第三次课堂讨论与习题课

【知识要点】

1、 盈余过程的基本模型

UtuctSt, t0 u为初始资本

c为单位时间收取的保费（保费率）

NtStNi1Xi为时间0,t内的理赔总额

t为理赔次数过程

2、 破产概率的定义

破产时间：Tmintt0;Ut0

PUt0,t0

终极破产概率：u有限时间破产概率：

PTu,tPTtPUt0, t0,t

3、 破产概率的性质 （1）u2u1, u1（3）limu,tu。

tu2；

0; 0t1t2（2）u,t1u,t2u, u；

4、泊松过程的定义 泊松过程的定义：

（1） 全局性方法：如果Nt在长度为h的任意时间段内满足

PNthNtkNx,xthkeh

, t0, h0, k0,1,2...k!则称Nt,t0为泊松过程。由此定义可知，NthNt服从参数为h的泊松分布。

（2） 等待时间间隔法：如果理赔事件发生的等待时间间隔随

机变量W1,W2,W3,...同分布，且分布函数服从参数为

的指数分布，则称Nt,t0为泊松过程。

（3） 局部性方法：如果理赔次数满足下列三个条件，则称为

泊松过程： （Ⅰ）当t（2）在(t,t0时，理赔次数为零，即N00；

t]内是否发生理赔与t时刻以前的理赔事件

无关，并与时间的起始位置无关，但与区间长度有关。因此,泊松过程是一个平稳增量过程。

（3）在充分小的时间间隔内，至多发生一次理赔，且发生一次理赔的概率与区间长度h有如下关系：

PNthNt1hh

5、 复合泊松过程的定义

StX1X2...XNt

其中Xi同分布，且与理赔次数过程Nt相互, 理赔次数过程为泊松过程。

复合泊松过程的均值、方差和矩母函数：

EStt, VarSt1t2, MStretMXr1

6、 连续时间模型破产概率的计算

（1） 微分方程方法

定理5-2-3 对于泊松盈余过程，终极破产概率u满足

'ucuc

0u0uxdFxc1Fx11

例5-2-1 当泊松盈余过程中的理赔额服从参数为的指数分布时，其破产概率为为：

uuexp1110eRu。

（2）最大损失过程方法

最大损失随机变量：L事件{LmaxStctt0，

u}等价于“破产”，因此 破产概率可定义为：

uPrLu1PrLu1FLu

最大损失随机变量L可表示为：

LL1L2...LM，

其中：随机变量LjMj1,2,...代表Ut的第j个最低记录低于

第j1个最低记录的额度，且是同分布的；最低记录个数服从参数为10的几何分布，所以最大损失L服从复合几何分布，其参数也为10。

（1）破产时刻亏量的分布：

PrUtydy,y,T1111P dyy（2）盈余首次低于初始准备金的额度L1的密度函数：

fL1yy11101P1Py1

其中1, Py分别是个别索赔额的数学期望和分布函数。 盈余首次低于初始准备金的额度L1的矩母函数： MLr1110ery1Pydy11rMr1

X ELjkk1k1, k1,2,... 1（3）最大损失随机变量L的矩母函数： MrL

MMlnML1rX1Mr1, 推论5-2-2 泊松盈余过程Ut,t -00的破产概率满足

Xedruu1M(r)1X11(1)rp1M(r) （5.2.17）

当理赔额X为指数分布或混合指数分布时，通过求解上述微积分方程可得到破产概率的解析表达式。

例题5-2-5 若个别理赔额X的分布服从参数为的指数分布，

u根据（5.2.17）式，可求得uexp。

11p11例5-2-7当理赔额分布为fxp1e1x1p2e2x时，其破产概率可由0edruuk111rk222r 解得：

uk1e1uk2eX2u，其中1,2是（调节系数）方程

k1k211rp1M r的非零解，而k1,k2由下面联立方程确定：

11, k1k2012EL

（3）调节系数方法

定义5-4-1 对泊松盈余过程，若方程

crMXr （5.4.1） 或 11p1rMXr （5.4.2）

存在正数解，则其最小正数解R，被称为这个过程的调节系数。

调节系数的其它等价形式：

e0RceRx11FRSdxx0;1R

lnMSEe; McSR1; cR例5.4.1 设理赔额X服从均值为的指数分布，则由（5.4.2）式，可求得其调节系数R为：R

1。

定理5.4.4：设初始资本金uueEeRuRUT0，则破产概率为

T (5.4.11)

（1）若T，则UT0，故（4.18）式中的分母大于或等于1，因此ueRu（破产概率的指数型上界）。

b（2）如果个体理赔额X不超过b， 则UtRUtRbEeTe，从而，因此有

ueRub（破产概率下界）。

1例

u5-4-5 若X服从指数分布时，则uexp

117、 离散时间模型破产概率计算

UnuG1G2...Gn, n0,1,...

Gn代表时间点n1,n之间的收益，式中Un代表理赔总量，G1,G2,...是同分布的。破产时刻T、破产概率u和调节系数R0：

TminnUn0; uPrT; MGR1 索赔按复合泊松分布：R索赔按正态分布：R

R

22

【例题】

例1 设某险种承保的损失只发生一次，并已知： （1） 该损失发生在时刻t的概率为11t； （2） 理赔额的分布为fX100（3） 盈余过程方程Ut计算破产概率。

解：设理赔发生时刻为T，则

PucTSTPucTxiPXxi0.6, fX3000.4； 6020tSt

2i

ixiuPTPXxic

代入相关数值后，计算得

PucTST10060PTP2030060X100PTP2020X300120.6PT20.4PT120.60.6230.412130.7692dt1t20.4dt01t2

例2 假设泊松盈余过程的破产概率ue4u3,u0，个体

1索赔额X服从指数分布exp，求个体索赔额X的数学期望和ML2。

1u解：当索赔额X服从指数分布时，uexp，

11根据题意，有13, 14，由此解得2, 6。

6因此，索赔额X服从参数1EX的指数分布，其数学期望

116，

个体索赔额的矩母函数为MXrr66r，

将其与r

M2,2,6,11116代入方程

XLrMr1X1111rMr求得ML243。

例3 设泊松盈余过程的泊松参数1，个体索赔额X为均值

12的指数分布，保费收取费率c4，求破产概率。

解：由保费公式c11，得uu11e1112eu4。

c1141211，故

例4设泊松盈余过程的泊松参数求初始准备金u。 解：由保费公式c故u0.75eu122，个体索赔额X为均值

13的指数分布，保费收取费率c8，已知PLu0.5，

11，得uu12c11823113，

11e110.75e，由uPLu0.5，得

0.5，u12ln2ln3u12ln324.8656。

例5 考虑泊松盈余过程Ut布如下表：

X PuctSt，个别理赔额的分

1 0.5 2 0.3 3 0.1 4 0.1 x 设L1为首次降到初始准备金u以下的部分损失，计算VarL1。 解：1

10.520.330.140.11.8，

222210.520.3310.520.333330.10.132440.10.13

4.212从而得

EL12214.221.876, EL123311231.8209，

VarL1EL1E22L13170.8611。 9366202例6 某保险公司的理赔过程是复合泊松过程，泊松参数个体理赔额的分布为

X 1 P2，

2 0.3 3 0.2 4 0.1 x 0.4 已知调节系数R0.5，计算0。

解：理赔额分布的矩母函数为

MXrEerXei14rxiPXxi0.4e0.3er2r0.2e3r0.1e4r

在公式

cRMXR中代入2,R0.5，求得

cMXR1R0.5110.420.330.240.12, 20.4e0.50.3e0.2e1.50.1e128.4408

c118.44082211.1102

0110.4739。

例7 已知破产概率u加费率和调节系数R。 解：0

0.3e2u0.2e4u0.1e7u，求安全附

230.30.20.10.611 4u10.6u71

0eru'udu2ru0eru0.6e2u0.8e0.7e0.6du0.80.700.6e0.8e4ru0.7e7rudu2r4r7r另一方面 0因此

eru'uduMXMXr1X1111rM0.62r0.84r0.7r

r1X1111rMr7r由于调节系数方程 数R111rMXr0 使上式左边趋

于无穷大，而右端在r取2，4，7时可达到无穷大，故调节系

min2,4,72。

【2008年春季相关考题】19-23题

19. 一种保单组合，至多可能发生一次理赔，概率为 0.1，并且：

I. 发生时刻T 在[0, 50]之间均匀分布；

II. 赔额S的概率分布为：P(S =1000) = 0.8, P(S = 5000) = 0.2 。

设保险人的盈余过程为 U(t) = 900 +100t − S(t)，则破产概率为( )。

(A) 0.012 (B) 0.014 (C) 0.016 (D) 0.018 (E) 0.020

20－21 题的条件如下：

已知某泊松盈余过程，个别理赔额变量X 服从期望为2 的指数分布，安全系数为0.15。

20. 调节系数 R 为( )。

(A) 0.055 (B) 0.060 (C) 0.065

21. 为保证破产概率低于 0.05，最小的初始准备金应为(A) 44 (B) 45 (C) 46 (D) 47

(D) 0.070 (E) 0.075 ( )。 (E) 48 22.某保单组合发生索赔的时刻为t = 0.5,1.5,2.5,...,个别理赔额变量服从[0,4]区间上的均匀分布，安全系数为0.1，初始准备金为2，保费在整数时间段的期初交纳。在时刻t = 2之前该保单组合的破产概率为 ( )。

(A) 0.08 (B) 0.18 (C) 0.22 (D) 0.24 (E) 0.28

23. 某保险公司的初始准备金为 10，理赔过程是复合泊松过程，个别理赔额的分布为

P(X =1) = 0.5, P(X = 2) = 0.3, P(X = 3) = 0.2

已知调节系数R = 0.5，盈余首次低于初始准备金的概率为（ ）。 (A) 0.15 (B) 0.29 (C) 0.33 (D) 0.49 (E) 0.55