5.14三角形综合题(第5部分)2018年中考数学试题分类汇编(山东四川word解析版)

2018年各地中考数学试题分类汇编

第五部分 图形的性质 5.14 三角形综合题

【一】知识点清单 三角形综合题

【二】分类试题汇编及参与解析

一、选择题

1．（2018年山东省东营市-第10题-3分）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：

①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④

【知识考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

【思路分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断； 【解答过程】解：∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠DAB=∠EAC ∵AD=AE，AB=AC， ∴△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，

∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确， ∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°， ∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，

∴BE2=BC2﹣EC2=2AB2﹣（CD2﹣DE2）=2AB2﹣CD2+2AD2=2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确， 故选：A．

【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

2．（2018年四川省绵阳市-第11题-3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=2，AD=6，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）

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A．2 B．32 C．31 D．33 【知识考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【思路分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；

【解答过程】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．

∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ECA=∠DCB， ∵CE=CD，CA=CB， ∴△ECA≌△DCB， ∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=∵∠EDC=45°，

∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°， 在Rt△ADB中，AB=∴AC=BC=2， ∴S△ABC=

×2×2=2，

=2

，

，

∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N， ∴OM=ON，

∵====，

∴S△AOC=2×故选：D．

=3﹣，

【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．

3．（2018年四川省达州市-第8题-3分）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）

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A．

35 B．2 C． D．3 22【知识考点】等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

【思路分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答过程】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE， 在△BNA和△BNE中，

∴△BNA≌△BNE， ∴BA=BE，

∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形，

∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线，

∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12， ∴DE=BE+CD﹣BC=5， ∴MN=

DE=

．

故选：C．

【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

二、填空题 1．（2018年四川省绵阳市-第18题-3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB= ．

【知识考点】三角形的重心；勾股定理．

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【思路分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，，等量代换得到BO2+

AO2=4，BO2+AO2=

OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=

，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长． 【解答过程】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线， ∴BD=

BC=2，AE=

AC=

，点O为△ABC的重心，

∴AO=2OD，OB=2OE， ∵BE⊥AD，

∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=∴BO2+∴

AO2=4，AO2=

BO2+AO2=，

，

，

BO2+

∴BO2+AO2=5， ∴AB=故答案为

．

=

．

【总结归纳】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．

2．（2018年四川省泸州市-第16题-3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ．

【知识考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

【思路分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长； 【解答过程】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．

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∵EG垂直平分线段AC， ∴DA=DC， ∴DF+DC=AD+DF，

∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长， ∵

•BC•AH=120，

∴AH=12，

∵AB=AC，AH⊥BC， ∴BH=CH=10， ∵BF=3FC， ∴CF=FH=5， ∴AF=

=

=13，

∴DF+DC的最小值为13． 故答案为13．

【总结归纳】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．

3．（2018年四川省德阳市-第16题-3分）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=

3，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，4点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是 （填写正确结论的番号）．

【知识考点】角平分线的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．

【思路分析】由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d12+d22=MN2=CP 2，根据垂线段最短，可得CP的值即可求d12+d22的最小值，即可判断④． 【解答过程】解：∵D是AB中点 ∴AD=BD

∵△ACD是等边三角形，E是AD中点

∴AD=CD，∠ADC=60°=∠ACD，CE⊥AB，∠DCE=30° ∴CD=BD

∴∠B=∠DCB=30°，且∠DCE=30°，CE⊥AB ∴∠ECD=∠DCB，BC=2CE，tan∠B=

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故①③正确，②错误 ∵∠DCB=30°，∠ACD=60° ∴∠ACB=90°

若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2， ∴四边形PMCN是矩形 ∴MN=CP

∵d12+d22=MN2=CP2

∴当CP为最小值，d12+d22的值最小

∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小 此时：∠CAB=60°，AC=2，CP⊥AB ∴CP=

∴d12+d22=MN2=CP2=3 即d12+d22的最小值为3 故④正确 故答案为①③④

【总结归纳】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求d12+d22的最小值是本题的关键．

三、解答题

1．（2018年山东省日照市-第22题-13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=

1AB． 2

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． （1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=与CE之间的数量关系为 ．

（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的

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1AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE2

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数量关系？请直接写出你的结论 ．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标． 【知识考点】三角形综合题．

【思路分析】探究结论：（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题； （2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题； （3）结论不变，证明方法类似；

拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程即可解决问题；

【解答过程】解：探究结论（1）如图1中，

∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60°， ∵AC=

AB=AE=EB，

∴△ACE是等边三角形， ∴EC=AE=EB， 故答案为EC=EB．

（2）如图2中，结论：ED=EB．

理由：连接PE．

∵△ACP，△ADE都是等边三角形，

∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°， ∴∠CAD=∠PAE， ∴△CAD≌△PAE， ∴∠ACD=∠APE=90°，

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∴EP⊥AB，∵PA=PB， ∴EA=EB，∵DE=AE， ∴ED=EB．

（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB， 故答案为ED=EB．

拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．

∵A（﹣

，1），

∴∠AOH=30°， 由（2） 可知，CO=CB， ∵CF⊥OB， ∴OF=FB=1，

∴可以假设C（1，n）， ∵OC=BC=AB， ∴1+n2=1+（∴n=2+

，

）． +2）2，

∴C（1，2+

【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

2．（2018年山东省淄博市-第23题-9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 ；位置关系是 ． （2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由． （3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，

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ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

【知识考点】三角形综合题．

【思路分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论；

（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论． 【解答过程】解：（1）连接BE，CD相较于H， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，

∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=90°， ∴CD⊥BE，

∵点M，G分别是BD，BC的中点， ∴MG同理：NG

CD，

BE，

∴MG=NG，MG⊥NG， 故答案为：MG=NG，MG⊥NG；

（2）连接CD，BE，相较于H， 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG； （3）连接EB，DC，延长线相交于H， 同（1）的方法得，MG=NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，

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∴∠AEB=∠ACD，

∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°，

同（1）的方法得，MG⊥NG．

【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．

3．（2018年四川省自贡市-第25题-12分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

【知识考点】几何变换综合题．

【思路分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=即可得出结论；

（2）同（1）的方法得OF+OG=可得出结论；

（3）同（2）的方法即可得出结论．

【解答过程】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC=∠BOC=∵CD⊥OA， ∴∠ODC=90°， ∴∠OCD=60°，

∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°， 在Rt△OCD中，OD=OE•cos30°=

OC，

∠AOB=30°，

OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即

OC，同OE=

OC，

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同理：OE=∴OD+OD=

OC， OC；

（2）（1）中结论仍然成立，理由： 过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90°， ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得，OF=∴OF+OG=∴CF=CG，

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE， ∴OD+OE=

OC； OC，

OC，OG=

OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，

（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90°， ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得，OF=∴OF+OG=

OC，

OC，OG=

OC，

OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，

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∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD， ∴OE﹣OD=

OC．

【总结归纳】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．

4．（2018年四川省阿坝州/甘孜州-第27题-10分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF；

（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由； （3）若AB=3，AE=5，求BD的长．

【知识考点】三角形综合题．

【思路分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题；

（2）结论：BD=CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．想办法证明DM=CF，DM=BD即可；

（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD=x，则DN=EN⊥BN．推出EN=BN=x+问题；

【解答过程】（1）证明：如图1中，

=

，DE=AE=

，由∠B=45°，

，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2=DE2，构建方程即可解决

∵∠BAC=90°，

∴∠EAD+∠CAE=90°，∠EDA+∠F=90°，

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∵∠EAD=∠EDA， ∴∠EAC=∠F， ∴EA=ED，EA=EF， ∴DE=EF．

（2）解：结论：BD=CF．

理由：如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．

∵DE=EF．∠DEM=∠CEF，EM=EC． ∴△DEM≌△FEC， ∴DM=CF，∠MDE=∠F， ∴DM∥CF，

∴∠BDM=∠BAC=90°， ∵AB=AC， ∴∠DBM=45°， ∴BD=DM， ∴BD=CF．

（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．

∵EA=ED，EN⊥AD， ∴AN=ND， 设BD=x，则DN=

，DE=AE=

，

∵∠B=45°，EN⊥BN． ∴EN=BN=x+

=

，

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在Rt△DEN中，∵DN2+NE2=DE2， ∴（

）2+（

）2=（

）2

解得x=1或﹣1（舍弃） ∴BD=1．

【总结归纳】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

5．（2018年四川省乐山市-第25题-12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数： （1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为 ；

（2）如图2，若k3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．

（3）如图3，若k3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

【知识考点】三角形综合题．

【思路分析】（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

【解答过程】解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，

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四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD， ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC， ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE≌△ACD，

∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC， ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD， ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°， ∵EF=BF， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°， 故答案为：45°．

（2）（1）中结论不成立，理由如下：

如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°， 四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD， ∵AC=∴

∵BD=AF， ∴

， BD，CD=

，

AE，

∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE∽△ACD， ∴

=

，∠FEA=∠ADC，

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD，∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°，

在Rt△EFB中，tan∠FBE=

，

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∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°，

（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH， ∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，

∴BE=DH，EH=BD， ∵AC=∴

BD，CD=

，

AE，

∵∠HEA=∠C=90°， ∴△ACD∽△HEA， ∴

，∠ADC=∠HAE，

∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°，

在Rt△DAH中，tan∠ADH=∴∠ADH=30°， ∴∠APE=30°．

【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．

6．（2018年四川省攀枝花市-第23题-12分）如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=

=

，

81．动4点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒． （1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=

9S△QCN时，求t的值； 4（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

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【知识考点】三角形综合题．

【思路分析】（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=

S△QCN构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可； 【解答过程】解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=∴BE=

•AC•BE=

，

，

=6，

．

在Rt△ABE中，AE=∴coaA=

=

=

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t， ∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2，

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2018年各地中考数学试题分类汇编

∵S△PQM=∴

S△QCN， ×

•CQ2， ×（5t）2，

•PQ2=

∴9t2+（9﹣9t）2=

整理得：5t2﹣18t+9=0， 解得t=3（舍弃）或∴当t=

．

S△QCN．

时，满足S△PQM=

（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．

易知：PM∥AC， ∴∠MPQ=∠PQH=60°， ∴PH=∴3t=∴t=

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

HQ， （9﹣9t），

．

同法可得PH=∴3t=∴t=

QH，

（9t﹣9），

，

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2018年各地中考数学试题分类汇编

综上所述，当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

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