２０１５年第３期 （总第６２期） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉ ａｎ Ｒａｉｌｗａｙ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ＆Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ 西安铁路职业技术学院学报 Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．６２ Ｎｏ．３．２０１５ 变限积分证明函数不等式的探究 吉耀武 （西安铁路职业技术学院陕西西安７１００１６） 摘要：将函数不等式中某一端的函数或其中一部分用变限积分表示，构造变限积分后，将函数不等式的证明转换 为定积分问题。本文通过学习探究得出了利用变限积分证明函数不等式的四种方法，该方法简单明了，值得与同 行交流探讨。 关键词：变限积分，函数，不等式，证明 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号：９４０４２一（２０１５）０３—００１６—０２ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ Ｐｒｏｏｆ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｌｉｍｉｔ Ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｊｉ Ｙａｏｗｕ （Ｘｉ ａｌｌ Ｒａｉｌｗａｙ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｘｉ ａｎ，Ｓｈａａｘｉ７１Ｏ０１６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｌｉｍｉｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｒ ａ ｐａｒｔ．Ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｌｉｍｉｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ，ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｓ ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ｔｏ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｐｒｏｂ— ｌｅｍ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｆｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｒｅ ｏｂ。 ｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｓ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｂｅ ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｃｌｅａｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｌｉｍｉｔ Ｉｎｔｅｇｒａｌ；Ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；Ｐｒｏｏｆ 利用导数证明函数不等式，常用的方法有：用 微分中值定理，用函数的单调性，用函数的最大 （小）值，用曲线的凹凸性定义等。本文主要说明用 ）ｄ ≤ ｇ（ ） 例１．１证明 １＋ ＜Ｉｎ（１＋ ）＜ （ ＞０）． 变限积分表示不等式中的函数或其中一部分，可以 将不等式证明问题转化为定积分的计算和比较等 问题。 证明 当 ＞。时， ｛ ＜ｒ１ ＜１，则在 ［０， ］上由定积分的可比性质得： （ ＞０） １ 用积分的可比性质证明 定积分的可比性质：如果在区间［ａ，ｂ］上 ） ≤ｇ（ ），则 积分得：ｉ．－ ＜ｌｎ（１＋ ）＜ （ ＞０） 基金项目：职业院校高等数学课程改革的质量标准与评价研究（项目编号：ＸＴＺＹ１４Ｊ１４） 收稿日期：２０１５—０５—１３ 作者简介：吉耀武（１９６５一），男，河南温县人，院基础部数学教研室教授。 吉耀武：变限积分证明函数不等式的探究 １７ 例１．２ 证明 １＋— ＞ （ ＞０）． ＝ｌｎ（１＋ｔ ）Ｉ ＝Ｉｎ（１＋ ） 故 ２ｘａｒｃｔａｎｘ≥Ｉｎ（１十 ）， ∈（一∞，＋∞）． 证明 不等式变形为： ＞ （ ＞０） —ｌ＜ 例３．２ 证明 ａｒｃｔａｎｘ＋ 证明 将原不等式变形为： 当 ＞０时，— １２￣／１＋ｔ＝＝＜÷， 则在［ｏ， ］上由定 要一ａｒｃｔａｎ ＜ 积分的可比性质得： ｉ 因为号一ｃｔａ… 南 厂 １。 １ 积分得 一１＜ １，故原不等式得证。 ｔ Ｉ 所以，原不等式成立． ２ 用积分的中值定理证明 ４ 用柯西一施瓦茨不等式证明 积分甲但定埋：叟口呆凼致－，（ 征刚ＩＸ＿１日Ｊ ｌ ａ，ｂ Ｊ 上连续，则在区间［ａ，ｂ］上至少存在一点 ，使下式 柯西一施瓦茨不等式： 成立： 若，（ ），ｇ（ ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则 ，０ Ｊ ）ｄｘ＝ ）（ｂ一口） （口≤ ≤ｂ） 【 砒㈤ｄ 】 ≤ ㈤ｄ （ ）ｄｘ ｎ 例２．１ 用积分中值定理证明例１ 特殊地，当ｇ（ ）＝１时，有［ｆ ） ］ ≤（６一 证明ｌｎ（１＋ ）＝Ｊｃ １ ｄ ＝南（０＜ ＜ ） ｏ）Ｊ （ ）ｄｘ 因为０＜ ＜ ，于是 １＿＜ ＜１，所以 例４．１ 证明（１＋ｘ）ｌｎ （１＋ ）＜ ∈（０，１） ＜ｒ ＜ ，原不等式得证。 证明 将不等式变形为Ｉｎ＝（１＋ ）＜ ，＿ ． 例２．２证明ｌｎ（１＋÷）＞ｒ （ ＞０） 因为 证明ｌｎ（１＋÷）＝ｆｄｘ ¨ １ ｄ￡＝ １（ ＜ ＜ Ｉｎ２（ ＝Ｉｆｏｘ ｄ 】 ＜ （ ） ｄｔ ＝ 因为 ＜ ＜１＋ ，于是 ＞ｒ １ １ Ｉ ０ ，故不等式 一 ｌ＋ ｌｔ ｌ 。 １ ＋ 成立。 所以 （１＋ ）Ｉｎ （１＋戈）＜ ∈（０，１） ３ 用积分公式进行放缩证明 构造变限积分，将函数不等式的证明转换为定 积分问题。通过学习探究得出了利用变限积分证明 将不等式中的某一函数表示成变限积分，并对 函数不等式的上述方法，这四种证明方法简单明 被积函数进行放缩，然后转化为积分计算，可证明 了，值得与同行交流探讨。 函数不等式。 例３．１ 证明 ２ｘａｒｃｔａｎｘ≥ｌｎ（１＋ ） 参考文献 ∈（一∞，＋∞） 证明 因为不等式两端都是偶函数，所以只要 ［１］ 同济大学数学教研室．高等数学（上册第四版）［Ｍ］． 证明［０，＋∞）上成立即可． 北京：高等教育出版社，１９９６． ２ｘａｒｃｔａｎｘ＝２Ｘｆｏ 南 ｄ ［２］徐兵．高等数学证明题５００例解析［Ｍ］．北京：高等 教育出版社，２００７． ＝Ｊ［ ｄ（１ ） （责任编辑：孙鸿）