高考数学一轮复习 不等式 第7课时 不等式的应用教学案 (2)

基础过关 1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．

2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题． 典型例题 xx

例1.若关于x的方程4＋a·2＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围.

x2

解:令t＝2(t＞0)，则原方程化为t＋at＋a＋1＝0，变形得

1t22a[(t1)2](222)222

1tt1变式训练1：已知方程sinx－4sinx＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是 （ ） A．[－3，6] B．[－2，6] C．[－3，2] D．[－2，2] 解:B

例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝所求的a，b值使y值最小.

根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 得b＝

30a(0＜a＜30) ① 2akkk＝ 26430aaaba32a22ak，其中k＞0为比例系数.依题意，即ab2

于是 y＝

k6434a2a2k342a2

≥

64a2k 18当a＋2＝

64时取等号，y达到最小值. a2这时a＝6，a＝－10(舍去). 将a＝6代入①式得b＝3.

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大. 由题设知 4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 即 a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0). 因为 a＋2b≥22ab， 所以 22ab+ab≤30，

当且仅当a＝2b时，上式取等号. 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18.

即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18.

2

所以2b＝18.解得b＝3，a＝6.

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

变式训练2：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于(

v2

)千米，运完这批物资至少需要 10 （ ）

A．10小时 B．11小时 C．12小时 D．13小时 解:C

2

例3. 已知二次函数y＝ax＋2bx＋c，其中a＞b＞c且a＋b＋c＝0. （1） 求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.

（2） 设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：3＜l＜23. 证明:(1)由a＋b＋c＝0得b＝－(a＋c).

22

Δ＝(2b)－4ac＝4(a＋c)－4ac

c232

)＋c]＞0. 24故此函数图象与x轴交于相异的两点.

(2)∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0. ＝4(a＋ac＋c)＝4[(a＋

2

2

由a＞b得a＞－(a＋c)，∴由b＞c得－(a+c)＞c，∴∴－2＜

c＞－2. a1c＜－. a21cc12＜－. l＝|x1－x2|＝4（）3. a2a2由二次函数的性质知l∈(3，23)

变式训练3：设函数f(x)＝x＋2bx＋c (c＜b＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．

(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；

(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负，并加以证明． 证明:(1)f(1)012bc0b又c＜b＜1，故cc1 22

c1113c 23又方程f(x)＋1＝0有实根，即x＋2bx＋c＋1＝0有实根．

22

故△＝4b－4(c－1)≥0，即(c＋1)－4(c＋1)≥0c≥3或c≤－1

1c13c由知b0 33c1由b2c3或c12

(2)f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc) (x1)

f(m)＝－1＜0 ∴c＜m＜1

c－4＜m－4＜－3＜c

∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0 ∴f(m－4)的符号为正．

例4. 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．

⑴ 把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域． ⑵ 为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？ 解:(1) y＝kv

2

s，v∈(p，q] vp(2) i) 2p≤q时，船的实际前进速度为p； ii) 2p＞q时，船的实际前进速度为q－p．

变式训练4：某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？ 解:设购卡x张，总费用y元． y＝240(x＋

64x)≥3840

x＝8时，ymin＝3840 3840÷48＝80(元)

答：每人最少交80元钱． 归纳小结 不等式的应用主要有两类：

⑴ 一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通． ⑵ 一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．