word版15浙江高职数学真题(含详解)

数学试卷

本试题卷共三大题．全卷共4页．满分120分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．所有试题均需在答题纸上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分，在试卷和草稿纸上作答无效．

2．答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上．

3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上．

4．在答题纸上作答，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 一、单项选择题(本大题共18小题，每小题2分，共36分)

在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。错涂、多涂或未涂均无分．

2

1．已知集合M＝{x|x＋x＋3＝0}，则下列结论正确的是( ) A．集合M有2个元素 B．集合M有2个相同元素 C．集合M有1个元素 D．集合M为空集 2．命题甲“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数f(x)＝

lg（x－2）

的定义域是( ) x

A.[3，＋∞) B.(3，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)

4．下列函数在定义域上为单调递减的函数是( ) 3

A．f(x)＝()x B．f(x)＝lnx

2 C．f(x)＝2－x D．f(x)＝sinx

π

5．已知角α＝，将其终边绕着端点按顺时针方向旋转2周得到角β，则β＝( )

49π17π A. B. 4415π17π C．－ D．－

44

6．已知直线x＋y－4＝0与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝17，则直线与圆的位置关系是( )

A．相切 B．相离

C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心

7．若β∈(0，π)，则方程x2＋y2sinβ＝1所表示的曲线是( ) A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．椭圆或圆 8．在下列命题中，真命题的个数是( )

①a∥α，b⊥α⇒a⊥b ②a∥α，b∥α⇒a∥b ③a⊥α，b⊥α⇒a∥b ④a⊥b，b⊂α⇒a⊥α A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．若cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝2

6，则cos2θ＝( )

A.

23 B.77343 C.6 D.6

10．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋„＋an＝2n－1，则a21＋a22＋„＋a2

n＝( )

A．(2n－1)2 B.13(2n

－1)2

C．4n－1 D.1n

3(4－1)

11．下列计算结果不正确的．．．．

是( ) A．C410－C49＝C39 B．P1010＝P910

C．0！＝1

D．C58＝

P588！

12．直线3x＋y＋2015＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π2π5π3 C.3 D.6 13．二次函数f(x)＝ax2＋4x－3的最大值为5，则f(3)＝( ) A．2 B．－2 C.992 D．－2 14．已知sinα＝3

5，且α∈(π2，π)，则tan(α＋π4)＝( )

A．－7 B．7 C．－11

7 D.7

15．在△ABC中，若三角之比A∶B∶C＝1∶1∶4，则sinA∶sinB∶sinC＝( ) A．1∶1∶4 B．1∶1∶3

C．1∶1∶2 D．1∶1∶3

16．已知(x－2)(x＋2)＋y2＝0，则3xy的最小值为( ) A．－2 B．2

C．－6 D. －62

17．下列各点中与点M(－1，0)关于点H(2，3)中心对称的是( ) A．(0，1) B．(5，6) C．(－1，1) D．(－5，6)

18．焦点在x轴上，焦距为8的双曲线，其离心率e＝2.则双曲线的标准方程为( x2y2x2 A.y2

4－12＝1 B.12－4＝1

C.y24－x2y2x2

12＝1 D.12－4

＝1

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

19．不等式|2x－7|>7的解集为________．(用区间表示)

20．若tanα＝b

a

(a≠0)，则acos2α＋bsin2α＝________．

) 21．已知AB＝(0，－7)，则AB3BA＝________．

22．当且仅当x∈________时，三个数4，x－1，9成等比数列．

23．在“剪刀、石头、布”游戏中，两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率P＝________．

23

24．二项式(x2＋3)12展开式的中间一项为________．

x

25．体对角线为3cm的正方体，其体积V＝________．

26．如图所示，在所给的直角坐标系中，半径为2，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为________．

第26题图

三、解答题(本大题共8小题，共60分)

解答应写出文字说明及演算步骤

27．(本题满分7分)平面内，过点A(－1，n), B(n，6)的直线与直线x＋2y－1＝0垂直，求n的值．

28．(本题满分7分)已知函数f(x)＝

x2－1，

3－2x，(1)f(－1

2); (2分)

(2)f(2－

0.5); (3分) (3)f(t－1); (2分)

x≥0x<0，求值：

29.(本题满分7分)某班数学课外兴趣小组共有15人，9名男生，6名女生，其中1名为组长，现要选3人参加数学竞赛，分别求出满足下列各条件的不同选法数．

(1)要求组长必须参加； (2分)

(2)要求选出的3人中至少有1名女生； (2分)

(3)要求选出的3人中至少有1名女生和1名男生. (3分)

30．(本题满分9分)根据表中所给的数字填空格，要求每行的数成等差数列，每列的数成等比数列. 求：

(1)a, b, c 的值； (3分)

(2)按要求填满其余各空格中的数； (3分) (3)表格中各数之和．(3分)

第30题图

2

31.(本题满分6分)已知f(x)＝3sin(ax－π)＋4cos(ax－3π)＋2(a≠0)的最小正周期为. 3(1)求a的值； (4分) (2)求f(x)的值域. (2分)

π3

32．(本题满分7分)在△ABC中，若BC＝1，∠B＝，S△ABC＝，求角C.

32

33.(本题满分7分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AD1C把正方体分成两部分. 求：

(1)直线C1B与平面AD1C所成的角； (2分)

(2)平面C1D与平面AD1C所成二面角的平面角的余弦值； (3分) (3)两部分中体积大的部分的体积．(2分)

第33题图

34.(本题满分10分)已知抛物线x2＝4y，斜率为k的直线L, 过其焦点F且与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求直线L的一般式方程； (3分) (2)求△AOB的面积S；(4分)

(3)由(2)判断，当直线斜率k 为何值时△AOB的面积S有最大值；当直线斜率k为何值时△AOB的面积S有最小值．(3分)

第34题图

2015年浙江省高等职业技术教育招生考试

数学试卷参及评分标准

一、单项选择题(本大题共18小题，每小题2分，共36分)

1.【答案】 D 【解析】 x2＋x＋3＝0，其中Δ＝1－4×1×3＝－11<0从而方程无解，即集合M为空集．∴答案选D.

2.【答案】 C 【解析】 一方面，由ax≠0，

3.【答案】 A 【解析】 由lg（x－2）≥0，得x≥3，答案选A.

x－2>0.

4.【答案】 C 【解析】 A，B为单调递增函数，D项中sinx为周期函数．∴答案

选C.

π15

5.【答案】 C 【解析】 由题意β＝α－2×2π＝－4π＝－π，答案选C.

44 6.【答案】 B 【解析】 圆心到直线的距离d＝

|2－4－4|

12＋12＝32>17＝半径，∴直

线与圆相离，故选B.

7.【答案】 D 【解析】 ∵β∈(0，π)，∴sinβ∈(0，1]，当sinβ＝1时，得x2＋y2＝1它表示圆；当sinβ≠1时，由sinβ>0∴此时它表示的是椭圆．答案选D.

8.【答案】 C 【解析】 ②a，b有可能相交，④a有可能在α内，①③正确．答案选C.

πππππ

9.【答案】 A 【解析】 ∵cos(－θ)cos(＋θ)＝(coscosθ＋sinsinθ)·(cos

44444π111122

cosθ－sinsinθ)＝cos2θ－sin2θ＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝，∴cos2θ＝.故答

4222263案选A.

a1（1－qn）n

10.【答案】 D 【解析】 ∵a1＋a2＋„＋an＝＝2－1，∴q＝2，a1＝1，

1－q1n22222

又a2q2＝4为公比的等比数列，∴a21＋a2＋„＋an是以a1＝1为首项，1＋a2＋„＋an＝(4－1)，3故选D.

11.【答案】 D 【解析】

55

P85P8C8＝5＝，∴答案选

P55！

D.

12.【答案】 C 【解析】 直线3x＋y＋2015＝0转化为y＝－3x－2015，k＝tan

θ ＝－3，∴θ＝3.

4×a×（－3）－42

13.【答案】 C 【解析】 函数f(x)的最大值为＝5，解得a＝－

4×a119

，即f(x)＝－x2＋4x－3∴f(3)＝.答案选C. 222

2π

π343

14.【答案】 D 【解析】 ∵sinα＝，且α∈(，π)∴cosα＝－，tanα＝－，52π

tanα＋tan

4π1

tan(α＋)＝＝.答案选D.

4π7

1－tanα·tan

4

15.【答案】 B 【解析】 ∵三角之比A∶B∶C＝1∶1∶4，且A＋B＋C＝π，∴Aπ2π

＝B＝，C＝.故sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶3.答案选B.

63

16.【答案】 C 【解析】 ∵4＝(x－2)(x＋2)＋y2＝x2＋y2≥2|xy|，即2|xy|≤4，3|xy|≤6，得3xy≤－6或3xy≥6，故3xy的最小值为－6，答案选C.

17.【答案】 B 【解析】 设P(x，y)与点M(－1，0)关于点H(2，3)中心对称，则y＋0＝2，＝3.∴x＝5，y＝6.答案选B.

2

c

18.【答案】 A 【解析】 ∵双曲线的焦距为8，∴c＝4，又离心率为e＝＝2，∴a

ax2y2

＝2，即得b＝c－a＝12，故双曲线的标准方程为－＝1，答案选A.

412

2

2

2

x－12

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

19.【答案】 (－∞，0)∪(7，＋∞) 【解析】 ∵|2x－7|>7∴2x－7>7或2x－7<－7，即x<0或x>7，故解集为(－∞，0)∪(7，＋∞)

bba

20.【答案】 a 【解析】 ∵tanα＝，∴sinα＝2，cosα＝，代入

aa＋b2a2＋b2即可解得acos2α＋bsin2α＝a(cos2α－sin2α)＋2bsinαcosα＝a.

→→→→ 21.【答案】 28 【解析】 ∵BA＝－AB＝(0，7)，∴AB－3BA＝|（0，－28）|＝

||

28.

22.【答案】 {－5，7} 【解析】 ∵三个数4，x－1，9成等比数列，∴有(x－1)2

＝4×9＝36，解得x＝－5或x＝7.

23.【答案】

2

【解析】 两个人分别出“石头”与“剪刀”有两种可能，且各自9

1112

出“石头”与“剪刀”的概率为，P＝2××＝.

3339

5

24.【答案】 26C6 ∵展开式的中间一项为第7项，∴中间一项为26C612x 【解析】12－

x5.

－

25.【答案】 3 cm3 【解析】 设正方体的边长为a，∵体对角线为3cm，∴(2a)2

＋a＝3，得a＝3，∴体积V＝3 cm3.

26.【答案】 (x＋2)2＋(y＋2)2＝4 【解析】 因为圆与第三象限的x，y轴相切，所以圆心为(－2，－2)，半径为2，故圆的标准方程为(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.

三、解答题(本大题共8小题，共60分)

2

2

3232

1

27.【解】因为直线x＋2y－1＝0的斜率K1＝－(1分)

2 所以由题意得过点A、B的直线斜率为2(2分) 6－n

由斜率公式得：2＝(2分)

n－（－1）4

解得n＝ (2分)

3

111

28.【解】(1)∵－<0，f(－)＝3－2×(－)＝4(2分)

222 (2)∵2 ∴f(2

－0.5

112

＝2－＝＝>0(1分)

222

－0.5

－0.5

)＝(2

11－

)2－1＝21－1＝－1＝－ (2分)

22

(3)当t－1≥0时，即t≥1时，f(t－1)＝(t－1)2－1＝t2－2t (1分)

当t－1<0时，即t<1时，f(t－1)＝3－2(t－1)＝5－2t (1分)

29.【解】(1)组长必须参加，只要从剩下的14人中任取2人即可完成事件，选法总数14×132

为 C14＝＝91种 (2分)

2×1

(2)3人中至少有1名女生分为三类选法：1女2男，2女1男，3女0男，选法总数为：

2213

C16C9＋C6C9＋C6＝216＋135＋20＝371种(2分)

(3)3人中至少有1名女生和1名男生分为2类选法：1女2男，2女1男，选法总数为：121C6C9＋C26C9＝216＋135＝351 种(3分)

1

30.【解】(1)因为每列的数成等比数列，即 2，1，a 成等比数列，所以a ＝(1分)

23

又因为每行的数成等差数列，即可求出第二列第五行的数字为，同理可求出第二列第

235

四行的数字为，依次可求得b ＝ (1分)

416

3

c ＝ (1分)

16 (2)

1 161 81 41 21 3 323 163 83 43 21 81 4a 1 2 5 32b 5 85 45 2c 3 83 43 23 (答全对得3分，每行或每列答对得0.5分) (3)由(1)(2)可得：

13153205

第一行各数和为：＋＋＋＋＝＝，

163283216328131535

第二行各数和为：＋＋＋＋＝，

811684

5

同样的方法可分别求得第三行各数之和为，第四行各数之和为5，第五行各数之和为

2555115

10. 所以各数之和为 10＋5＋＋＋＝ (3分)

2488

31.【解】(1)f(x)＝3sin(ax－π)＋4cos(ax－3π)＋2 ＝－3sinax－4cosax＋2 ＝5sin(ax＋β)＋2 (2分) 2π2

由题意有＝ (1分)

3a 解得：a＝±3π(1分)

(2)因为sin(ax＋β)∈[－1，1](1分)

所以f(x)的值域为：f(x)∈[－3，7](1分)

1

32.【解】∵ S△ABC＝BC×AB×sinB⇒AB＝2(1分)

2 由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2BC×AB×cosB(1分)

∴ AC＝3 (1分)

∵BC2＋AC2＝AB2(1分)

∴△ABC是直角三角形 (1分) ∴ ∠C＝90°(2分)

33.【解】(1)因为直线C1B∥AD1，

且AD1⊂平面AD1C，推知直线C1B∥平面AD1C(1分) 所以直线C1B与平面AD1C所成的角为0°(1分)

(2)连接C1D，交C1D于E, 连接AE, 因为E是对角线交点，三角形ACD1是等边三角形，所以DE⊥CD1，AE⊥CD1，

所以∠AED是平面C1D与平面AD1C所成二面角的平面角(1分)

在三角形ADE中，DE＝

26a，AE＝a， 22

2a

DE23

所以 cos∠AED＝＝＝. (2分)

AE36

a2

(3)设两部分中体积大的部分体积为V1, 体积小的部分的体积为V2, 正方体体积为V，则a3

有V＝a，V2＝VA－D1DC＝(1分)

6

3

a353

所以所求部分的体积V1＝V－V2＝a－＝a(1分)

66

3

第33题图

34.【解】(1)由题意抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，因为直线L的斜率为k, 所以直线L的方程为y－1＝kx化为一般式即为：kx－y＋1＝0(3分)

2x＝4y ①

(2)联立方程得：， 将②代入①得：x2－4kx－4＝0，

kx－y＋1＝0 ②

x1＋x2＝4k， x1x2＝－4,

|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2 ＝1＋k2（4k）2＋16＝1＋k216k2＋16 ＝4(1＋k2) (2分)

又因为原点(0，0) 到直线kx－y＋1＝0的距离为：d＝

1

(1分) 1＋k2111

所以△AOB的面积S＝d|AB|＝××4(1＋k2)＝21＋k2(1分) 2221＋k (3)由(2)得x2－4kx－4＝0, Δ＝16k2＋16>0， ∴k∈R(1分) 因为S＝21＋k2，所以无论k取何值，面积S无最大值(1分) k＝0时，S＝2为最小值 (1分)