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第29卷第2期 200Z年3月 浙江大学学报(理学版) Journal of Zhejlang University(Science Edition) Forward—backward热方程 差分逼近的直接算法 叶兴德 (浙江大学数学系.浙江杭州310028) 摘要;通过利用区域分解植木和并行算法的思想 把原问题分解为几十完全的子区域上的问题. 得到原问题的解绔出了Forward backward热方程 并直接并行求粹,然后把这些解作适当的线性组合 的差分逼近的直接算法. 关键词:直接算法{Forwad-backward热方程;有限差分方法 文献标识码:A 文章编号:1008 中国分类号 O175 2 YE Xing—de(Department Mathematics-Zh ̄iang Uniz ̄ersity,Hangehou 310028,China) Direct soi ̄er for a difference approximation of the Forward-backward heat equation.Journal of Zhe- 1tang University(Science Edition).2002-29(2):125~129 Abstract:By using the technique of domain decomposition and the idea of a paraltel a[gorithm,the origi na【sch㈣was d㈨id d into severa】independent subschemes on the two subdomains.The 1tnear combi- solution as nation 0f the solution of these subschemes which ca rl be solved in parallel is exactly the the original㈣tion is posed . the direct sotver for a difference approximation of the Forward backward heat equa Key words:direct solver:Forward-backward heat equation;finite diffe rence method Forward backward热方程 a(x.r)“,for, ) “ ( .f) ,)一0, 1,r)一0 f( . ), V( .t)∈n. V f∈(0,1). V t∈(0.1). (1) 『: ]: t2 0)一0, ( .0)>0, (z,1)<0. 1)一0, 其中.n:(一1.1)×(0,1).系数 (z,f)在n上变号. 问题(1).(2)在许多应用领域中被提出.比如流体动力学中的边界层问题 .等离子体物理 学,随机过程理论 :及天体物理学中关于通过太阳日冕的电子束的传播问题等. 对问题(1j.(2)的数学研究最早由C-erver 给出.他考虑了a(x, ): …( 为奇数)的情形. 1968年,Baouendi和Grisvard: 详细考虑了a(x.f)一3-的情形.1974年,Go[dstein和Mazumd 证 明了在适当条件下,在适当的函数空问中,问题(1),(2)亦为良定的. 收稿日期:!【】『)O 06 05 基金项目:浙江省自然科学基盘货趵项El(198035 作者筒彳r:叶兴德cl 964),男.副教授博士.主要从事檄丹方程数值解洼 维普资讯 http://www.cqvip.com

浙江大学学报(理学版) 第29卷 对问题(1),(2)的数值分析也见诸许多文献.我们知道.对于热方程的数值计算,通常的方法 是:首先对空间变量应用Galerkin方法,把其转化为常微方程组,然后再用适当的方法(比如,有限 差分方法)离散该常微分方程组从而得到数值解.但是,这个方法不适宜于问题(1),(2).因为 a(x.t)在n上是变号的.1 990年,Vanaja和Kellogg 应用差分方法求解问题(1).(2).并研究了用 迭代法求解结果方程的收敛性问题.其后.很多作者用其他方法一 探求问题(1),(2)的数值解. 我们回到Vanaja和Ke[1ogg的差分方法上来.考虑 ( ,tj一“( )的情形.针对文献[8]建立 的差分格式.提出一种直接解法 而非文献Es3研究的迭代解法对结果方程求解. 1 Forward—backward热方程的一个差分格式 考虑如下形式的Forward—backward热方程 6/( )“ 【 ,£) “ ( .f)一f(x,f). V( , )∈n, V ∈(0,1). ‘4j (3) c1,t)一0, “( 1,f)一0,V f∈(0,1). (z.0)一0. &( )>0, I (z.1)一0, Ⅱ( )<0, 其中,n一( 1,1)×(0,1),d(zj>0. >0,口(z)<0, <0. 对(3),(4)式应用有限差分方法求其数值解.设^一 1为空间步长,r为正整数.记网格结点集 一 1为时间步长这里M,~ ,N 一{(ih.jr):1≤i≤M 1,1≤,≤N 1,; N 一{(ik,jr): (Ⅳ 1)≤i≤1.1≤J≤N一1j N(、一{(0.jr)}1≤J≤N 1}; N—N U N(U N£. 右端函数/( ,t)及系数&( )在N上对应的网格函数分别记为F,A,则对(3),(4)式可以建立 如下差分格式一 : Pz—F. (j) 即 (P ) 一 宰(P。) —A竿(Pz){一其中.  __】 二; 一墅ll { 堕 一 , 一 ,( ^,Jr)∈N ; 一 ,( ,Jr)∈ ; (o√r)∈M. (6) (7) (8) f2 一0.J一0.1,….Ⅳ. 。 一01 一 '…, ’ (9 l 一0. ,一1・2,…・M, 【 一0.J一0.1,…,Ⅳ. 由文献[8]可知,矩阵P是一个M矩阵,因而是非奇异的.因此(5)式有惟一解.而且当(3),(4) 式的解“(r,f)对 有4次连续导数,对 有2次连续导数时,差分逼近(j)的收敛阶为O(r+h ). 维普资讯 http://www.cqvip.com

第2期 叶 德:Forward backward热方程差分逼近的直接算法 127 显然(5)式是一个【Ⅳ一1)(2M 1)阶的线性方程组.与通常的热方程差分格式不同.我们不 能逐层求解.为此,文献[81提出了一个迭代解法:首先给出N 上未知量的一个猜测值,分别由(61. (7)式赋予相应的初边值条件.求解出N 及N 上的未知解.然后再由(8)式计算出N 上未知量的 新的猜测值.至此完成一个迭代步. 2 Forward—backward热方程差分逼近的直接解法 的确.只要知道了N 上未知量的值.(51式就可在 下的直接解法: 及 上分别求解.为此授们提出如 第1步 取 6—0.,一1,2,….Ⅳ 1.求1-“(ih. r)∈NH U N一使得 1(P ) 一, .一 一(ih. )∈NL, l,Ⅳ一2.….1. (10) 0. 7一N J 一0. 1(Pv) 一/ .一 ,一 】, 2.…. ( 1). (ih.jr)∈N . (u) k一0,J—l,2.….N一1. I 一0, ,一1,2,….Ⅳ 1; 第2步 对k—l,2.…,Ⅳ一1,选取 (^j—a 求" ( ),(ih.2r)∈N U NL.使得 I(P ( ) 一0一(ih, )∈N . J ‘ ‘ 一  (1 )一 I" ( )一0, 一Ⅳ 1.Ⅳ 2一… 一 J—N 1.N一2.….1. i一 1.一2,….一(M一1j. (12) i(Pzv(k)) 一0一(ih, )∈NH. J “ 一占 ’ J— ,…一 1_ 1 k(k)一0一 J一1,2,….N 1一 【1 3) 1w (^)一0. 第3步 设 i一1,2.…. 1 l; : 十 c " ( ); 一I (14 显然,z 满足(6),(7)式且c.一 .J—l,2.….Ⅳ 1.现在.选取f (亦即确定26)使其满足(8) 式,即 I ∑( (矗)一” .(七) 为零,这与,j非奇异矛盾. ) 一F;+z-'. ^! ,J一1,2一….Ⅳ一1. (1 5) 易知,线性方程组(1 5j对应的系数矩阵是非奇异的否则(j)式对应的齐次问题有解H 而H 不全 若算法的第2步要对所有的k求解,则这个算法是不经济的.但我们发现.由于(1 2),(13)式的 特殊结构.仅须对 =】求解r13)式.对k一Ⅳ~]求解(12)式即可. 0 1 1 O 1 记 1 O 维普资讯 http://www.cqvip.com

128 浙江大学学报(理学版) 第29卷 D=diag(A1.A 2.…,AM】).G—diag(2r A1.2r 2.….2r—A L) rS. r ‘ H—diag(2r 4-A ,2r—A 2,…,2r+A 1) w ( )一(w l( )." :( ).…, M 1:( )) , rS, l一(1.0.….0) , (矗)) , ( )一【"{( ),w ( ).-・ 则(1 2).(1 3)式可用矩阵分别表示为 GⅣ ( )一DWJi ( )+r 1,J—N l,…,2.1. (18) w ( )一0. fH  J( )一D ( )一r P , 一1.2.….Ⅳ一1. (I7) ( ):0. 于是,由(16).、17)式,对k—l,2.….Ⅳ一l, fⅣ ( )一0,J—N 1,N 2.…. +1. (I8) 1w ( )一Ⅳ 。‘ (N 1),J—k,k 1.…,1. Ⅳ ( )一0.J一1.2,…,k W ( )一u, 。(1). 1. 1. (I 9) 一k,k+1.….N 即对k—1.2,…,_v—1. 一 1. j = N -2,…, (M 1). (20 …: Ⅳ一I’ _ :l 一 1), I, 而对k—1.2,….~一1.i—l,2,….( 0. 一I,2,…,k 训 矗 一1训 (1), 一点, 一1.….Ⅳ一1. 所有的 ( ).因此,算法可重写为 第1步 求解(10),(11)式得口 ,(ih.jr)∈N U NL: 第2步 ?(N ‘。 ’ 因此仅须对k—l求解(13)式.对k—N—l求解(12)式,然后利用关系式(201.(2I)式即可求得 对k—l求解(1S)式,对k=N—l求解(I2)式.分别得" (1),(ih.jr)E-N N^; 1) (ih.jr)C- 第3步 利用(gO).(21)式求解(I5)式得C :第4步 由(14)式计算 .即 = + ∑c 、 (Ⅳ 1),( ^.jr)E N H∑“ … 。(1),( ^.J )∈N .2 r..(0.jr)E N( 显然,算法的第1步.第2步所求解的方程组分别对应于不同的子区域 是完全的.因此可 以并行求解.而且规模仅为原问题的 半. 洼1 当把这十方法应用于通常的热方程时.算法更加简单,这时 .可递推求出【 。 洼2文献:8]还考虑r ≤0的情形这时,我们的方法依然可行-即通盈求I拜娄似于c10j~ 15)式的方程组直接求懈.但 此时 与(12)H13)式相应的矗程组必须对所有 求I拜.因此-这时送代法也许更可取. 参考文献 ISON K Multistructural boundary layers on fiat plates and reated dodies二J]Adv in Appl Mech. [】] STEWAR 1974.1 4 145—239 embert’s paradox[J7.SIAM Rev.】981.23:308—343. :2] STEWARTSON K D’AiL 3 FRANKI IN J N RODEMICH E R Numerical analysis of aD elliptic parabolic partial di{{erential equation 

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