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第２９卷第２期　２００Ｚ年３月　浙江大学学报（理学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｈｅｊｌａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｆｏｒｗａｒｄ—ｂａｃｋｗａｒｄ热方程　差分逼近的直接算法　叶兴德　（浙江大学数学系．浙江杭州３１００２８）　摘要；通过利用区域分解植木和并行算法的思想　把原问题分解为几十完全的子区域上的问题．　得到原问题的解绔出了Ｆｏｒｗａｒｄ　ｂａｃｋｗａｒｄ热方程　并直接并行求粹，然后把这些解作适当的线性组合　的差分逼近的直接算法．　关键词：直接算法｛Ｆｏｒｗａｄ－ｂａｃｋｗａｒｄ热方程；有限差分方法　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８　中国分类号　Ｏ１７５　２　ＹＥ　Ｘｉｎｇ—ｄｅ（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ－Ｚｈ￣ｉａｎｇ　Ｕｎｉｚ￣ｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｅｈｏｕ　３１００２８，Ｃｈｉｎａ）　Ｄｉｒｅｃｔ　ｓｏｉ￣ｅｒ　ｆｏｒ　ａ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｆｏｒｗａｒｄ－ｂａｃｋｗａｒｄ　ｈｅａｔ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｈｅ－　１ｔａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）．２００２－２９（２）：１２５～１２９　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｏｆ　ｄｏｍａｉｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｉｄｅａ　ｏｆ　ａ　ｐａｒａｌｔｅｌ　ａ［ｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉ　ｎａ【ｓｃｈ㈣ｗａｓ　ｄ㈨ｉｄ　ｄ　ｉｎｔｏ　ｓｅｖｅｒａ】ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｓｕｂｓｃｈｅｍｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ．Ｔｈｅ　１ｔｎｅａｒ　ｃｏｍｂｉ－　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｓ　ｎａｔｉｏｎ　０ｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ｓｕｂｓｃｈｅｍｅｓ　ｗｈｉｃｈ　ｃａ　ｒｌ　ｂｅ　ｓｏｌｖｅｄ　ｉｎ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｉｓ　ｅｘａｃｔｌｙ　ｔｈｅ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ㈣ｔｉｏｎ　ｉｓ　ｐｏｓｅｄ　．　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔ　ｓｏｔｖｅｒ　ｆｏｒ　ａ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｆｏｒｗａｒｄ　ｂａｃｋｗａｒｄ　ｈｅａｔ　ｅｑｕａ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｉｒｅｃｔ　ｓｏｌｖｅｒ：Ｆｏｒｗａｒｄ－ｂａｃｋｗａｒｄ　ｈｅａｔ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅ　ｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　Ｆｏｒｗａｒｄ　ｂａｃｋｗａｒｄ热方程　ａ（ｘ．ｒ）“，ｆｏｒ，　）　“　（　．ｆ）　，）一０，　１，ｒ）一０　ｆ（　．　），　Ｖ（　．ｔ）∈ｎ．　Ｖ　ｆ∈（０，１）．　Ｖ　ｔ∈（０．１）．　（１）　『：　］：　ｔ２　０）一０，　（　．０）＞０，　（ｚ，１）＜０．　１）一０，　其中．ｎ：（一１．１）×（０，１）．系数　（ｚ，ｆ）在ｎ上变号．　问题（１）．（２）在许多应用领域中被提出．比如流体动力学中的边界层问题　．等离子体物理　学，随机过程理论　：及天体物理学中关于通过太阳日冕的电子束的传播问题等．　对问题（１ｊ．（２）的数学研究最早由Ｃ－ｅｒｖｅｒ　给出．他考虑了ａ（ｘ，　）：　…（　为奇数）的情形．　１９６８年，Ｂａｏｕｅｎｄｉ和Ｇｒｉｓｖａｒｄ：　详细考虑了ａ（ｘ．ｆ）一３－的情形．１９７４年，Ｇｏ［ｄｓｔｅｉｎ和Ｍａｚｕｍｄ　证　明了在适当条件下，在适当的函数空问中，问题（１），（２）亦为良定的．　收稿日期：！【】『）Ｏ　０６　０５　基金项目：浙江省自然科学基盘货趵项Ｅｌ（１９８０３５　作者筒彳ｒ：叶兴德ｃｌ　９６４），男．副教授博士．主要从事檄丹方程数值解洼　维普资讯 http://www.cqvip.com

浙江大学学报（理学版）　第２９卷　对问题（１），（２）的数值分析也见诸许多文献．我们知道．对于热方程的数值计算，通常的方法　是：首先对空间变量应用Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法，把其转化为常微方程组，然后再用适当的方法（比如，有限　差分方法）离散该常微分方程组从而得到数值解．但是，这个方法不适宜于问题（１），（２）．因为　ａ（ｘ．ｔ）在ｎ上是变号的．１　９９０年，Ｖａｎａｊａ和Ｋｅｌｌｏｇｇ　应用差分方法求解问题（１）．（２）．并研究了用　迭代法求解结果方程的收敛性问题．其后．很多作者用其他方法一　探求问题（１），（２）的数值解．　我们回到Ｖａｎａｊａ和Ｋｅ［１ｏｇｇ的差分方法上来．考虑　（　，ｔｊ一“（　）的情形．针对文献［８］建立　的差分格式．提出一种直接解法　而非文献Ｅｓ３研究的迭代解法对结果方程求解．　１　Ｆｏｒｗａｒｄ—ｂａｃｋｗａｒｄ热方程的一个差分格式　考虑如下形式的Ｆｏｒｗａｒｄ—ｂａｃｋｗａｒｄ热方程　６／（　）“　【　，￡）　“　（　．ｆ）一ｆ（ｘ，ｆ）．　Ｖ（　，　）∈ｎ，　Ｖ　∈（０，１）．　‘４ｊ　（３）　ｃ１，ｔ）一０，　“（　１，ｆ）一０，Ｖ　ｆ∈（０，１）．　（ｚ．０）一０．　＆（　）＞０，　Ｉ　（ｚ．１）一０，　Ⅱ（　）＜０，　其中，ｎ一（　１，１）×（０，１），ｄ（ｚｊ＞０．　＞０，口（ｚ）＜０，　＜０．　对（３），（４）式应用有限差分方法求其数值解．设＾一　１为空间步长，ｒ为正整数．记网格结点集　一　１为时间步长这里Ｍ，～　，Ｎ　一｛（ｉｈ．ｊｒ）：１≤ｉ≤Ｍ　１，１≤，≤Ｎ　１，；　Ｎ　一｛（ｉｋ，ｊｒ）：　（Ⅳ　１）≤ｉ≤１．１≤Ｊ≤Ｎ一１ｊ　Ｎ（、一｛（０．ｊｒ）｝１≤Ｊ≤Ｎ　１｝；　Ｎ—Ｎ　Ｕ　Ｎ（Ｕ　Ｎ￡．　右端函数／（　，ｔ）及系数＆（　）在Ｎ上对应的网格函数分别记为Ｆ，Ａ，则对（３），（４）式可以建立　如下差分格式一　：　Ｐｚ—Ｆ．　（ｊ）　即　（Ｐ　）　一　宰（Ｐ。）　—Ａ竿（Ｐｚ）｛一其中．　　＿＿】　二；　一墅ｌｌ　｛　堕　一　，　一　，（　＾，Ｊｒ）∈Ｎ　；　一　，（　，Ｊｒ）∈　；　（ｏ√ｒ）∈Ｍ．　（６）　（７）　（８）　ｆ２　一０．Ｊ一０．１，…．Ⅳ．　。　一０１　一　＇…，　’　（９　ｌ　一０．　，一１・２，…・Ｍ，　【　一０．Ｊ一０．１，…，Ⅳ．　由文献［８］可知，矩阵Ｐ是一个Ｍ矩阵，因而是非奇异的．因此（５）式有惟一解．而且当（３），（４）　式的解“（ｒ，ｆ）对　有４次连续导数，对　有２次连续导数时，差分逼近（ｊ）的收敛阶为Ｏ（ｒ＋ｈ　）．　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２期　叶　德：Ｆｏｒｗａｒｄ　ｂａｃｋｗａｒｄ热方程差分逼近的直接算法　１２７　显然（５）式是一个【Ⅳ一１）（２Ｍ　１）阶的线性方程组．与通常的热方程差分格式不同．我们不　能逐层求解．为此，文献［８１提出了一个迭代解法：首先给出Ｎ　上未知量的一个猜测值，分别由（６１．　（７）式赋予相应的初边值条件．求解出Ｎ　及Ｎ　上的未知解．然后再由（８）式计算出Ｎ　上未知量的　新的猜测值．至此完成一个迭代步．　２　Ｆｏｒｗａｒｄ—ｂａｃｋｗａｒｄ热方程差分逼近的直接解法　的确．只要知道了Ｎ　上未知量的值．（５１式就可在　下的直接解法：　及　上分别求解．为此授们提出如　第１步　取　６—０．，一１，２，…．Ⅳ　１．求１－“（ｉｈ．　ｒ）∈ＮＨ　Ｕ　Ｎ一使得　１（Ｐ　）　一，　．一　一（ｉｈ．　）∈ＮＬ，　ｌ，Ⅳ一２．…．１．　（１０）　０．　７一Ｎ　Ｊ　一０．　１（Ｐｖ）　一／　．一　，一　】，　２．…．　（　１）．　（ｉｈ．ｊｒ）∈Ｎ　．　（ｕ）　ｋ一０，Ｊ—ｌ，２．…．Ｎ一１．　Ｉ　一０，　，一１，２，…．Ⅳ　１；　第２步　对ｋ—ｌ，２．…，Ⅳ一１，选取　（＾ｊ—ａ　求＂　（　），（ｉｈ．２ｒ）∈Ｎ　Ｕ　ＮＬ．使得　Ｉ（Ｐ　（　）　一０一（ｉｈ，　）∈Ｎ　．　Ｊ　‘　‘　一　　（１　）一　Ｉ＂　（　）一０，　一Ⅳ　１．Ⅳ　２一…　一　Ｊ—Ｎ　１．Ｎ一２．…．１．　ｉ一　１．一２，…．一（Ｍ一１ｊ．　（１２）　ｉ（Ｐｚｖ（ｋ））　一０一（ｉｈ，　）∈ＮＨ．　Ｊ　“　一占　’　Ｊ—　，…一　１＿　１　ｋ（ｋ）一０一　Ｊ一１，２，…．Ｎ　１一　【１　３）　１ｗ　（＾）一０．　第３步　设　ｉ一１，２．…．　１　ｌ；　：　十　ｃ　＂　（　）；　一Ｉ　（１４　显然，ｚ　满足（６），（７）式且ｃ．一　．Ｊ—ｌ，２．…．Ⅳ　１．现在．选取ｆ　（亦即确定２６）使其满足（８）　式，即　Ｉ　∑（　（矗）一”　．（七）　为零，这与，ｊ非奇异矛盾．　）　一Ｆ；＋ｚ－＇．　＾！　，Ｊ一１，２一…．Ⅳ一１．　（１　５）　易知，线性方程组（１　５ｊ对应的系数矩阵是非奇异的否则（ｊ）式对应的齐次问题有解Ｈ　而Ｈ　不全　若算法的第２步要对所有的ｋ求解，则这个算法是不经济的．但我们发现．由于（１　２），（１３）式的　特殊结构．仅须对　＝】求解ｒ１３）式．对ｋ一Ⅳ～］求解（１２）式即可．　０　１　１　Ｏ　１　记　１　Ｏ　维普资讯 http://www.cqvip.com

１２８　浙江大学学报（理学版）　第２９卷　Ｄ＝ｄｉａｇ（Ａ１．Ａ　２．…，ＡＭ】）．Ｇ—ｄｉａｇ（２ｒ　Ａ１．２ｒ　２．…．２ｒ—Ａ　Ｌ）　ｒＳ．　ｒ　‘　Ｈ—ｄｉａｇ（２ｒ　４－Ａ　，２ｒ—Ａ　２，…，２ｒ＋Ａ　１）　ｗ　（　）一（ｗ　ｌ（　）．＂　：（　）．…，　Ｍ　１：（　））　，　ｒＳ，　ｌ一（１．０．…．０）　，　（矗））　，　（　）一【＂｛（　），ｗ　（　）．－・　则（１　２）．（１　３）式可用矩阵分别表示为　ＧⅣ　（　）一ＤＷＪｉ　（　）＋ｒ　１，Ｊ—Ｎ　ｌ，…，２．１．　（１８）　ｗ　（　）一０．　ｆＨ　　Ｊ（　）一Ｄ　（　）一ｒ　Ｐ　，　一１．２．…．Ⅳ一１．　（Ｉ７）　（　）：０．　于是，由（１６）．、１７）式，对ｋ—ｌ，２．…．Ⅳ一ｌ，　ｆⅣ　（　）一０，Ｊ—Ｎ　１，Ｎ　２．…．　＋１．　（Ｉ８）　１ｗ　（　）一Ⅳ　。‘　（Ｎ　１），Ｊ—ｋ，ｋ　１．…，１．　Ⅳ　（　）一０．Ｊ一１．２，…，ｋ　Ｗ　（　）一ｕ，　。（１）．　１．　１．　（Ｉ　９）　一ｋ，ｋ＋１．…．Ｎ　即对ｋ—１．２，…，＿ｖ—１．　一　１．　ｊ　＝　Ｎ　－２，…，　（Ｍ　１）．　（２０　…：　Ⅳ一Ｉ’　＿　：ｌ　一　１），　Ｉ，　而对ｋ—１．２，…．～一１．ｉ—ｌ，２，…．（　０．　一Ｉ，２，…，ｋ　训　矗　一１训　（１），　一点，　一１．…．Ⅳ一１．　所有的　（　）．因此，算法可重写为　第１步　求解（１０），（１１）式得口　，（ｉｈ．ｊｒ）∈Ｎ　Ｕ　ＮＬ：　第２步　？（Ｎ　‘。　’　因此仅须对ｋ—ｌ求解（１３）式．对ｋ—Ｎ—ｌ求解（１２）式，然后利用关系式（２０１．（２Ｉ）式即可求得　对ｋ—ｌ求解（１Ｓ）式，对ｋ＝Ｎ—ｌ求解（Ｉ２）式．分别得＂　（１），（ｉｈ．ｊｒ）Ｅ－Ｎ　Ｎ＾；　１）　（ｉｈ．ｊｒ）Ｃ－　第３步　利用（ｇＯ）．（２１）式求解（Ｉ５）式得Ｃ　：第４步　由（１４）式计算　．即　＝　＋　∑ｃ　、　（Ⅳ　１），（　＾．ｊｒ）Ｅ　Ｎ　Ｈ∑“　…　。（１），（　＾．Ｊ　）∈Ｎ　．２　ｒ．．（０．ｊｒ）Ｅ　Ｎ（　显然，算法的第１步．第２步所求解的方程组分别对应于不同的子区域　是完全的．因此可　以并行求解．而且规模仅为原问题的　半．　洼１　当把这十方法应用于通常的热方程时．算法更加简单，这时　．可递推求出【　。　洼２文献：８］还考虑ｒ　≤０的情形这时，我们的方法依然可行－即通盈求Ｉ拜娄似于ｃ１０ｊ～　１５）式的方程组直接求懈．但　此时　与（１２）Ｈ１３）式相应的矗程组必须对所有　求Ｉ拜．因此－这时送代法也许更可取．　参考文献　ＩＳＯＮ　Ｋ　Ｍｕｌｔｉｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒｓ　ｏｎ　ｆｉａｔ　ｐｌａｔｅｓ　ａｎｄ　ｒｅａｔｅｄ　ｄｏｄｉｅｓ二Ｊ］Ａｄｖ　ｉｎ　Ａｐｐｌ　Ｍｅｃｈ．　［】］　ＳＴＥＷＡＲ　１９７４．１　４　１４５—２３９　ｅｍｂｅｒｔ’ｓ　ｐａｒａｄｏｘ［Ｊ７．ＳＩＡＭ　Ｒｅｖ．】９８１．２３：３０８—３４３．　：２］　ＳＴＥＷＡＲＴＳＯＮ　Ｋ　Ｄ’ＡｉＬ　３　ＦＲＡＮＫＩ　ＩＮ　Ｊ　Ｎ　ＲＯＤＥＭＩＣＨ　Ｅ　Ｒ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａＤ　ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉ｛｛ｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ