北京市西城外国语中学八年级数学上学期期中试题(含解

北京市西城外国语中学2015-2016学年八年级数学上学期期中试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．使分式有意义的条件是( ) A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x≠0 D．x+1＞0

2．下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是( )

2222

A．（x+2y）（x﹣2y）=x﹣4y B．xy﹣xy﹣1=xy（x﹣y）﹣1

222

C．a﹣4ab+4b=（a﹣2b） D．ax+ay+a=a（x+y）

﹣3

3．计算3的结果是( )

A．﹣9 B．﹣27 C． D．﹣

4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )

A．72° B．60° C．50° D．58°

5．下列变形正确的是( )

A． B．

C． D．

2

6．如果多项式x+ax+b可因式分解为（x﹣1）（x+2），则a、b的值为( ) A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=2

7．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

1

8．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为( )

A．

B．2

C．3

D．2

9．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是( )

A． B． C． D．

10．如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE 其中正确结论的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每小题2分，共16分）

3

11．已知空气的单位体积质量是0.001239克/厘米，将0.001239用科学记数法表示为__________．

22

12．分解因式：a﹣4b=__________．

0

13．若（x+3）=1，则x的取值范围是__________．

14．如果的值为0，则x=__________．

15．如图，已知∠B=∠D=90°，请再添加一个条件__________，使得△ABC≌△ADC．

2

16．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是__________．

17．已知x2+3x+1=0，则x2

+

的值为__________．

18．观察下列各式：

39×41=402﹣12

48×52=502﹣22

52×62=572﹣52

67×77=722﹣52

，

请你把发现的规律用字母表示出来：mn=__________．

三、解答题（共分） 19．把下列各式因式分解

（1）x2

﹣5x﹣6

（2）4x2

y﹣4xy+y．

20．计算 （1）

（2）

（3）

（4）．

21．先化简，再求值：，其中x=2．

3

22．解分式方程：+=1．

23．已知：如图，CB=DE，∠B=∠E，∠BAE=∠CAD． 求证：AC=AD．

22

24．已知a、b满足等式a+b﹣4（2b﹣a）+20=0，求a+b值．

25．列方程解应用题

从A地到B地的路程是30千米．甲骑自行车从A地到B地先走，半小时后，乙骑自行车从A地出发，结果二人同时到达．已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，求甲、乙二人骑车速度各是多少？

26．已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB=DA，DM⊥BE于M． （1）求证：AC=BM+CM；

（2）若AC=2，BC=1，求CM的长．

27．（1）尺规作图：如图a，已知∠MON，作∠MON的平分线OP，并在OP上任取一点Q，分别在OM、ON上各取一点S、T，作△OSQ和△OTQ，使得△OSQ≌△OTQ．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

①如图b，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

②如图c，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而①中的其它条件不变，请问，你在①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

4

5

2015-2016学年北京市西城外国语中学八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．使分式有意义的条件是( ) A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x≠0 D．x+1＞0 【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分式有意义，分母不为0列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得，x+1≠0， 解得，x≠﹣1， 故选：A．

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0是解题的关键．

2．下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是( )

2222

A．（x+2y）（x﹣2y）=x﹣4y B．xy﹣xy﹣1=xy（x﹣y）﹣1

222

C．a﹣4ab+4b=（a﹣2b） D．ax+ay+a=a（x+y） 【考点】因式分解的意义． 【专题】推理填空题．

【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式，左边是一个多项式，右边是整式的积的形式，进行判断即可．

【解答】解：根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式， A、右边不是积的形式，故本选项错误； B、右边最后不是积的形式，故本选项错误； C、右边是（a﹣2b）（a﹣2b），故本选项正确； D、结果是a（x+y+1），故本选项错误． 故选C．

【点评】本题考查了对因式分解的意义的理解，关键是能根据因式分解的意义进行判断（从等式的左边到等式的右边是否是因式分解）．

﹣3

3．计算3的结果是( )

A．﹣9 B．﹣27 C． D．﹣ 【考点】负整数指数幂．

【分析】利用负整数指数幂的定义求解即可．

【解答】解：3=． 故选：C．

【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题的关键是熟记负整数指数幂的定义．

4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )

﹣3

6

A．72° B．60° C．50° D．58° 【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据三角形内角和定理求得∠2=58°；然后由全等三角形是性质得到∠1=∠2=58°． 【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2=180°﹣50°﹣72°=58°．∵图中的两个三角形全等， ∴∠1=∠2=58°． 故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．

5．下列变形正确的是( )

A． B．

C． D．

【考点】分式的基本性质． 【专题】计算题．

【分析】根据分式的性质，进行变形，再判断对错即可． 【解答】解：A、

=

，此选项错误；

B、=﹣，此选项正确；

C、=，此选项错误；

D、=1，此选项错误．

故选B．

【点评】本题考查了分式的性质．解题的关键是灵活利用分式的性质．

7

2

6．如果多项式x+ax+b可因式分解为（x﹣1）（x+2），则a、b的值为( ) A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=2 【考点】因式分解-十字相乘法等． 【专题】计算题；因式分解．

【分析】已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．

22

【解答】解：根据题意得：x+ax+b=（x﹣1）（x+2）=x+x﹣2， 则a=1，b=﹣2， 故选B

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．

7．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．

【分析】根据作图过程可知O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．

【解答】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD， 在△OCD与△O′C′D′中，

∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB． 故选：A． 【点评】本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等．从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法．

8．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为( )

8

A． B．2 C．3 D．2

【考点】角平分线的性质；垂线段最短．

【分析】首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值． 【解答】解：过点P作PB⊥OM于B， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3， ∴PB=PA=3，

∴PQ的最小值为3． 故选：C．

【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

9．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是( )

A． B． C． D．

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵，根据甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，列方程即可．

【解答】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵，

由题意得，=．

故选D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

10．如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE 其中正确结论的个数是( )

9

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】探究型．

【分析】①根据BC=AC，∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°，再由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠EAF=22.5°，在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，可求出∠EAF=∠FBC，由BC=AC可求出Rt△ADC≌Rt△BFC，故可求出AD=BF； ②由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可直接得出结论；

③由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可知，CF=CD，故AC+CD=AC+CF=AF，∠CBF=∠EAF=22.5°，在Rt△AEF中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，根据∠CAB=45°可知，∠ABF=180°﹣∠EAF﹣∠CAB=67.5°，即可求出AF=AB，即AC+CD=AB；

④由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，故BE=BF，在Rt△BCF中，若BE=CF，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF； ⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答． 【解答】解：①∵BC=AC，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠ABC=45°， ∵AD平分∠BAC，

∴∠BAE=∠EAF=22.5°，

∵在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°， ∴∠EAF=∠FBC，

∵BC=AC，∠EAF=∠FBC，∠BCF=∠AEF， ∴Rt△ADC≌Rt△BFC， ∴AD=BF； 故①正确；

②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC， ∴CF=CD， 故②正确；

③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC， ∴CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF， ∵∠CBF=∠EAF=22.5°，

∴在Rt△AEF中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°， ∵∠CAB=45°，

∴∠ABF=180°﹣∠F﹣∠CAB=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°， ∴AF=AB，即AC+CD=AB， 故③正确；

④由③可知，△ABF是等腰三角形， ∵BE⊥AD，

∴BE=BF，

∵在Rt△BCF中，若BE=CF，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾， 故BE≠CF， 故④错误；

⑤由③可知，△ABF是等腰三角形， ∵BE⊥AD，

10

∴BF=2BE， 故⑤正确．

所以①②③⑤四项正确． 故选D． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键．

二、填空题（每小题2分，共16分）

3

11．已知空气的单位体积质量是0.001239克/厘米，将0.001239用科学记数法表示为

﹣3

1.239×10．

【考点】科学记数法—表示较小的数．

﹣n

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，小数点移动的位数的相反数即是n的值．

﹣3

【解答】解：0.001239=1.239×10；

﹣3

故答案为：1.239×10．

﹣n

【点评】此题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

22

12．分解因式：a﹣4b=（a+2b）（a﹣2b）． 【考点】因式分解-运用公式法．

22

【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a﹣b=（a+b）（a﹣b）．

22

【解答】解：a﹣4b=（a+2b）（a﹣2b）．

【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．

0

13．若（x+3）=1，则x的取值范围是x≠﹣3． 【考点】零指数幂．

【分析】根据任何非0数的0次幂等于1，可得答案．

0

【解答】解：由（x+3）=1，得 x+3≠0，

解得x≠﹣3，

故答案为：x≠﹣3．

【点评】本题考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．

14．如果的值为0，则x=﹣1．

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

2

【解答】解：根据题意得，x﹣1=0且x﹣1≠0， 解得x=±1且x≠1， 所以：x=﹣1． 故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了分式为零的条件，分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不

11

为0．两个条件需同时具备，缺一不可．

15．如图，已知∠B=∠D=90°，请再添加一个条件AD=AB，使得△ABC≌△ADC．

【考点】全等三角形的判定． 【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一条对应边或者另一个对应角相等即可．

【解答】解：添加AD=AB．理由如下： 在Rt△ABC与Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）． 故答案可以是：AD=AB．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

16．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是1＜x＜6． 【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．

【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【解答】解：如图所示，AB=5，AC=7， 设BC=2a，AD=x，

延长AD至E，使AD=DE， 在△BDE与△CDA中，

∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE， ∴△BDE≌△CDA， ∴AE=2x，BE=AC=7，

在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即7﹣5＜2x＜7+5， ∴1＜x＜6．

故答案为：1＜x＜6．

12

【点评】有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

17．已知x+3x+1=0，则x+

22

的值为7．

【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题．

【分析】先把已知方程两边除以x可得到x+3+=0，再利用完全平方公式变形得到x+（x+）﹣2，然后利用整体代入的方法计算．

2

【解答】解：∵x+3x+1=0， 而x≠0， ∴x+3+=0，

2

2

=

∴x+

2

=（x+）﹣2=3﹣2=7．

22

故答案为7． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

18．观察下列各式：

22

39×41=40﹣1

22

48×52=50﹣2

22

52×62=57﹣5

22

67×77=72﹣5，

请你把发现的规律用字母表示出来：mn=﹣．

【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】规律型．

【分析】只需分别考虑被减数和减数的底数与积中的两个因素之间的关系，就可解决问题．

【解答】解：39×41=40﹣1=（

22

）﹣（

2

），

2

48×52=50﹣2=（

22

）﹣（

2

），

2

52×62=57﹣5=（

22

）﹣（

2

），

13

2

67×77=72﹣5=（…

22

）﹣（

2

），

2

由此可得：mn=．

故答案为．

【点评】本题是规律探究题，主要考查了归纳探究的能力．

三、解答题（共分） 19．把下列各式因式分解

2

（1）x﹣5x﹣6

2

（2）4xy﹣4xy+y．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-十字相乘法等． 【专题】计算题；因式分解． 【分析】（1）原式利用十字相乘法分解即可；

（2）原式提取y，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式=（x+1）（x﹣6）；

22

（2）原式=y（4x﹣4x+1）=y（2x﹣1）．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本的关键．

20．计算 （1）

（2）

（3）

（4）．

【考点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 【分析】（1）先算乘方，绝对值，负指数幂与0指数幂，再算加减； （2）先算乘方，再算乘除； （3）通分计算即可；

（4）把分子分母因式分解，除法改为乘法约分计算得出答案即可． 【解答】解：（1）原式=﹣27﹣+25×1

14

=﹣2；

（2）原式=

==

；

（3）原式=

=

=

=

=

=；

（4）原式=

=

=﹣2．

【点评】此题考查分式的混合运算，实数的混合运算，掌握运算的顺序与计算的方法是解决问题的关键．

21．先化简，再求值：，其中x=2．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式=[

+]•（x+1）

15

=[+]•（x+1）

=•（x+1）

=，

当x=2时，原式==．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

22．解分式方程：+=1．

【考点】解分式方程． 【专题】计算题．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

2

【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x﹣4， 解得：x=﹣3，

经检验x=﹣3是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

23．已知：如图，CB=DE，∠B=∠E，∠BAE=∠CAD． 求证：AC=AD．

【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】易证∠BAC=∠EAD，即可证明△ABC≌△AED，即可解题． 【解答】证明：∵∠BAE=∠CAD ∴∠BAE﹣∠CAE=∠CAD﹣∠CAE ∴∠BAC=∠EAD， 在△ABC与△AED中，

16

，

∴△ABC≌△AED（AAS）， ∴AC=AD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△AED是解题的关键．

22

24．已知a、b满足等式a+b﹣4（2b﹣a）+20=0，求a+b值． 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．

【分析】应用配方法把原式进行变形，根据非负数的性质求出a、b的值，代入代数式计算即可．

22

【解答】解：∵a+b﹣4（2b﹣a）+20=0， 2222

∴a+b﹣8b+4a+20=0a+4a+4+b﹣8b+16=0，

22

∴（a+2）+（b﹣4）=0，

∴，

∴，

∴a+b=﹣2+4=2．

【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．

25．列方程解应用题

从A地到B地的路程是30千米．甲骑自行车从A地到B地先走，半小时后，乙骑自行车从A地出发，结果二人同时到达．已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，求甲、乙二人骑车速度各是多少？

【考点】分式方程的应用．

【分析】首先设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千米/时，由题意得：甲需要时间小时，乙需要小时，再根据乙所用时间+半小时=甲所用时间即可列出方程． 【解答】解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千米/时，由题意得： =+， 解得：x=20，

经检验：x=20是原分式方程的解， 1.5×20=30（千米/时）．

答：甲的速度为20千米/时，则乙的速度为30千米/时．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，难度中等，做此类题主要是要抓住关键条件列出方程解答即可．

26．已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB=DA，DM⊥BE于M．

17

（1）求证：AC=BM+CM；

（2）若AC=2，BC=1，求CM的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】（1）作DN⊥AC于N，易证Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CN=CM，进而可以证明Rt△ADN≌Rt△BDM，可得AN=BM，即可解题； （2）利用（1）中的结论变形得出答案即可． 【解答】（1）证明：作DN⊥AC于N， ∵CD平分∠ACE，DM⊥BE ∴DN=DM，

在Rt△DCN和Rt△DCM中，

∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL）， ∴CN=CM，

在Rt△ADN和Rt△BDM中，

∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL）， ∴AN=BM， ∵AC=AN+CN， ∴AC=BM+CM．

（2）解：∵AN=AC﹣CN，BM=BC+CM， ∴AC﹣CN=BC+CM， ∴AC﹣CM=BC+CM， ∴2CM=AC﹣BC， ∵AC=2，BC=1， ∴CM=0.5．

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【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，考查了直角三角形对应边相等的性质，本题中求证CN=CM，AN=BM是解题的关键． 27．（1）尺规作图：如图a，已知∠MON，作∠MON的平分线OP，并在OP上任取一点Q，分别在OM、ON上各取一点S、T，作△OSQ和△OTQ，使得△OSQ≌△OTQ．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

①如图b，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

②如图c，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而①中的其它条件不变，请问，你在①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图． 【分析】（1）首先作∠MON的平分线OP，再以O为圆心，任意长为半径画弧，交OM、ON与S、T，利用SAS可判定△OSQ≌△OTQ；

（2）①过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG=FH=FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，根据对顶角相等求出∠EFD=120°，然后求出∠EFG=∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE=FD．

②过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，首先证明∠GEF=∠HDF，再证明△EGF≌△DHF可得FE=FD． 【解答】解：（1）如图a所示：

（2）①EF=DF，

如图b，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K， ∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴FG=FH=FK，

在四边形BGFH中，∠GFH=360°﹣60°﹣90°×2=120°， ∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B=60°，

∴∠FAC+∠FCA=（180°﹣60°）=60°，

在△AFC中，∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=180°﹣60°=120°， ∴∠EFD=∠AFC=120°， ∴∠EFG=∠DFH， 在△EFG和△DFH中，

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，

∴△EFG≌△DFH（ASA）， ∴FE=FD．

EF=FD仍然成立．

②如图c，

过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H． ∴∠FGE=∠FHD=90°，

∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心， ∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，

∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上， ∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）． 又∵∠HDF=∠B+∠1（外角的性质）， ∴∠GEF=∠HDF． 在△EGF与△DHF中，

，

∴△EGF≌△DHF（AAS）， ∴FE=FD．

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【点评】此题考查全等三角形的判定方法和性质定理，以及复杂作图，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，掌握全等三角形的判定：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．

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