征值为
λ?1?≥λ?2?≥…≥λ?N?(34)
而λ?n?对应特征矢量为e?n?,则在[λ?N? λ?0?]区间内对式(33)进行搜索就可以找到α?DL?。而且,为了进一步减少运算量,式(32)的矩阵求逆运算可以通过特征值和特征矢量来完成。具体表示为
q(α)=∑Nn=1|a?H??0?e?n?|λ?n?(α+λ?n?)?2?/(∑Nn=1|a?H??0?e?n?|?2?α+λ?n?)?2?(35)
根据对角负载校正方法,在MP方式下的波束合成器的最优权矢量为 w=(E^x+α?DL?)?-1?a0aH0(E^x+α?DL?)?-1?a0(36) 此时的输出信干噪比为
SINR=w?H?R?s?ww?H?(R?i?+R?n?)w(37)
其中,期望信号协方差矩阵、干扰信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵分别为 R?s?=σ?2??0?a?0?a?H??0?(38) R?i?=∑Jj=1σ?2??j?a?j?a?H??j?(39) R?n?=σ?2?I(40) 4 计算机仿真
假设空间均匀线阵N=5,阵元间距d=λ/2,而阵元天线长度l=λ/2,即m=1。空间期望信号为波达方向u?0?=?cos?θ?0??=0?,SNR?0?=20 dB,存在两个干扰信号,u?1?=0.4,u?2?=?-0.6?,功率INR?1?=10 dB,INR?2?=20 dB。 仿真按如下步骤进行:
a)根据式(10)和(13),计算出阵元自阻抗Z?A?和互阻抗Z?ij?,进而求解互耦矩阵C。
b)对输入信号进行K次采样,按式(25)获得数据矩阵X^,并由式(23)估计得到协方差矩阵Q^x。
c)对协方差矩阵按式(26)进行预处理,得到消除互耦误差协方差矩阵E^x。 d)对协方差矩阵E^x进行特征分解,得到N个特征值λ?n?和相应特征向量e?n?。
e)采用波达方向估计算法估计出信号个数和相应的波达方向,通常采用MUSIC算法。因为该算法既可以达到超分辨性能,同时运算量也较最大似然算法小,从而
获得期望信号方向矢量a?0?。事实上,由于误差存在,对波达方向估计时也需要采用误差校正方法,只是这个内容超出本文研究范围。
f)由前两步结果,代入式(29),对α进行搜索,得到最小值时的α?DL?作为对角负载值。
g)代入式(36),计算出权矢量值w。实际的稳健波束合成器到此就完成了全工作。但为了比较新算法与传统算法的性能,仿真还需完成以下工作。 h)由式(37)计算出阵列输出SINR,并与传统方法进行比较,同时描绘出阵列方向图。
图1为不进行任何校正时,只考虑一种误差情况的阵列输出SINR。仿真说明,有限快拍误差可以靠增加快拍数进行改善,而阵元位置误差、通道不一致误差和互耦误差不能通过增加快拍数进行改善,这也是必须采用诸如对角负载校正方法的原因。图2是K=100时MUSIC空间谱估计结果。仿真比较了无误差情况R?x?、有误差但没有协方差矩阵预处理Q^x的传统算法和进行协方差矩阵预处理E^x的改进算法三种情况。仿真表明,协方差矩阵预处理的改进算法的估计误差更小。
图3是式(29)对α的搜索曲线,曲线最小值对应的横坐标就是该快拍下的最优对角负载值α?DL?。这些曲线表明,只有采用式(29)的表达方式,f(α)才有最小值,这与文献[7]对该代价函数定义有一定区别。图4是无校正算法采用文献[7]的传统对角负载校正算法和增加协方差预处理校正的改进对角负载算法对阵列输出SINR改善的仿真结果,说明采用协方差矩阵预处理的改进算法可提高系统的输出SINR和系统?性能?。 5 结束语
对协方差矩阵的对角负载校正可以提高系统的输出性能,同时从仿真分析可知,对协方差矩阵先进行预处理,再求得对角负载因子,然后再对协方差矩阵加载,要比直接对协方差矩阵对角加载更能提高系统的性能。 参考文献:
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(责任编辑：背包走天下)
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