2020年上海市高三数学二模分类汇编：数列与极限

2，nN*，则数列{an}的各项和为 n(3)115（2020杨浦二模）. 若{an}是无穷等比数列，首项a1，公比q，则{an}各项的和

33S

5（2020宝山二模）. 已知无穷数列an6. （2020松江二模） 已知数列{an}的首项a11，且满足

an1an0（nN*），数列

12{an}的前n项和为Sn，则limSn n7（2020奉贤二模）. 在△ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是

a2a36，（2020嘉定二模）7. 设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a11，

则S6

8（2020奉贤二模）. 已知等差数列{an}的各项不为零，且a3、a13、a63成等比数列，则公比是

8（2020闵行二模）. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为 （结果用最简分数表示）

1,n1,2n8（2020金山二模）. 数列{an}的通项公式an，nN*，前n项和为Sn，则

1,n32nlimSn n8（2020崇明二模）. 已知数列{an}是无穷等比数列，其前n项和记为Sn，若a2a33，

3，则limSn

n28（2020长宁二模）. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a31，S714，则a5 a3a49（2020杨浦二模）. 数列{an}满足a11，且anan13n2对任意nN*均成立，则

a2020 （2020闵行二模）9. 已知直线l1:yx，斜率为q（0q1）的直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B0(0,a)，过B0作x轴的平行线，交l1于点A1，过A1作y轴的平行线，交l2于点B1， 再过B1作x轴的平行线交l1于点A2，，这样依次得线 段B0A1、A1B1、B1A2、A2B2、、Bn1An、AnBn，

记xn为点Bn的横坐标，则limxn

nur11（2020金山二模）. 我们把一系列向量ai(i1,2,,n)按次序排成一列，称为向量列，

uurururuur1记作{ai}，已知向量列{ai}满足a1(1,1)，an(xn,yn)(xn1yn1,xn1yn1)(n2)，

2uuuruurn2设n表示向量an1与an夹角，若bnn，对任意正整数n，不等式

111loga(12a)恒成立，则实数a的取值范围是 bn1bn2b2n12（2020浦东二模）. 已知数列{an}、{bn}满足a1b11，对任何正整数n均有

2222，bn1anbnan，设cn3n(an1anbnanbnbn11)，则数列{cn}的anbn前2020项之和为

14（2020青浦二模）. 我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

15（2020宝山二模）. 用数学归纳法证明135(1)n(2n1)(1)nn，nN*成立. 那么，“当n1时，命题成立”是“对nN*时，命题成立”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15（2020崇明二模）. 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai、ai1的矩形的周长（i1,2,），则“数列{An}为等差数列”的充要条件是（ ） A. {an}是等差数列

B. a1,a3,,a2n1,或a2,a4,,a2n,是等差数列 C. a1,a3,,a2n1,和a2,a4,,a2n,都是等差数列

D. a1,a3,,a2n1,和a2,a4,,a2n,都是等差数列，且公差相同

16（2020奉贤二模）. 已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，且公比q1，若

*存在数对(k,t)，k,tN，使得akbt，称这样的数对(k,t)为{an}与{bn}相关数对，则

这样的数对(k,t)最多有（ ）对

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

16（2020虹口二模）. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，首项a11，且2S2S43S3，

已知m,nN*，若存在正整数i、j（1ij），使得mai、mn、naj成等差数列，则mn的最小值为（ ）

A. 16 B. 12 C. 8 D. 6

16（2020杨浦二模）. 设{an}是2020项的实数数列，{an}中的每一项都不为零，{an}中任意连续11项an,an1,,an10的乘积是定值（n1,2,3,,2010），命题 ① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1； 的真假情况为（ ）

A. ①和②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ②是真命题，①是假命题 D. ①和②都是假命题 16（2020长宁二模）. 在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线

yx2、x轴以及直线x1所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区

间[0,1]平均分成n份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的坐上端点都在抛物线yx2上（如图），则当n时，这些小矩形面积之和的极限就是S，已知122232n2利用此方法计算出的由曲线y区域的面积为（ ） A.

1n(n1)(2n1)，6x、x轴以及直线x1所围成的曲边

6323 B. C. D. 32341[s,t]，则ts的最小值为（ ） Sn16（2020嘉定二模）. 设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn是6和an的等差中项，若对任意的nN*，都有3SnA.

2191 B. C. D. 32n2020a，16（2020徐汇二模）. 若数列{an}、{bn}的通项公式分别为an(1)(1)n2019bn2，且anbn对任意nN恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

n31A. [2,1) B. [2,) C. [1,) D. [1,1)

2221（2020闵行二模）. 已知数列{xn}，若对任意nN*，都有则称数列{xn}为“差增数列”.

2（1）试判断数列ann（nN*）是否为“差增数列”，并说明理由；

xnxn2xn1成立， 2（2）若数列{an}为“差增数列”，且anN*，a1a21，对于给定的正整数m， 当akm，项数k的最大值为20时，求m的所有可能取值的集合； （3）若数列{lgxn}为“差增数列”，（nN*，n2020）， 且lgx1lgx2lgx20200，证明：x1010x10111.

21（2020徐汇二模）. 设数列{an}（nN）中前两项a1、若对于每个正整数n3，a2给定，均存在正整数k（1kn1）使得an列”.

（1）若数列{an}（nN）为a11，a2an1an2Lank，则称数列{an}为“数

k1的等比数列，当n3时，试问： 2an与

an1an2是否相等，并说明数列{an}（nN）是否为“数列”； 2（2）讨论首项为a1、公差为d的等差数列{an}是否为“数列”，并说明理由； （3）已知数列{an}为“数列”，且a10 ，a21，记S(n,k)an1an2L

ank（n2，nN），其中正整数kn1，对于每个正整数n3，当正整数k分别取

1、2、、n1时，

S(n,k)的最大值记为Mn、最小值记为mn，设bnn(Mnmn)， k当正整数n满足3n2020时，比较bn与bn1的大小，并求出bn的最大值.

21（2020宝山二模）. 定义：{an}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意nN*，均有

ankan(ankan)，则称{an}是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列{an}的间隔数.

n（1）若ann(1)，{an}是不是近似递增数列，并说明理由；

（2）已知数列{an}的通项公式为an1a，其前n项的和为Sn，若2是近似递 n1(2)增数列{Sn}的间隔数，求a的取值范围； （3）已知an

21（2020金山二模）. 若无穷数列{an}满足：存在kN*，对任意的nn0（nN*），都有ankand（d为常数），则称{an}具有性质Q(k,n0,d).

（1）若无穷数列{an}具有性质Q(3,1,0)，且a11，a22，a33，求a2a3a4的值； （2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1c51，

nsinn，证明{an}是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数. 2b5c181，anbncn，判断{an}是否具有性质Q(k,n0,0)，并说明理由；

（3）设无穷数列{an}既具有性质Q(i,2,d1)，又具有性质Q(j,2,d2)，其中i,jN*，ij，

i、j互质，求证：数列{an}具有性质Q(ji,2,

jid1). i21（2020奉贤二模）. 两个数列{n}、{n}，当{n}和{n}同时在nn0时取得相同的最大值，我们称{n}与{n}具有性质P，其中nN*.

（1）设(1x)2022的二项展开式中xk的系数为ak（k0,1,2,3,,2022），kN， 记a0c1，a1c2，，依次下去，a2022c2023，组成的数列是{cn}；

1x记b0d1，b1d2，，依次下去，b2022d2023，组成的数列是{dn}；

判别{cn}与{dn}是否具有性质P，请说明理由；

同样地，(x)2022的二项展开式中xk的系数为bk（k0,1,2,3,,2022），kN，

（2）数列{tdn}的前n项和是Sn，数列{19823n}的前n项和是Tn，若{Sn}与{Tn}具有性质P，d,tN，则这样的数列{tdn}一共有多少个？请说明理由；

（3）两个有限项数列{an}与{bn}满足an1an(bn1bn)，nN*，且a1b10，是否存在实数，使得{an}与{bn}具有性质P，请说明理由.

21（2020崇明二模）. 在无穷数列{an}中，anN，且an1的前n项和为Sn.

**anan是偶数2，记{an}an3an是奇数（1）若a110，求S9的值； （2）若S317，求a1的值； （3）证明：{an}中必有一项为1或3.

21（2020浦东二模）. 若数列{an}对任意连续三项ai、ai1、ai2，均有

(aiai2)(ai2ai1)0（iN*），则称该数列为“跳跃数列”.

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：1，2，3，4，5，； ② 等比数列：1，1111，，，，；

81624a（2）若数列{an}满足对任何正整数n，均有an1a1n（a10），证明：数列{an}是跳

跃数列的充分必要条件是0a11；

219an（3）跳跃数列{an}满足对任意正整数n均有an1，求首项a1的取值范围.

5

21（2020长宁二模）. 若数列{cn}满足“对任意正整数i、j，ij，都存在正整数k，使得ckcicj”，则称数列{cn}具有“性质P”，已知数列{an}为无穷数列.

（1）若{an}为等比数列，且a11，判断数列{an}是否具有“性质P”，并说明理由； （2）若{an}为等差数列，且公差d0，求证：数列{an}不具有“性质P”； （3）若等差数列{an}具有“性质P”，且a32，求数列{an}的通项公式an.

21（2020虹口二模）. 已知项数为m（mN*，m2）的数列{an}满足条件：

*①anN（n1,2,,m）；②a1a2am；

若数列{bn}满足bn(a1a2am)anN*（n1,2,,m），则称{bn}为数列

m1{an}的“关联数列”.

（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，

若不存在，请说明理由；

（2）若数列{an}存在“关联数列”{bn}，证明：an1anm1（n1,2,,m1）； （3）已知数列{an}存在“关联数列”{bn}，且a11，am2049， 求数列{an}项数m的最小值与最大值.

21（2020嘉定二模）. 已知m为正整数，各项均为正整数的数列{an}满足：

anan为偶数an12，记数列{an}的前n项和为Sn.

anman为奇数（1）若a18，m2，求S7的值；

（2）若m5，S325，求a1的值；

（3）若a11，m为奇数，求证：“an1m”的充要条件是“an为奇数”.

21（2020青浦二模）. 对于无穷数列{an}、{bn}，nN*，若

bkmax{a1,a2,L,ak}min{a1,a2,L,ak}，kN*，则称数列{bn}是数列{an}的“收缩

数列”，其中max{a1,a2,L,ak}、min{a1,a2,L,ak}分别表示a1,a2,L,ak中的最大项和最小项，已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是数列{an}的“收缩数列”. （1）若an3n1，求数列{bn}的前n项和； （2）证明：数列{bn}的“收缩数列”仍是{bn}； （3）若S1S2LSn的数列{an}.

21（2020黄浦二模）. 若数列{an}与函数f(x)满足：① {an}的任意两项均不相等，且f(x)的定义域为R；② 数列{an}的前n的项的和Snf(an)对任意的nN*都成立；则称{an}与f(x)具有“共生关系”.

n（1）若an2（nN*），试写出一个与数列{an}具有“共生关系”的函数f(x)的解

n(n1)n(n1)a1bn（n1,2,3），求所有满足该条件 22析式；

（2）若f(x)axb与数列{an}具有“共生关系”，求实数对(a,b)所构成的集合， 并写出an关于a、b、n的表达式；

（3）若f(x)x2cxh，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{an}，使得{an} 与f(x)具有‘共生关系’”的充要条件是“点(c,h)在射线x

11(y)上”. 216