非均质变截面杆中弹性波的反射和透射

1998年9月

应用力学学报

CHINESEJOURNALOFAPPLIEDMECHANICS

Vol.15　No.3Sep.1998

非均质变截面杆中弹性波的反射和透射

　王从约　夏源明　　　　解艳宁　　　

(中国科学技术大学　合肥　230027)　(汽车管理学院　蚌埠　233011)

󰀁

摘　　要

基于一维弹性波理论,本文对应力波在非均质变截面杆中传播问题进行了一维简单波分析,并把分析结果与二维轴对称有限元分析结果进行了比较,表明一维简单波分析是非常有效和实用的。利用一维简单波分析方法,本文还揭示了应力波在非均质变截面杆中的传播规律,特别对含有内部交界面的非均质变截面杆(带有连接段)进行了一维等效简化分析,研究了连接段对应力波传播的影响。关键词:非均质变截面杆;应力波的传播;二维有限元分析

1　引　言

本世纪以来,许多学者研究了应力波在有界弹性介质中的传播。Rayleigh、Pochhammer及Chree等人做了开创性的工作,以后出现了大量有关这一课题的文献。对于应力波在简单的变截面或非均质杆中传播问题的研究表明,在距变截面或非均质区域的远场,一维应力波理论具有很好的近似性,这已为实验所证实[2-6]。但目前很少有学者对较复杂的非均质变截面杆中应力波的传播进行研究,其原因在于非均质变截面区域存在着应力波的反射和透射,使得这一区域应力波的传播非常复杂,对这一问题的分析研究带来很大的困难。例如目前所使用的冲击拉伸试验系统就是由复杂的非均质变截面杆组成的系统,因此有必要对这类在几何上和物理都很复杂的杆中应力波的传播进行研究。本文对弹性波在非均质变截面对于远场应力波的一维简单波分析具有良好的近似性。本文试图利用一维应力波理论,对应力波在非均质变截面杆中的传播,特别对带有连接段的非均质变截面杆进行等效的一维简化分析,揭示连接段对应力波传播的影响。

[1]

2　一维简单波分析

2.1　非均质变截面杆

本文研究的非均质变截面杆(见图1)由三部分组成,且各部分可以有不同的材质和横截

󰀁

国家自然科学基金资助项目来稿日期:1995-12-05;修回日期:1997-05-22第3期非均质变截面杆中弹性波的反射和透射

45

面积,一应力脉冲󰀁i=󰀁0f(t),t≥0,通过L面和R面的入射波、反射波和透射波可用LangrangeX-T图表示(见图1)。

Ⅰ区、Ⅱ区和Ⅲ区的声阻抗分别为:

R1=󰀂1C1A1,R2=󰀂2C2A2,R3=󰀂3C3A3

(1)

这里󰀂1,󰀂2,󰀂3分别为Ⅰ区、Ⅱ区和Ⅲ区的密度;A1,A2,A3分别为Ⅰ区、Ⅱ区和Ⅲ区的横截面面积;C1,C2,C3分别为Ⅰ区、Ⅱ区和Ⅲ区中传播的弹性波波速,且Ci=

Ei/󰀂i,(i=1,2,

3)。

应力波在Ⅰ区与Ⅱ区间传播,将在L面处发生反射和透射,应力波从Ⅰ区传播到Ⅱ区,其反射系数 12和透射系数!12分别为:

12=

2R2A1R2-R1

,!12=

R1+R2A2R1+R2

(2)

应力波从Ⅱ区传播到Ⅰ区,其反射系数 21和透射系数!21分别为:

21=

R1-R22R1A2

=- 12,!21=

R1+R2R1+R2A1

R3-R22R3A2

,!23=

R2+R3R3+R2A3

(3)

同理,应力波在Ⅱ区与Ⅲ区间传播时,其反射系数 23和透射系数!23分别为:

23=

(4)

应力波从Ⅲ区传播到Ⅱ区,其反射系数 32和透射系数!32分别为:

32=

R2-R32R2A3

=- 23,!32=

R2+R3R2+R3A2

(5)

应力波n次往返Ⅱ区后,Ⅲ区中的透射应力波󰀁3为:

󰀁3=[󰀁!12!23( 21 23)

k=1n

k-1

]󰀁i(6)

Ⅱ区中应力波󰀁2为:

󰀁2=[!12+!12󰀁 23 21

k

k=1n

k-1

+!12󰀁( 23 21)

k=1

n

k-1

]󰀁i(7)

Ⅰ区中应力波󰀁1为:

󰀁1=[1+ 12+!21 23!12

󰀁

n

( 21 23)

k-1

]󰀁i(8)

图1　LangrangeX-T图

k=1

应力波在Ⅱ区往返行程一次所用的

时间twf=2l/C2,其中l是Ⅱ区的纵向长度。

2.2　含内部交界面的非均质变截面杆(带有连接段)

为了对含内部交界面的非均质变截面杆(带有连接段)中应力波传播问题(如图2所示)进行一维简单波分析,必须采用混合律对连接区域(Ⅱ区)进行等效简化处理,有关物理参数由下面的混合律公式求得。

x=V1x1+V2x2

(9)46

应用力学学报第15卷

这里x代表混合区域某一物理量,x1,x2分别代表混合区域内各个区域的相应的物理量,V1为x1所占的体积比,V2为x2所占的体积比。

(a)应力波从粗杆向细杆传播　　　　　　　　　　　　　　　　(b)应力波从细杆向粗杆传播

图2　带有连接段的非均质变截面杆示意图

3　一维简单波分析的有效性论证

一维简单波分析能否近似地描述非均质变截面杆中应力波传播的问题,必须对其有效性进行论证。本文用二维轴对称动态有限元方法和程序(ADINA)[7]分析了非均质变截面杆中应力波传播的问题,并把有限元结果与一维简单波分析结果进行比较来论证后者的有效性。3.1　非均质变截面杆中应力波的传播

计算模型如图1所示,有关物理和几何参数见4.1节,模型中Ⅱ区为表1所列的材料M1,其泊松比为v=0.3,Ⅰ区和Ⅲ区的材料与4.1节中的相同,其泊松比均为v=0.25。有限元计算模型中,在远离非均质变截面区域,有限元网格为:∀r:∀z=1∶2,∀r=1mm,而在非均质变截面区域,有限元网格为:∀r:∀z=1∶2,∀r=0.5mm。采用Newmark隐式时间积分的方法,积分参数#=0.;!=0.25(#+0.5)2,时间积分步长∀t=0.2∃s。

[8]

　图3　位置1和位置3处的应力时间曲线(对材料M1)　　　　图4　位置2处的应力时间曲线(对材料M1)　　

图3和图4显示了二维轴对称有限元分析结果与一维简单波分析结果。由于有限元分析中计及了杆中的泊松效应,因此应力波带有一定的由杆的横向惯性造成的弥散。由图3可见,一维简单波分析能够较好地揭示这一非均质变截面杆中应力波在远场(远离非均质变截面区域)的传播特征。由图4可见,杆中位置2为Ⅱ区中点,位置2相对于L和R具有一定的对称性,因此位置2处的应力波的一维简单波分析结果与有限元分析结果十分接近。这也说明一维简单波分析不仅对远场应力波具有很好的近似性,同时对于近场(非均质变截面区域)的某些特别位置处也有较好的近似性。第3期非均质变截面杆中弹性波的反射和透射

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3.2　含内部交界面的非均质变截面杆(带有连接段)中应力波的传播

计算模型如图2a所示,模型中连接段的长度l为10mm,a2为110mm,a1,a3均为120mm,粗杆的泊松比%=0.25,细杆的泊松比%=0.30,其它有关参数与4.2节中的相同。有限元计算模型中,在远离连接区域,有限元网格为:∀r∶∀z=1∶2,∀r=1mm,而在连接区域,有限元网格为:∀r∶∀z=1∶2,∀r=0.5mm,其它有关的有限元求解策略见3.1节。

图5显示了有限元分析结果与一维等效简化的简单波分析结果的比较。由图可见,除横向惯性造成的应力波的弥散抖动外,一维等效简化分析能近似地描述含内部交界面的非均质变截面杆(带有连接段)中远离连接区域的应力波的传播。另外,连接段的存在造成反射到Ⅰ区的应力波波形和透射到Ⅲ区的应力波波形带有一定的“尖冲和抖动”,且一维等效简化分析能很好地描述透射波中这一“尖冲和抖动”现象。这一“尖冲和抖动”主要是由连接段复杂的来回反射和透射造成的,而连接区域的二维效应(横向惯性和剪切效应)对透射应力波的尖冲和抖动的影响较小。这里必

图5　位置1和位置3处的应力时间曲线

须指出一维简单波分析不能很好地反映连接区域Ⅱ(近场)应力波的传播。

4　计算结果和分析讨论

4.1　非均质变截面杆中应力波的传播

图1所示计算模型的杆端作用一带有10个微秒线性上升沿的拉伸应力脉冲󰀁i=󰀁0f(t),󰀁0=01.GPa(见图6)。Ⅰ区和Ⅲ区的物理和几何参数相同,弹性模量E=200GPa,质量密度󰀂=8g/cm,横截面半径r=6mm。Ⅱ区的纵向长度l=10mm,横截面半径r2=2mm;对于Ⅱ区选取三种材料,有关材料参数见表1。图1中a1=120mm,a2=120mm,a3=120mm。

表1　Ⅱ区材料参数

图6　作用脉冲函数f(t)

3

　　对材料M1、M2和M3,其分析结果分别显示在

4、图7-8和图9-10中。在相同应力脉冲作用下,弹性模量E(GPa)质量密度󰀂(g/cm3)图3-Ⅱ区材料的弹性模量越高,则Ⅱ区的应力随时间增M1702.7

长就越快,Ⅰ区的反射应力波就越弱,Ⅲ区的透射M225010

应力波就越强;否则相反。对于材料M3,Ⅰ区中的

M3

2.5

1.25

反射波形,Ⅱ区中的应力波形和Ⅲ区中的透射波形

均有抖动现象,其原因在于:Ⅱ区的弹性模量较低,因此造成应力波在Ⅱ区往返一次所需的时间较长。

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应用力学学报第15卷

图7　位置1和3处的应力时间曲线(对材料M2)　　　　　　图8　位置2处的应力时间曲线(对材料M2)　

图9　位置1和3处的应力时间曲线(对材料M3)　　　　　图10　位置2处的应力时间曲线(对材料M3)

4.2　含内部交界面的非均质变截面杆(带有连接段)中应力波的传播

计算模型如图2所示,杆端作用的应力脉冲同3.1节中的相同。模型中粗杆和细杆的有关的物理和几何参数见表2。

表2　物理和几何参数

弹性模量E(GPa)质量密度󰀂(g/cm3)半径r(mm)

粗杆细杆连接段

2007070

8.02.72.7

624

4.2.1　应力波从粗杆向细杆传播计算模型如图2a所示,为了研究

连接区域(Ⅱ区)对应力波从粗杆向细杆传播的影响,特选取三种长度l的连接区域,l分别为20mm,10mm,0mm(即无连接段),且相对应的a2分

别为100mm,110mm,120mm,而a1,a3均为120mm。

图11为上述三种情况的分析结果,图11中三组曲线的比较表明:对于应力波从粗杆向细杆传播,连接区域的长度(l)越长,则反射波(压缩波)的尖冲和拉动就越强,与无连接段相比,连接段的存在会使得反射应力波提前进入Ⅰ区,同时Ⅲ区中的透射应力波中的尖冲和抖动也就越大,反射应力波和透射应力波中的尖冲和抖动完全是由连接区域的前几个来回反射和透射造成的,连接区域几次来回反射及透射后,应力波幅值将趋于均匀;另外,连接区域会造成反射应力波和透射应力波在时间上的提前,提前量随连接区域长度(l)增加而减小。第3期非均质变截面杆中弹性波的反射和透射

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4.2.2　应力波从细杆向粗杆传播

计算模型如图2b所示,为了研究连接区域(Ⅱ区)对应力波从细杆向粗杆传播的影响,这里也选取三种长度l的连接区域,l分别为20mm,10mm,0mm(即无连接段),且对应的a3分别为100mm,110mm,120mm,而a1,a2均为120mm。

上述三种情况分析结果如图12所示。对于应力波从细杆向粗杆传播,反射到Ⅰ区的应力波为拉伸波。由图12三组曲线的比较可以得出与4.2.1节相同的现象。与应力波从粗杆向细杆传播相比,连接段对反射波和透射波的影响相对较小,从而对Ⅰ区和Ⅲ区应力波影响也相对较小。

图11　位置1和位置3处的应力时间曲线

图12　位置1和位置3处的应力时间曲线　　　　　　　　　图13　作用脉冲函数f(t)　　

4.2.3　对不同的作用脉冲,连接段对应力波传播的影响

计算模型如图2a所示,杆端分别作用带有约10个微秒光滑上升沿的应力脉冲󰀁i=󰀁0f(t),󰀁0=0.1GPa(见图13)和带有约10个微秒线性上升沿的应力脉冲(见图6)。连接区域长度l=10mm,a1,a3均为120mm,a2=110mm。

上述两种作用应力脉冲情况的分析结果见图14,图中两组曲线的比较表明:与带有线性上升沿的应力脉冲情况相比,对有光滑上升沿的情况,连接段造成Ⅰ区的反射应力波和

图14　位置1和3处的应力时间曲线

Ⅲ区的透射应力波的尖冲和抖动要小得多。这

说明入射波形是影响Ⅰ区的反射应力波形和Ⅲ区的透射应力波形的尖冲和拌动的另一个主要原因。50

应用力学学报第15卷

4　结　论

1)　基于一维弹性波理论,本文获得了非均质变截面杆中远场应力波传播的一维简单波分析解,其有效性得到了二维轴对称有限元分析的论证,说明一维简单波分析方法是有效和实用的。

2)　利用一维简单波分析初步揭示了非均质变截面杆中应力波的传播规律,特别对含内部交界面的非均质变截面杆中应力波的传播进行了研究,表明应力波在连接段地来回反射和透射是造成反射应力波波形和透射应力波波形中尖冲和抖动的主要原因。另外,对不同的作用脉冲,连接段对应力波传播的影响是不同的。

3)　本文中的一维简单波分析方法经推广,可用来分析理想弹塑性材料或线性硬化的弹塑性材料组成的非均质变截面杆中弹塑性应力波传播的问题。

4)　本文对于进一步分析和研究冲击拉伸试验系统中应力波的传播将是有意义的。

参

1　王礼立编,《应力波基础》,国防工业出版社,1985

2　W.E.Jahsman,\"ReexaminationoftheKolskyTechniqueforMeasuringDynamicMaterialBehaviour\JournalofAp-pliedMechanics,TransactionofASME,Vol.38,(1971),pp75-82

3　M.C.SinghandW.Frydrychowicz,\"WavePropagationinnon-homogeneousthinelasticrodssubjectedtotimedepen-dentstressimpact\JournalofSoundandVibration(1981)79(3),pp341-350

4　J.Z.MalinowskiandJ.R.Klepaczko,\"AunifiedanalyticandnumericalapproachtospecimenbehaviourintheSplit-Hop-kinsonpressureBar\Int.J.Mech.Sci.,Vol.28,No.6,pp381-391,1986

5　C.Bacon,\"Numericalpredictionofthepropagationofelasticwavesinlongitudinallyimpactedrods,ApplicationstoHop-kinsonTesting\Int.J.ImpactEng,Vol.13,No.4,pp527-539,1993

6　V.K.Kinra,“在杆中切口间断处脉冲波的反射和透射”,固体力学学报,Vol.2,No.2,pp197-209,1983年6月7　K.J.Bathe,\"Afiniteelementprogramforautomaticdynamicincrementalnonlinearanalysis\ReportAE81-1,AE81-2,

,机械工业出版社,1986)AE81-3,(中译本:赵兴华等译,《ADINA使用手册—自动动态增量非线性分析有限元程序》8　王从约,《杆杆型冲击拉伸试验系统的动力学数值分析》,中国科学技术大学博士论文,1996

考文献