数学分析学资料

数学分析学复习资料

第一章

集合与映射

第一节、集合及其运算

1． A  (B  C)  ( A  B) 󰀀（可做填空题）

2． A  (B  C)  ( A  B) 󰀀. （可做填空题） 第二节、关系与映射

1. 设 f : X  Y , A  X , B  X ，则 f ( A  B)

f ( A)  f (B) （可做填空题） f ( A)  f (B) 。（可做填空题）

2. 设 f : X  Y , A  X , B  X ，则 f ( A  B)

1． f : X  Y. 当 f （

）时， B  Y , 有 f ( f 1 (B))  B 。 C．是满射

D．是单射

（可做选择题）

A．连续 B． 可导

2． f : X  Y ，当 f （ A．连续 B．可导 第一节、等价关系

）时， A  X ，有 f 1 ( f ( A))  A

D．是单射

（可做选择题）

C．是满射

1 ． 设 R 为集合 X 中的等价关系， [x]R 是 x 的等价类， 对于 x, y  X ， 若 [x]R [ y]R  ，则[x]R  [ y]R 。(可做证明题)

2 ． R1 , R2 是集合 A 中的两个等价关系。证明： 若 R1 R2 是等价关系， 则

R1 R2 = R2 R1 。（可做证明题） 第二节、序关系（可做一般掌握） 第三节、基数（可做一般掌握） 第二章 数集

第一节、自然数集（可做一般掌握） 第二节、整数集

1. 按教材中定义，0 是（

）

D．超越数

（可做选择题）

A．自然数 B．整数而不是自然数 C．奇数

第三节、有理数集（可做一般试题） 第四节、实数集

1. 设 E 是非空实数集，  sup E 当且仅当 1）

，2）  0, x0  E 有

  x0 .（可做填空题）

2. ． 设 E 是非空实数集，  inf E 当且仅当 1 ）

； 2 ）

 0, x0  E 有 x0   。（可做填空题）

3 ． 有 限 覆 盖 定 理 是 ： 若 开 区 间 集 S 覆 盖 闭 区 间 [a, b] ，

则 。（可做填空题）

.（可做填空题）

4. 致密性定理是：有界数列{xn } 必有

5. 设 xn  (1 2 3 4 5) ，求lim x n。（可做计算题）

n

n

n

n

n

1 n

n

第五节、复数集（可做证明题、选择题）

1.设 z z 是两个复数，求 z 1. 1与 z 2 z  z 1  2( 2 z  z 1 ) ，并说明几何意义2 2． e  (

2

2 2 2 2

i

)

A．1

B． i

1 C．

D．  i

第三章 函数

第一节、定义及其运算（可做填空题、计算题）

1. 定义实数集 R 上的两个函数 f 1 (x)  1与 f 2( x)  sin x  cos x ，它们之间的关

2 2

系是 A．相等

B． 不相等 C．线性无关

1

2. 已知 f (x) ，求 f ( f ( f (x)))

1  x x

3. 设 f (x) ，求 f ( f (x)) 。

x  1

D．相似

4. 一物体从4.9 米高处自由落下，求物体撞击地面的速度。

第二节、函数的分析性质（可做选择题）

1. 若函数 f (x) 在点a 可导，则 f (x) 在点a （

）

A．可导

B．连续 C．间断 D．无定义

）。

1 

x sin , x  0

2. 若函数 f (x)  ，则 f (x) 在 x  0 （ x

x  0  0, A．连续

B．可导 C．间断 D．无定义

）.

3．设 f (x) 是其定义域内可导，则（ A． f (x) 在其定义域内有界；

B． f (x) 在其定义域内有界

C． 在其定义域内有界有 D．前三个结论都不对

f (x)

1

第三节、初等函数及其性质（可做选择题、计算题、证明题）

1. f  sin x  cosx 是（

）。

D．有界函数

A．周期函数 B．奇函数 C．偶函数

2. 求函数 f (x)  3 x 2  3x  2 的定义域与极值。 1

3. 若 x  0 ，证明：不等式 x  x3  sin x  x ．

6

4. 若T0 是 f (x) 的周期，则 f (x) 的任一正周期T 必是T0 的正整数倍。

5. 设 f (x) 是其定义域内的严格单调增加函数，则（

A. f (x) 不一定有反函数；

B. f (x) 有连续的反函数；

C. f (x) 有反函数且反函数严格单调增加；

D. f (x) 有反函数且反函数严格单调减少。

）

6. 设 S  Rn 是一非空有界闭凸集， f : S  R 是严格下凸函数，x 0  S 是极小值点，则（ ）. A. x0 是最小值点.

B. x0 不一定是最小值点C．还可能有其他的极小值点

D．前三个结论都不对

7. 求a 为何值时， f (x)  1  x 2  ax 是严格单调增加函数？.

8. 证明方程 x5  2x 2  4x  6  0 在(1,1) 内有且仅有一实根。 1

9．证明：当 x  0 时，有 x  x 2  ln(1  x)  x .

2 第四节、超越性质（可做选择题）

1

1． f (x)  x 是（

2 ）。

C． 多项式函数

D．有理函数

A．代数函数 第三章

B．超越函数

对数函数与指数函数

第一节、对数函数的公理化定义(可做一般掌握) 第二节、对数函数的其他定义（可做填空题）

x 1 x 1．对于 x  0 ，令 L(x)   dt ，则对于 x  0, y  0 ，有 L( ) 󰀀.

1 t y

第三节、指数函数（可做填空题）

1．设 E(x)  1 xn ，则 E(x) 󰀀。

n0 n!



第四节、一些应用（可做一般掌握） 第五章

三角函数

第一节、公理化定义（可做证明题）

A B C 3

若 A, B, C 为三角形的三个内角，证明： sin  sin  sin  2 2 2 2

3

2. 设 A, B, C 为三角形三内角，则sin A  sin B  sin C  3 .

2

1. 第二节、三角函数的分析性质（可做一般掌握） 第三节、几何解释与唯一性（可做一般掌握） 第四节、三角函数的公理体系（可做一般掌握） 第五节、三角函数的其他定义（可做填空题） (1)n1 2n1 1．设(x)   x ，则() 󰀀。

n1 (2n 1)!



1 2n

x ，则 f () 󰀀_ . 2．设 f (x)  (1)

(2n)! n0

n

第六节、三角函数的应用（可做一般掌握） 第六章

极值问题

第一节、凸函数与极值（可做一般掌握） 第二节、一般函数的极值问题（可做计算题）

1．在第一象限内有定点 A(a, b) ，过点 A 做线段 MN ，点 M 在 X 轴的正半轴上， 点 N 在 Y 轴的正半轴上， O 为坐标原点。求点 M 与点 N 的坐标各为多少时 MON 的面积最小，最小面积是多少？. 第三节、泛函极值与欧拉方程 第四节、欧拉方程积分法第五节、等周问题

第六节、控制问题中的例子