初中数学：垂径定理练习题
一、选择题
1．如图K－21－1,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,则下列结论不一定成立的是( )
图K－21－1
︵︵
A．CM＝DM B.CB＝DB C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
2．如图K－21－2,⊙O的半径为5,AB为弦,半径OC⊥AB,垂足为E,若OE＝3,则AB的长是( )
图K－21－2
A．4 B．6 C．8 D．10
3．绍兴是著名的桥乡,如图K－21－3是石拱桥的示意图,桥顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径
OC为5 m,则水面宽AB为()
图K－21－3
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
4．如图K－21－4,⊙O的半径OA＝6,以A为圆心,OA长为半径的弧交⊙O于点B,C,则BC的长为( )
1
图K－21－4
A．6 3 B．6 2 C．3 3 D．3 2
5．如图K－21－5,正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上,⊙O的直径为2分米,若在这个圆内随意抛一粒豆子,则豆子落在正方形ABCD内的概率是()
图K－21－5
A.
2π1 B. C. D．2π π92π
6．如图K－21－6,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝3,BC＝4,以点C为圆心、CA长为半径的圆与
AB交于点D,则AD的长为( )
图K－21－6
921185A. B. C. D. 5552
7．已知⊙O的直径CD＝10 cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB＝8 cm,则AC的长为() A．2 5 cm B．4 5 cm
C．2 5 cm或4 5 cm D．2 5 cm或4 3 cm 二、填空题
8．过⊙O内一点M的最长的弦长为10 cm,最短的弦长为8 cm,那么OM的长为________． 9．如图K－21－7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限内,⊙P与x轴交于点
O,A,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为________．
图K－21－7
1
10.如图K－21－8所示,AB,AC,BC都是⊙O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,如果MN＝3,那么BC＝________．
图K－21－8
11．如图K－21－9,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为________.
图K－21－9
12．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,如图K－21－10是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB＝40 cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm,则该脸盆的半径为________cm.
图K－21－10
三、解答题
13．如图K－21－11,已知AB是圆O的直径,弦CD交AB于点E,∠CEA＝30°,OE＝4,DE＝5 3,求弦CD的长及圆O的半径.
图K－21－11
1
14．如图K－21－12,已知O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A,B和C,D.
求证：(1)∠OBA＝∠OCD；
(2)AB＝CD.
图K－21－12
15．一个半圆形桥洞截面如图K－21－13所示,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥
AB,且CD＝16 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE＝.
(1)求半径OD；
(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干？
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图K－21－13
探索存在题如图K－21－14,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB＝90°,C是弧AB上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当BC＝6时,求线段OD的长．
(2)在△DOE中,是否存在长度保持不变的边？如果存在,请指出并求其长度；如果不存在,请说明理由．
1
图K－21－14
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详解详析
【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] D
2．[解析] C 连接OA,如图． ∵OC⊥AB,OA＝5,OE＝3, ∴AE＝OA2－OE2＝52－32＝4, ∴AB＝2AE＝8.故选C.
3．[解析] D 连接OA,∵桥拱半径OC为5 m,∴OA＝5 m．∵CD＝8 m,∴OD＝8－5＝3(m),∴AD＝OA2－OD2＝4 m,∴AB＝2AD＝2×4＝8(m)．
4．[解析] A 设OA与BC相交于点D,连接AB,OB.∵AB＝OA＝OB＝6,∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得,OA垂直平分BC,∴OD＝AD＝3,
在Rt△BOD中,由勾股定理得BD＝62－32＝3 3,∴BC＝6 3.故选A. 5．[答案] A
6．[解析] C ∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝3,BC＝4, ∴AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5. 过点C作CM⊥AB,交AB于点M, 则M为AD的中点．
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∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CM,且AC＝3,BC＝4,AB＝5,∴CM＝.
225在Rt△ACM中,根据勾股定理,得AC2＝AM2＋CM2,即9＝AM2＋(918
解得AM＝,∴AD＝2AM＝.故选C.
55
122
), 5
1
11
7．[解析] C 连接AC,AO.∵⊙O的直径CD＝10 cm,AB⊥CD,AB＝8 cm,∴AM＝AB＝×8＝
224(cm),OD＝OC＝5 cm.当点C的位置如图(1)所示时,∵OA＝5 cm,AM＝4 cm,CD⊥AB,∴OM＝OA2－AM2＝3 cm,∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm),∴AC＝AM2＋CM2＝42＋82＝4 5(cm)．当点C的位置如图(2)所示时,同理可得OM＝3 cm,∵OC＝5 cm,∴MC＝5－3＝2(cm)．在Rt△AMC中,AC＝AM2＋MC2＝42＋22＝2 5(cm)．综上所述,AC的长为4 5 cm或2 5 cm.故选C.
8．[答案] 3 cm
[解析] 由题意作图,如图所示,AB为过点M最长的弦,CD为过点M最短的弦,连接OD, 则OM＝OD2－DM2＝52－42＝3(cm)． 9．[答案] (3,2)
[解析] 过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP. ∵A(6,0),PD⊥OA,∴OD＝3.
在Rt△OPD中,∵OP＝13,OD＝3,∴PD＝OP2－OD2＝（13）2－32＝2,∴P(3,2)． 10．[答案] 6
[解析] 由AB,AC都是⊙O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,根据垂径定理可知M,N分别为AB,AC的中点,∴
BC＝2MN＝6.
11．[答案] 2 3
[解析] 过点O作OD⊥AB于点D,连接OA.
1
∵OD⊥AB,∴AD＝BD.由折叠的性质可知OD＝OA＝1,在Rt△OAD中,AD＝OA2－OD2＝22－12＝
23,∴AB＝2AD＝2 3.故答案为2 3.
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12．[答案] 25
[解析] 如图,设圆的圆心为O,连接OA,OC,OC与AB交于点D,设⊙O的半径为R cm.由题意得OC1
⊥AB,∴AD＝DB＝AB＝20 cm.在Rt△AOD中,∵∠ADO＝90°,∴OA2＝OD2＋AD2,即R2＝202＋(R－10)2,
2解得R＝25.故答案为25.
13．解：如图,过点O作OM⊥CD于点M,连接OD, ∵∠CEA＝30°,∴∠OEM＝∠CEA＝30°. 在Rt△OEM中,∵OE＝4,
∴OM＝12OE＝2,EM＝OE·cos30°＝4×3
2＝2 3.
∵DE＝5 3, ∴DM＝DE－EM＝3 3.
∵OM过圆心,OM⊥CD,∴CD＝2DM＝6 3. ∵在Rt△DOM中,OM＝2,DM＝3 3, ∴OD＝OM2＋DM2＝22＋（3 3）2＝31. 故弦CD的长为6 3,⊙O的半径为31.
14．证明：(1)过点O作OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为M,N. ∵PO平分∠EPF,OM⊥AB,ON⊥CD, ∴OM＝ON.
在Rt△OMB和Rt△ONC中,
OM＝ON,OB＝OC,
1
∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL), ∴∠OBA＝∠OCD.
(2)由(1)得Rt△OMB≌Rt△ONC,∴BM＝CN. ∵OM⊥AB,ON⊥CD,
∴AB＝2BM,CD＝2CN,∴AB＝CD.
15．[解析] (1)由OE⊥CD,根据垂径定理求出DE,解Rt△DOE可求半径OD； (2)在Rt△DOE中,由勾股定理求出OE,再用OE除以水面下降的速度,即可求出时间． 解：(1)∵OE⊥CD于点E,CD＝16 m, 1
∴ED＝CD＝8 m.
2在Rt△DOE中, ∵sin∠DOE＝
ED4
＝,∴OD＝10 m. OD5
(2)在Rt△DOE中,OE＝OD2－ED2＝102－82＝6(m),6÷0.5＝12(时),故水面以每小时0.5 m的速度下降,经过12小时才能将水排干．
[素养提升]
1
[解析] (1)根据垂径定理可得BD＝BC,然后只需利用勾股定理即可求出线段OD的长；(2)连接
2
AB,如图,利用勾股定理可求出AB的长,根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点,根据三1
角形中位线定理就可得到DE＝AB,即DE的长度保持不变．
2
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解：(1)∵OD⊥BC,∴BD＝BC＝×6＝3.
22
在Rt△ODB中,OB＝5,BD＝3, ∴OD＝OB2－BD2＝4, 即线段OD的长为4.
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(2)存在,DE的长度保持不变． 连接AB,如图,
∵∠AOB＝90°,OA＝OB＝5, ∴AB＝OB2＋OA2＝5 2. ∵OD⊥BC,OE⊥AC,
∴D,E分别是线段BC和AC的中点, ∴DE是△CBA的中位线, ∴DE＝15 2
2AB＝2.
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