第八章 多元函数微分法及其应用

第八章 多元函数微分法及其应用

教学目的：

1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、 了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学重点：

1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分；

3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数

6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 7、多元函数极值和条件极值的求法。 教学难点：

1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式；

5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法；

7、多元函数的最大值和最小值。

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高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

§8 1 多元函数的基本概念

一、平面点集n维空间

1．平面点集

由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点P与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点P视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面

二元的序实数组(x y)的全体 即R2RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P}

例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C{(x y)| x2y2r2}

如果我们以点P表示(x y) 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 C{P| |OP|r}

邻域

设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0(x0 y0)距离小于的点P (x y)的全体 称为点P0的邻域 记为U (P0  即

22 U(P0,){(x, y)| (xx0)(yy0) } 0,){P| |PP0|}或U(P 邻域的几何意义 U (P0 )表示xOy平面上以点P0(x0 y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P (x y)的全体 

点P0的去心邻域 记作U(P0, ) 即 U(P0, ){P| 0|P0P|}

注 如果不需要强调邻域的半径 则用U (P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作

U(P0)

点与点集之间的关系

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点 (2)外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点

(3)边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点

E的边界点的全体 称为E的边界 记作E

E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E  聚点

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如果对于任意给定的0 点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点 则称P是E的聚点 由聚点的定义可知 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E  例如 设平面点集

E{(x y)|1x2y22}

满足1x2y22的一切点(x y)都是E的内点 满足x2y21的一切点(x y)都是E的边界点 它们都不属于E 满足x2y22的一切点(x y)也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点

开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集 闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E为闭集 开集的例子 E{(x y)|1集合{(x y)|1x2y22}既非开集 也非闭集

连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集

区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E{(x y)|1x2y22}

闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E  {(x y)|1x2y22} 有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得

EU(O r)

其中O是坐标原点 则称E为有界点集

无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集

例如 集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域 集合{(x y)| xy1}是无界闭区域 2 n维空间

设n为取定的一个自然数 我们用Rn表示n元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即

RnRRR{(x1 x2     xn)| xiR i1 2  n}

Rn中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2     xn) 当所有的xi (i1 2  n)都为零时 称这样的元素为Rn中的零元 记为0或O  在解析几何中 通过直角坐标 R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而Rn中的元素x(x1 x2     xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 特别地 Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量

为了在集合Rn中的元素之间建立联系 在Rn中定义线性运算如下 设x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为Rn中任意两个元素 R 规定 xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn) 这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间

Rn中点x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作(x y) 规定

(x,y)(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2

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显然 n1 2 3时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至

Rn中元素x(x1 x2     xn)与零元0之间的距离(x 0)记作||x||(在R1、R2、R3中 通常将||x||记作|x|) 即

222 ||x||x1 x2    xn采用这一记号 结合向量的线性运算 便得

||xy||(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2(x,y)

在n维空间Rn中定义了距离以后 就可以定义Rn中变元的极限 设x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)Rn 如果

||xa||0

则称变元x在Rn中趋于固定元a 记作xa  显然

xa  x1a1 x2a2     xnan 

在Rn中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到n(n3)维空间中来 例如

设a(a1 a2     an)Rn 是某一正数 则n维空间内的点集

U(a ){x| x Rn (x a)}

就定义为Rn中点a的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念 二 多元函数概念

例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系 V r2h

这里 当r、h在集合{(r  h) | r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V对应的值就随之确定 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 pRTV其中R为常数 这里 当V、T在集合{(V T) | V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p的对应值就随之确定

例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系 RR1R2

R1R2这里 当R1、R2在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1  R2)时 R的对应值就随之确定 

定义1 设D是R2的一个非空子集 称映射f  DR为定义在D上的二元函数 通常记为

zf(x y) (x y)D (或zf(P) PD)

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其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量

上述定义中 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值 也称为f在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y)

值域 f(D){z| zf(x y) (x y)D}

函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等

类似地可定义三元函数uf(x y z) (x y z)D以及三元以上的函数

一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f  DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为

uf(x1 x2     xn) (x1 x2     xn)D 或简记为

uf(x) x(x1 x2     xn)D 也可记为

uf(P) P(x1 x2     xn)D 

关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如

函数zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域)

函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x y)|x2y21}(有界闭区域)

二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面

例如 zaxbyc是一张平面 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面

三 多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似 如果在P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值f(x y)无限接近于一个确定的常数A 则称A是函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 定义2

设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当P(x,y)DU(P0,)时 都有 |f(P)A||f(x y)A|

成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为 也记作

limf(P)A或f(P)A(PP0)

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A 或f(x y)A ((x y)(x0 y0))

上述定义的极限也称为二重极限

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例4. 设f(x,y)(x2y2)sin 证 因为

1 求证limf(x,y)0

(x,y)(0,0)x2y210| |x2y2||sin1| x2y2

xy2x2y22 |f(x,y)0||(x2y2)sin可见 >0 取 则当

0(x0)2(y0)2 即P(x,y)DU(O,)时 总有

|f(x y)0|

因此

(x,y)(0,0)limf(x,y)0

必须注意 

(1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论

xy x2y20 函数f(x,y)x2y2在点(0 0)有无极限？ 

220 xy0 提示 当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时

(x,y)(0,0)limf(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0当点P(x y)沿y轴趋于点(0 0)时

(x,y)(0,0)limf(x,y)limf(0, y)lim00

y0y0当点P (x y)沿直线ykx有

2xykxlimlim222k2  22(x,y)(0,0)xyx0xkx1k ykx因此 函数f(x y)在(0 0)处无极限

极限概念的推广 多元函数的极限

多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例5 求

sin(xy) x(x,y)(0,2)lim喀什师范学院数理系应用数学教研室

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解

sin(xy)sin(xy)sin(xy)limylimlimy122 xxy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)lim 四 多元函数的连续性

定义3 设二元函数f(P)f (x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚点 且P0D  如果

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0)

则称函数f (x y)在点P0(x0 y0)连续

如果函数f (x y)在D的每一点都连续 那么就称函数f (x y)在D上连续 或者称f (x y)是D上的连续函数

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去 例6设f(x,y)sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数

证 设P0(x0 y0) R2 0 由于sin x在x0处连续 故0 当|xx0|时 有 |sin xsin x0|

以上述作P0的邻域U(P0 ) 则当P(x y)U(P0 )时 显然 |f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0|

即f(x y)sin x在点P0(x0 y0) 连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续 证 对于任意的P0(x0 y0)R2 因为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)(x,y)(x0,y0)limsinxsinx0f(x0,y0)

所以函数f(x,y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续

类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的

定义4设函数f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)不连续 则称P0(x0 y0)为函数f(x y)的间断点 例如

xy x2y20 函数f(x,y)x2y2

x2y200 其定义域DR2 O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点O(0 0)是该函

数的一个间断点 又如 函数zsin1 其定义域为D{(x y)|x2y21} 圆周C{(x y)|x2y21}上的点2xy12都是D的聚点 而f(x y)在C上没有定义 当然f(x y)在C上各点都不连续 所以圆周C上各点都是该函数的间断点

注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点

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可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数

多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的

xx2y2x2y2z2 例如 sin(xy) 都是多元初等函数 e1y2 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域

由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则

limf(P)f(P0)

pp0 例7 求

xy 

(x,y)(1,2)xylim 解 函数f(x,y)xy是初等函数 它的定义域为 xy D{(x y)|x0 y0}

P0(1 2)为D的内点 故存在P0的某一邻域U(P0)D 而任何邻域都是区域 所以U(P0)是f(x y)的一个定义区域 因此

f(x,y)f(1,2)3

2(x,y)(1,2)limPP0 一般地 求limf(P)时 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则f(P)在点P0处连续 于是

limf(P)f(P0)

PP0 例8 求

(x,y)(0, 0)limxy11 xy 解

(x,y)(0, 0)limxy11(xy11)(xy11)1lim1 lim(x,y)(0, 0)xy112xy(x,y)(0, 0)xy(xy11)

多元连续函数的性质

性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值

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性质1就是说 若f(P)在有界闭区域D上连续 则必定存在常数M0 使得对一切PD 有|f(P)|M 且存在P1、P 2D 使得

f(P1)max{f(P)|PD} f(P2)min{f(P)|PD}

性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

§8 2 偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数zf(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数 这函数对x的导数 就称为二元函数zf(x y)对于x的偏导数

定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相应地函数有增量

f(x0x y0)f(x0 y0)

如果极限

x0limf(x0x,y0)f(x0,y0)

x存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作

fz

xx0 xx zxyy0xyy00x例如

xx0yy0 或fx(x0,y0)

fx(x0,y0)limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)

x类似地 函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y 的偏导数定义为

y0limf(x0,y0y)f(x0,y0)

y记作

fzxx0 yyy0yxx0 yy0zyxx0yy0 或fy(x0 y0)

偏导函数 如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x、y的函数 它就称为函数zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作

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z f z 或f(x,y)

xxxxf(xx,y)f(x,y)偏导函数的定义式 fx(x,y)lim

xx0 类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

zf  zy  或fy(x,y) yyy0偏导函数的定义式 fy(x,y)lim 求导数

f(x,yy)f(x,y)

yff时 只要把y暂时看作常量而对x求导数 求时 只要把x暂时看作常量而对y求xy 讨论 下列求偏导数的方法是否正确？

fx(x0,y0)fx(x,y)xx0 fy(x0,y0)fy(x,y)xx0 

yy0yy0 fx(x0,y0)[df(x,y)]df(x,y)]f(x,y)[ y000yy0 0xx0dydx 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为

fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z)

x其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例1 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数 解

z2x3y z3x2y zyxxx121328

y2zyx131227 y2

例2 求zx2sin 2y的偏导数

z2xsin2y z2x2cos2y

yxxz1z2z 例3 设zxy(x0,x1) 求证 

yxlnxyzyxy1 zxylnx

证

yx 解

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xz1zxyxy11xylnxxyxy2z

yxlnxyylnx 例4 求rx2y2z2的偏导数 解

yyrxx r xx2y2z2ryx2y2z2r 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数) 求证

pVT1 VTpRT pRT 

VV2VRTVR V 

pTppVTV T pRR 证 因为p所以

pVTRVRT1

RTVTppVV2pR 例5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商 二元函数zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 

fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线zf(x y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y是截线zf(x0 y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率

偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如

xy x2y20 f(x,y)x2y2

x2y200 在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续 提示

f(x, 0)0 f(0, y)0 fx(0, 0)

d[f(x, 0)]0 f(0, 0)d[f(0, y)]0

ydydx喀什师范学院数理系应用数学教研室

高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 有

(x,y)(0,0)limf(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0 当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有

2xykxk 

lim

(x,y)(0,0)x2y2x0x2k2x21k2lim ykx因此

(x,y)(0,0)limf(x,y)不存在 故函数f(x y)在(0 0)处不连续

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

zf  zy  或fy(x,y) yyy0偏导函数的定义式 fy(x,y)lim 二 高阶偏导数

f(x,yy)f(x,y)

y 设函数zf(x y)在区域D内具有偏导数

zf(x,y) zf(x,y)

yyxx那么在D内fx(x y)、fy(x y)都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数zf(x y)在区域D内的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数

(z)2zf(x,y)(z)2zf(x,y)  

xxx2xxyxxyxy

(z)2zf(x,y) (z)2zf(x,y)

yyxyyxyxyyy2(z)2zf(x,y)(z)2zf(x,y)其中 称为混合偏导数 

yxxyxyxyyxyx 喀什师范学院数理系应用数学教研室

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(z)2z(z)2z(z)2z (z)2z 

 

xxx2yxxyxyyxyyy2 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数  二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

222z3zzz

例6 设zxy3xyxy1 求2、3、和

yxxyxx32

3

解

z3x2y23y3y z2x3y9xy2x

yx2z6xy23z6y2  

x3x222zz6x2y9y21 226xy9y1

xyyx

22zz 由例6观察到的问题

yxxy 定理 如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数域内这两个二阶混合偏导数必相等

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数

2z及2z在区域D内连续 那么在该区yxxy22zz 例7 验证函数zlnxy满足方程220 xy22 证 因为zlnx2y2ln(x2y2) 所以

12zx zy xx2y2yx2y22(x2y2)x2xy2x2z 222 x2(x2y2)2(xy) 喀什师范学院数理系应用数学教研室

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2(x2y2)y2yx2y2z 222

y2(x2y2)2(xy)22x2y2y2x2zz因此 2220 xy(xy2)2(x2y2)2222uuu1 例8．证明函数u满足方程2220

rxyz其中rx2y2z2

u1r1xx

xr2xr2rr32u13xr13x2 

x2r3r4xr3r5 证

23y22u13z2u1同理   235235zrryrr222223y2uuu13x113z因此222(35)(35)(35) xyzrrrrrr23(x2y2z2)333r350 3rr5rrr3x(r3)r3x3r2r2u(x)xx 提示 2366xxrrr

§8 3全微分及其应用 一、全微分的定义

根据一元函数微分学中增量与微分的关系有 偏增量与偏微分

f(xx y)f(x y)fx(x y)x

f(xx y)f(x y)为函数对x的偏增量 f x(x y)x为函数对x的偏微分 f(x yy)f(x y)fy(x y)y

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f(x yy)f(x y)为函数)对y的偏增量 f y(x y)y为函数对y的偏微分 全增量 z f(xx yy)f(x y)

计算全增量比较复杂 我们希望用x、y的线性函数来近似代替之 定义 如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量 z f(xx yy)f(x y) 可表示为

zAxByo() ((x)2(y)2 )

其中A、B不依赖于x、y 而仅与x、y 有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微分 而称AxBy为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz 即 dzAxBy

如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分 可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续 这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微则 z f(xx yy)f(x y)AxByo()于是 limz0

0从而

(x,y)(0,0)limf(xx,yy)lim[f(x,y)z]f(x,y)

0因此函数zf(x y)在点(x y)处连续 可微条件 定理1(必要条件)

如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导数y)在点(x y)的全微分为 dzz、z必定存在 且函数zf(x

xyzxzy

xy 证 设函数zf(x y)在点P(x y)可微分 于是 对于点P的某个邻域内的任意一点P (xx yy) 有zAxByo() 特别当y0时有 f (xx y)f(x y)Axo(|x|) 上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得

f(xx,y)f(x,y)A

xx0z存在 且zA同理可证偏导数z存在 且zB 所以

从而偏导数

yyxx lim

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dzzxzy

xy 简要证明设函数zf(x y)在点(x y)可微分 于是有zAxByo() 特别当y0时有 f (xx y)f(x y)Axo(|x|) 上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得

f(xx,y)f(x,y)o(|x|)lim[A]A

xxx0x0z存在 且zA同理z存在 且zB 所以dzzxzy 从而

xyyyxxz、z存在是可微分的必要条件 但不是充分条件

偏导数

xy lim 例如

xy x2y20 函数f(x,y)x2y2在点(00)处虽然有f x(0 0)0及f y(0 0)0但函数在

0 x2y20(00)不可微分即z[fx(0 0)xfy(0 0)y]不是较高阶的无穷小 这是因为当(x y)沿直线yx趋于(0 0)时

定理2(充分条件) 如果函数zf(x y)的偏导数

z[fx(0, 0)xfy(0, 0)y]xyxx10

(x)2(y)2(x)2(x)22z、z在点(x y)连续 则函数在该点可微分 xy 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数

按着习惯x、y分别记作dx、dy 并分别称为自变量的微分则函数zf(x y)的全微分可写作

dzzdxzdy xy 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数uf (x y z) 的全微分为 duudxudyudz

xyz 例1 计算函数zx2y y2的全微分

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解 因为

z2xy zx22y

yx所以dz2xydx(x22y)dy 

例2 计算函数zexy在点(2 1)处的全微分 解 因为

zyexy zxexy yxzz22x2e x22e xy1yy1

所以 dze2dx2e2dy  例3 计算函数uxsin 解 因为

yyze的全微分 2u1 u1cosyzeyz uyeyz

y22zx12y2所以 dudx(coszeyz)dyyeyzdz *二、全微分在近似计算中的应用

当二元函数zf (x y)在点P (x y)的两个偏导数f x (x y)  f y (x y)连续 并且|x| |y|都较小时 有近似等式

z dz f x (x y)xf y (x y)y 

即 f (xx yy)  f(x y)f x (x y)xf y (x y)y  我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算

例4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由20cm增大到20 05cm 高度由100cu减少到99cm 求此圆柱体体积变化的近似值

解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V 则有 V r 2h 

已知r20 h100 r0 05 h1 根据近似公式 有 VdVVrrVhh2rhrr2h

2201000 05202(1)200 (cm3) 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3 例5 计算(1 04)202的近似值

解 设函数f (x y)x y  显然 要计算的值就是函数在x104 y202时的函数值f(104 202) 取x1 y2 x004 y002 由于

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f (xx yy) f(x y)f x(x y)xf y(x y)y

x yyxy1xx yln x y 

所以

(104)20212212100412ln1002108

例6 利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是

24l g2

T现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=100±0.1cm、T=2±0.004s.问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少？

解 如果把测量l与T所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是

24l二元函数g2的全增量的绝对值|Δg|.由于|Δl||ΔT|都很小因此我们可以用dg来近似地代替

TΔg这样就得到g的误差为

gglT| lTgg| ||l|lTT12l 42(2l3T) TT |g||dg||其中l与T为l与T的绝对误差 把l=100 T=2, l=0.1, δT=0.004代入上式 得g的绝对误差约为

121000.004g42(0.2) 322 0.524.93(cm/s2).

20.520.500

g410022g从上面的例子可以看到对于一般的二元函数z=f(x, y), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为x、

y, 即

|Δx |x, |Δy |y, 则z的误差

zxzy|

xyzz |||x||||y|

xy |z||dz||

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|从而得到z的绝对误差约为

z||z|

xxyyz||z| xxyy z|z的相对误差约为

zzy zxx

|z|zzy

§8 4 多元复合函数的求导法则

dz？

dtz和z？

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求

xy 设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求 1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv dtudtvdt 简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有 dzzduzdv uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有 du代入上式得

dudt dvdvdt dtdtzdudtzdvdt(zduzdv)dt udtvdtudtvdtdzzduzdv

从而

dtudtvdt dz 简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有 z

zuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdt喀什师范学院数理系应用数学教研室

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zduzdv)t(zz)o(t)o()

udtvdtuvzzduzdv(zz)o(t)o() 

tudtvdtuvtt (令t0 上式两边取极限 即得

dzzduzdv dtudtvdto()o()(u)2(v)2注limlim0(du)2(dv)20

tdtdtt0tt0推广 设zf (u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为 上述

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdtdz称为全导数 dtzzuzv zzuzv xuxvxyuyvyzzuzvzw zzuzvzw xuxvxwxyuyvywy 推广 设zf(u v w ) u(x y) v(x y) w(x y) 则

讨论

z？z？

yxzzu zzuzdv

提示

xuxyuyvdyz？z？

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则

yxzfuf zfuf

提示

xuxxyuyyz与f是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的偏导数 f这里

xxxxzf是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似的区别

yy (1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则

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3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

例1 设zeusin v uxy vxy 求 解

zzu zzuzdv

xuxyuyvdyz和z xyzzuzv xuxvx eusin vyeucos v1 ex y[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv

yuyvy eusin vxeucos v1 exy[x sin(xy)cos(xy)] 例2 设uf(x,y,z)ex 解

2y2z2 而zx2siny 求

u和u xyuffz

xxzx2 2xexy2z22zex2y2z22xsiny



2x(12x2sin2y)ex

2y2x4sin2yuffz yyzy2 2yexy2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycosy)ex2y2x4sin2y

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数 解

dz dtdzzduzdvz dtudtvdtt喀什师范学院数理系应用数学教研室

vetu(sin t)cos t

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etcos te tsin tcos t et(cos tsin t)cos t 

2ww 例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及

xxz 解 令uxyz vxyz  则wf(u v)

f(u,v)f(u,v)f11f22等  f12 同理有f2uuvwfufvfyzf 2 xuxvx12w(fyzf)f1yfyzf2 22xzz1zz 引入记号 f1xyf12yf2yzf21xy2zf22 f11y(xz)f12yf2xy2zf22 f11 注

f1f1uf1vfffxyf12 22u2vf21xyf22 f11zuzvzzuzvz 例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式 (1)(u)2(u)22u2u (2)22 xyxy解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ) 其中xcosθ ysinθ

x2y2 arctany x应用复合函数求导法则 得

uuuuxuyucosuysin xxx2uuuuyuxusinucos

yyy2

两式平方后相加 得 (u)2(u)2(u)21(u)2

xy2再求二阶偏导数 得

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高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

2u(u)(u)

x2xxxx(ucosusin)cos (ucosusin)sin    2ucos222usincos2usin2

2222u2sincosusin

2同理可得

22222uuusincosucos2sin2

y22222u2sincosucos

 2两式相加 得

2222uuu11u



x2y222221u()u] 2[2

全微分形式不变性 设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分 dzzduzdv uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zdxzdy

xyzuzv)dx(zuzv)dy (

uxvxuyvy dz

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 z(udxudy)z(vdxvdy)

uxyvxyzduzdv uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分 解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv  e usin v(y dxx dy ) e ucos v(dxdy)

( ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v )dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8 5 隐函数的求导法则

一、一个方程的情形 隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

Fdyx dxFy 求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0 等式两边对x求导得

FFdy0 xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得

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Fdyx dxFy 例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

Fdydyxx 0 dxFyydxx0x)yx(d2yyxyyy2x21 dx2y2y2y3y3

d2y1

dx2x0 隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数 隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

zFx zFy xFzyFz 公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0 将上式两端分别对x和y求导 得 FxFzz0 FFz0

yzyx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

zFx zFy

xFzyFz2

2

2

2z 例2. 设xyz4z0 求2

x

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解 设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4

zFx2xx

xFz2z42z

(2x)xz(2x)x(x)(2x)2x2zx2z 22x(2z)(2z)2(2z)32 二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx

v

x2y2x2y2 事实上 xuyv0 vyxuyuxxu1u2 yyxy2yvx222x2

yxyxy 如何根据原方程组求u v的偏导数？ 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3

设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列式

F(F,G)u J(u,v)GuFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

Fxu1(F,G)Gx

xJ(x,v)FuGuFvGv FvGv 喀什师范学院数理系应用数学教研室

高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用 Fuv1(F,G)Gu xJ(u,x)FuGuFxGx FvGv

u1(F,G) yJ(y,v)FuFvGuGvFuFyGuGyFyFvGyGv

v1(F,G)

yJ(u,y)FuFvGuGv

隐函数的偏导数:

设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,xuxvxuv 偏导数 由方程组确定

uvxxGxGuGv0.xxFFuFv0,yuyvyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGyGuGv0.yyu v u和v

例3 设xuyv0 yuxv1 求

xxyy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于

u和v的方程组 xxuxuyv0xx uvyvx0xx当x2y2 0时 解之得

uxuyv vyuxv

xx2y2xx2y2 喀什师范学院数理系应用数学教研室

高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于

u和v的方程组

yyxuvyv0yy uvuyx0yy当x2y2 0时 解之得

uxvyu vxuyv

yx2y2yx2y2 另解 将两个方程的两边微分得 udxxduvdyydv0xduydvvdyudx 即

udyyduvdxxdv0yduxdvudyvdxxuyvxvyudxdy 2222xyxy解之得 du dvyuxvxuyvdxdy

x2y2x2y2于是

uxuyv uxvyu xx2y2yx2y2xuyvvyuxv v 22xx2y2yxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数 又 (1)证明方程组

(x,y)0 (u,v)xx(u,v)

yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y) (2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数 解 (1)将方程组改写成下面的形式

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F(x,y,u,v)xx(u,v)0

G(x,y,u,v)yy(u,v)0(F,G)(x,y)0.

(u,v)(u,v)则按假设 J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得 xx[u(x,y),v(x,y)]

yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

1xuxv uxvx

yy0uvuxvx由于J0 故可解得 同理 可得

§8 6多元函数微分学的几何应用

一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为 x(t) y(t) z(t) 这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

u1yv1y 

JuxJvxu1xv1x 

yJvyJuxx0yy0zz0 xyz当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑

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xx0yy0zz0 xyztttxx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量 T((t0) (t0) (t0)) 就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程 解 因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以 T (1 2 3) 于是 切线方程为 法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为 y(x) z(x) 问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x)) 2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0 问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数 y(x) z(x) 曲线的参数方程为 xx y(x) z(x) 

x1y1z1

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dydz0FFFxyzdydzdxdx由方程组可解得和

dydzdxdxGxGyGz0dxdx切向量为T(1, dydz, ) dxdx 例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程  解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得

dydz02x2y2zdxdx dy1dz0dxdx解方程组得

dyzxdzxy  dxyzdxyzdy0 dz1 dxdx在点(1 2 1)处

从而T (1 0 1) 所求切线方程为 法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0 解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得

x1y2z1

101dydz02x2y2zdxdx dy1dz0dxdx方程组在点(1 2 1)处化为

2dydz1 dxdx

dydz1dxdx解方程组得

dy0 dz1 dxdx从而T (1 0 1) 所求切线方程为

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法平面方程为

x1y2z1

101 (x1)0(y2)(z1)0 即xz0

二 曲面的切平面与法线 设曲面的方程为 F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点 并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为 x(t) y(t) z(t) 

tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为 T ((t0) (t0) (t0)) 考虑曲面方程F (x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0 引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0yy0zz0 Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0) 曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量 n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0)) 就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式 解 F(x y z) x2y2z214 Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

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法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3) 所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140 法线方程为

x1y2z3

123 讨论 若曲面方程为zf(x y)  问曲面的切平面及法线方程式是什么形式 提示 此时F(x y z)f(x y)z  n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1) 例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程 解 f (x y)x2y21

n(fx fy 1)(2x 2y 1) n|(2 1 4)(4 2 1) 所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60 法线方程为

§8 7 方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos  (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

x2y1z4

421f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在 则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作

fl(x0,y0) 即

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fl(x0,y0)limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t 从方向导数的定义可知 方向导数率

方向导数的计算

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化

定理 如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦 简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t) 所以 limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

t这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2) xt cos  yt cos 

(x)2(y)2t

讨论 函数zf (x y)在点P 沿x轴正向和负向 沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

ff lxff 沿x轴负向时 cos1 cos0  

lx 沿x轴正向时 cos cos0

例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数 解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

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高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

el(1, 1)

22 因为函数可微分 且所以所求方向导数为

zx(1,0)e2y1 z(1,0)y(1,0)2xe2y(1,0)2

z112(1)2

l(1,0)222 对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fl(x0,y0,z0)limt0f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)

t 如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60

解 与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(, 因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3 fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3 fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

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122, 1)22fl3132211(532)

2222(1,1,2)高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即 grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得最大值 这个最大值就是梯度

(x0,y0)的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值 讨论

f的最大值 l 结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为 zf(x,y)

zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为 f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf (x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为 n1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

22fx(x0,y0)fy(x0,y0)这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数

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f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 nf gradf(x0,y0)n

n 这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量 fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即 grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值 如果引进曲面 f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

1 xy21

解 这里f(x,y)2xy2 例3 求grad 2 因为

ff2y22x22 222 xy(xy)(xy)2y12xij

x2y2(x2y2)2(x2y2)2所以 grad 例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2) 解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z) 于是 grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来

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确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力

场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而 F (M)P(M)iQ(M)jR(M)k 其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场 例5 试求数量场

m所产生的梯度场 其中常数m>0 rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离 (m)mrmx xrr2xr3(m)my m同理  ()mz3yrrzrr3mmxyz从而 grad2(ijk) rrrrr 解

yzx记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则

rrr gradmme

rr2r 上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场

§8 8 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

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m的势场即梯度场gradm称为引力场 而函数m称为引力势

rrr高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值 

当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值 例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 

当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值 例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值 

因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数 设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面 zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0) 成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf (x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点 从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点 

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例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值 

定理2(充分条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f (x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1) ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值 (2) ACB2<0时没有极值

(3) ACB20时可能有极值 也可能没有极值 

在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值

极值的求法 第一步 解方程组

fx(x y)0 fy(x y)0

求得一切实数解 即可得一切驻点

第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C

第三步 定出ACB2的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值

例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值

fx(x,y)3x26x90 解 解方程组 2f(x,y)3y6y0y求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2) 再求出二阶偏导数

fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6

在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5 在点(1 2)处 ACB212(6)<0 所以f(1 2)不是极值 在点(3 0)处 ACB2126<0 所以f(3 0)不是极值

在点(3 2)处 ACB212(6)>0 又A<0 所以函数的(3 2)处有极大值f(3 2)31 应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

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例如 

函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑 最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值)

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

8m 此水箱所用材料的面积为 xyA2(xyy8x8)2(xy88) (x0, y0)

xyxyxy88令Ax2(y2)0 Ay2(x2)0 得x2 y2 yx 解 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为

根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为

因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为

从这个例子还可看出 在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

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82m时 水箱所用的材料最省 

2282m时 所用材料最省 22高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

A(242x2xcos242x)xsin 即A24xsin2x2sinx2sin cos (0可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x ) 令Ax24sin4xsin2xsin cos0 A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0 由于sin 0 x0 上述方程组可化为 12122xxcos0 2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0对自变量有附加条件的极值称为条件极值 例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2 

这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题 对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题  例如上述问题  由条件2(xyyzxz)a2 Va22xy 解得z 于是得

2(xy)xya22xy() 2(xy)只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件 如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有 (x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0 由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf (x y)

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得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00

即 fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)fy(x0,y0) 设 上述必要条件变为

y(x0,y0)fx(x0,y0)x(x0,y0)0 fy(x0,y0)y(x0,y0)0

(x0,y0)0 拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y) 

其中为某一常数 然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0 Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0

(x,y)0由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点 这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积 解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值 构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

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高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0F(x,y,z)xy2(yx)0 z22xy2yz2xza得xyz6a

66a3 36这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V

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