多元函数的极值

第十八章 多元函数的极值

例1 求函数fxyz 在条件xyz1,xyz0下的极值。 解 令Lxyz(xyz1)(xyz)

Lxyz2x0 Lyxz2y0 Lzxy2z0

得 2xx2yy2zz （1） 又 xyz1 （2）

xyz0 （3） 由（1）得 2(xy)(yx) ，2(yz)(zy) 当xyz时得

22222222222222222(xy)， 2(yz)

故得xz，代入（2）（3）式得

2x2y21 解得稳定点P1( 2xy0 由对称性得P3,4(121121,)，P2(,,)。

666666,211112,,)，P5,6(,,)也是稳定点。 666666下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。

1、通过判别最值来求极值

注意约束集为单位圆，是有界闭集，故f在其上必有最大（小）值，且最值必在稳定点达到。比较稳定点的函数值： f(P1)f(P3)f(P5)2661， f(P2)f(P4)f(P6)266

最大者

136为极大值，最小者

36为极小值。

2、用无条件极值的充分性判别

令 Fxyz1， Gxyz

222 1

则

(F,G)2y 2z2(yz)0,(yz)，故在P1,P2点的某邻域，方程组1 1 (y,z)x2y2z21,xyz0可唯一地确定可微函数组y(x),z(x)。

方程组两边对x求导，得 2x2yy2zz0

1yz0

22再求导，得 1yyyzzz0

yz0

1)y(P2)0， z(P2)1 将P1,P2点代入，解得 y(P1)z(Py(P1)z(P2)又 f(x)yzxyzxyz

f(x)yzyzyzxyzxyzyzxyzxyz 2yz2yz2xyzxyzxyz f(P1)2626， y(P2)z(P )133462364360， f(P2)462364360

故P1是极小值点，P2是极大值点。由x,y,z的对称性知，P3,P5是极小值点，P2,P6是极大值点。

极小值f(P1)f(P3)f(P5)266，

极大值f(P2)f(P4)f(P6)266。

3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时，所有变量是的，但dx,dy,dz应满足约束条件的微分在Pi的关系式：

[2xdx2ydy2zdz0]|Pi

dxdydz0

因为

dLyzdxxzdyxydz2(xdxydyzdz)(dxdydz)

2

d2L2(dx2dy2dz2)2xdydz2ydxdz2zdxdy

在P1点 dx2dydz0 即 dy0

dxdydz0 dxdz0

又P1满足稳定点方程 121 0 得 3626140 66故 dL(P1)216(dx2dz24dxdz)16(dx2dz24dx2)0

所以P1是极小值点。由x,y,z的对称性知，P3,P5也是极小值点。同理可证，P2,P4,P6是极大值点。

极小值f(P1)f(P3)f(P5)266266，

极大值f(P2)f(P4)f(P6)。

例2 将长度为l的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分

法，才能使这三个图形的面积之和最小。

解 设x,y,z分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积

sxy2232z 4满足约束 2x4y3zl， x0,y0,z0

令 L(x,y,z)xy

2232z(2x4y3zl) 4 Lx2x20 解得 x

Ly2y40 y2

Lz3z30 z23 22x4y3zl l2863

3

(433)l2s(,2,23)(433)2(2863)2

约束集为有界闭集，故在其上必有最小值。在边界上，即解下列三个条件极值问题：

s3z2 s231y242x4z2 s3x2y2 4y3zl 2x3zl 2x4yl

稳定点分别是

y2 x x

P1 z23 P2 z23 P3 y2

l863 l263 l28

函数值分别是

sP(433)l2(33)l2(4)l2 1(1)(863)2, s2(P2)(263)2, s3(P3)(28)2 又

s(ll220,0)ll2,ll24， s(0,4,0)16, s(0,0,3)123。 比较上述7个函数值得，最小值为

2 s(,2,23)(433)2(433)l(2863)2。

下面再用无条件极值的充分性判别。

约束条件2x4y3zl可确定zz(x,y)。方程两边分别对x,y求导，得

23z2x0， zx3， zxx0 43z4y0， zy3， zyy0

sx2x32zzx2x3z， 2sx223z22x233

sy2y322zzy2y3z， 2s2y223zy2833

4

2s4 zyxy3332s2s2s222842()(2)(2)() 22xyxy333333 4(33)4(33)22[(33)(334)4]

[2733(4)]0

故稳定点是极小值点。从而是最小值点。

从几何上看，当sc是一常数时，xy2232zc是一椭球面，而约束条件给4出一个平面在第一挂限的部分，如图示。当c逐渐增大，首次与平面接触一点时，s达到最小值。当c继续增大时，s的最大值必在平面与坐标轴的交点上达到。

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