２０１８年第１Ｏ期总第３９５期 数理化解题研究 嫩＝ “平面向 量”高考考点题型归类析与练 杜红全 （甘肃省康县教育局教研室摘７４６５００） 要：平面向量具有几何和代数形式双重性，是中学数学知识网络的重要交汇点，也是历年高考命题的 重点，通过“平面向量”高考考点题型归类解析，希望对高三备考起到抛砖引玉的作用． 关键词：平面向量；高考考点；题型；归类解析 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—０３３３（２０１８）１０—００３５—０２ 平面向量由于具有几何形式和代数形式双重身份， 所以它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极 本题要熟记两向量平行的充要条件的坐标表示． 其丰富的实际背景，故成为新高考命题的良好的载体．向 量基本概念、向量基本运算等基础问题，一般以选择题、 填空题的形式出现，而向量与其他知识的综合问题，通常 三、平面向量的垂直 例３ （２０１７全国Ｉ，文１３）设向量ａ＝（一１，２），ｂ＝ （ｍ，１），若向量ａ＋ｂ与口垂直，则ｍ＝——． 解析因为ａ＝（一１，２），ｂ＝（ｍ，１），所以ａ＋ｂ＝ （一１，２）＋（ｍ，１）＝（ｍ～１，３）．又因为向量ａ＋ｂ与ａ垂 直，所以（ａ＋ｂ）·ａ＝（，ｎ一１）×（一１）＋３ Ｘ ２＝一，札＋７ ＝以解答题的形式出现．纵观近几年的高考题，发现考点题 型有以下几个方面，以便同学们在复习时参考． 一、平面向量的线性运算 ）． Ｂ． ０，解得ｍ＝７．故应填７． 例１ （２０１５新课标全国Ｉ，理７）设Ｄ为ＡＡＢＣ所在 点评本题考查了平面向量的垂直的充要条件、平 平面内一点，ＢＣ＝３皿，则（ Ａ．Ａ—Ｄ４－－ ＊＝一 ＋ 面向量的坐标运算．平面向量的垂直是高考考查的重点， ４－－＊ ＝ 一 应从代数和几何的角度加强训练，向量垂直问题主要表 现为利用垂直关系求问题中的参量． ｃ．Ａ—Ｄ＝ ４－－ ＊＋ Ｄ．Ａ—Ｄ４－－ ＊＝ 一 四、平面向量的基本定理 例４（２０１３江苏，文１０理１０）设Ｄ，Ｅ分别是ＡＡＢＣ 解析．．）：一— ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ＝ＡＣ＋÷ＢＣ＝ＡＣ＋÷（ＡＣ一 — —— — — Ｉ— ——＋ Ｉ—— ＋ ４－－－ ＊，故选Ａ． 的边ＡＢ，曰ｃ上的点，ＡＤ＝ Ｂ，ＢＥ＝÷ＢＣ，若埘＝Ａ。ＡＢ ＋Ａ：Ａ （Ａ。，Ａ 为实数），则Ａ。＋Ａ 的值为解析． ——点评本题考查了平面向量的加减运算．在ＡＡＢＣ 中，则有 ： 一 ，这是平面向量减法法则，熟练掌握 这一结论有助于快速解题． 因为Ｄ，Ｅ分别是ＡＡＢＣ的边ＡＢ，ＢＣ上的点， 所以一ＤＥ＝一ＤＢ＋一ＢＥ＝÷ ＋ 赢： 十 （ 一 ）＝一 －４－ ＂故应填÷ 点评减法法则． 二、平面向量的平行 例２ （２０１７山东，文１１）已知向量ａ＝（２，６），ｂ： ＋了２ Ａ－－ ＊所以Ａ ＋Ａ：＝一 ＋ ＝ ，（一１，Ａ），若ａ／／ｂ，贝０ Ａ＝——． 解析点评因为ａ／／ｂ，所以２Ａ＝６×（一１），解得Ａ＝一 本题考查了向量平行、向量的坐标运算．解答 本题考查了平面向量的加减运算、平面向量 ３．故填一３． 的基本定理．解答本题的关键是熟练掌握平面向量的加 收稿日期：２０１８一ｏｌ—Ｏ１ 作者简介：杜红全（１９６９．９一），男，甘肃省陇南人，中学高级教师，从事高中数学教学研究． 一３５— ＝ 数理化解题研究 五、平面向量的坐标运算 例５ （２０１５全国Ｉ，文２）已知点Ａ（０，１），Ｂ（３，２）， ２０１８年第１０期总第３９５期 ６０。，ｌａ ｌ＝２，ｌ Ｉ＝１，贝４ ｌ口＋２６ Ｉ＝ ． 解析 Ｉ口＋２６ ｌ＝ Ｉａ＋２６ Ｉ ＝ｖ ＋４ａ·ｂ＋４ ｂ 厂—————— —～ ＝一 ０—— 向量Ａｃ：（一４，一３），贝０向量曰Ｃ＝（ Ａ．（一７，一４） Ｂ．（７，４） ）． ＾Ｖ ／４＋４×２×寺＋４＝２／３． － 点评本题考查了平面向量的夹角、平面向量的模 Ｃ．（一１，４）Ｄ．（１，４） 等知识．解答本题的关键就是正确地使用模长公式，另外 解析 由已知可得ＡＢ＝（３，—— １），ＢＣ＝ＡＣ—ＡＢ＝（一４，————｝—— ——＿＇ ３）一（３，１）＝（一７，一４）．故选Ａ． 点评本题考查了平面向量的坐标运算．解答本题 的关键是熟记：若点Ａ（ 。，Ｙ１）， （ ：，Ｙ２），则 ：（ 一 ｌ，Ｙ２一Ｙ１）；若向量ａ＝（ ｌ，Ｙ１），ｂ＝（ ２，Ｙ２），则ａ± ＝ （ １± ２，Ｙｌ±），２）． 六、平面向量的数量积 例６（２０１６天津，文７理７）已知ＡＡＢＣ是边长为１ 的等边三角形，点Ｄ、Ｅ分别是边ＡＢ，ＢＣ的中点，连接ＤＥ 并延长到点Ｆ，使得ＤＥ：２ＥＦ，则 ．赢的值为（ ）． Ａ．一÷Ｂ． １ ｃ．÷Ｄ． ８ 解析 由ＤＥ＝２ＥＦ可知点Ｅ为ＤＦ的一个三等分 点．．ＡＦ·ＢＣ＝（ＡＤ＋ＤＦ）·ＢＣ＝（０—＿＋—＿＋——｝—＿＋ 一ＡＢ＋ 一ＤＥ）·ＢＣ＝ ｌ— — —＿＋ （Ｔ Ａ一Ｂ＋ ３ ＋净）·蔚＝（ ＋ ３ ）·一ＢＣ＝ ５ ×ｌ×１×ｃ。ｓ １２０。＋÷ ＝寺．故选Ｂ． 点评本题考查了平面向量的线性运算及平面向量 的数量积运算．在遇到向量的模的问题时，一般是平方 处理． 七、平面向量的夹角 例７ （２０１５全国Ⅲ，文３理３）已知向量 ： （ ，譬），赢＝（譬， １）则 ＡＢｃ＝ｃ，． Ａ．３０。 Ｂ．４５。 Ｃ．６０。 Ｄ．１２０。 一一 解析因为ｅｏｓＬＡＢＣ＝ ＝ ４ ４—２所 以ＬＡＢＣ＝３０。．故选Ａ． 点评本题考查了平面向量的夹角计算．解答本题 的关键是熟记向量的夹角公式． 八、平面向量的模 例８ （２０１７全国Ｉ，理１３）已知向量ａ，ｂ的夹角为 一３６— 可以用数形结合的思想来解本题． 九、向量的综合问题 例９（２０１７全国Ⅱ，文２０理２０）设０为坐标原点， ２ 动点Ｍ在椭圆ｃ： ＋Ｙ ＝１上，过Ｍ做 轴的垂线，垂足 二 为Ｎ， Ｐ满昆ＮＰ：０２ＮＭ． （１）求点Ｐ的轨迹方程； （２）设点Ｑ在直线 ＝一３上，且ＯＰ ·ＰＯ＝１，证明： 过点Ｐ且垂直于ｏｑ的直线ｚ过ｃ的左焦点Ｆ． 解析 （１）设Ｐ（ ，ｙ），Ｍ（ 。，ｙ。），则Ⅳ（ 。，０），ＮＰ＝ （ — ｙ），翮＝（０，Ｙｏ）．由 ＝ 得 ＝ ， ＝譬 ２ ２ ，Ｙ．因为点Ｍ（ 。，Ｙｏ）在椭圆ｃ上，所以 ＋ ＝１．因此点 Ｐ的轨迹方程是 ＋Ｙ ＝２． （２）证明：由题意知Ｆ（一１，０）．设Ｑ（一３，ｔ），Ｐ（ｍ， ｎ），贝０ＯＱ＝（一３， ），ＰＦ＝（一１一ｍ，一ｎ），ｏｑ·ＰＦ＝３＋ ３ｍ—ｔｎ，ＯＰ＝（ｍ，ｎ），Ｐｐ＝（一３一ｍ，ｔ—ｎ）．由ＯＰ·Ｐｐ＝ １得一３ｍ—ｍ ＋ ｎ—ｎ ＝１，又由（Ｉ）知ｍ 十ｎ ＝２，故３ ＋３ｍ—ｔｎ＝０． 所以０ ·ＰＦ ＝０，即ＤＱ上 ．又过点Ｐ存在唯一直 线垂直于ｏｏ，所以过点Ｐ且垂直于ｏＧ的直线 过点Ｃ 的左焦点 点评本题考查了圆的方程、椭圆的性质、直线与椭 圆的位置关系、直线恒过定点问题．一般地定点问题有以 下两种常见的解法：（１）假设定点坐标，根据题意选择参 数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无 关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的 解为坐标的点即所求定点；（２）从特殊位置入手，找出定 点，再证明该点适合题意．本题还可以用极坐标求解． 参考文献： ［１］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课 程教材研究开发中心．普通高中课程标准试验教科书（必 修）数学４（Ａ版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１４． ［责任编辑：杨惠民］
