高中数学竞赛训练题(含答案)

例1、求点集中的元素的个数．

分析及答案

思路分析：应首先去对数将之化为代数方程来解之．

解：由所设知x>0，y>0及

由平均值不等式，有

当且仅当即（虚根舍去）时，等号成立．

故所给点集仅有一个元素．

评述：此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之．

例2、已知集合A={(x，y)}||x|＋|y|=a，a>0|，B={(x，y)||xy|＋1=|x|＋|y|}． 若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为____________．

分析及答案

思路分析：可作图，以数形结合法来解之．

略解：点集A是顶点为（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四条边构成（如

图所示）．

将|xy|＋1=|x|＋|y|，变形为（|x|－1）（|y|－1）=0，

所以，集合B由四条直线x=±1，y=±1构成．

欲使A∩B为正八边形的顶点所构成，只有a>2或1（1）当a>2时，由于正八边形的边长只能为2，显然有，故

（2）当1这时，

综上所述，a的值为

时，如图所示中．

例3、设集合系中，成立的是（）

则在下列关

A．ABCD B．A∩B=φ，C∩D=φ

C．A=B∪C，C分析及答案

D D．A∪B=B，C∩D=φ

思路分析：应注意数的特征，．

解法1：∵

∴A=B∪C，CD．故应选C．

解法2：如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令

．

结论仍然不变，显然，A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x轴上的角的集合，C′

为终边在y轴上的角的集合，D′为终边在y轴上及在直线上的角的集合，故应选C．

评述：解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的角

的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解．

例4、设有集合A={x|x2－[x]=2}和B={x||x|<2}，求A∩B和A∪B（其中[x]表示不超过实数x之值的最大整数）． 分析及答案

思路分析：应首先确定集合A与B． 从而－1≤x≤2．显然，2∈A． ∴A∪B={x|－2若x∈A∩B，则x=[x]＋2，[x]∈{1，0，－1，－2}，

2

从而得出或x=－1（[x]=－1）．

于是A∩B={－1，}．

评述：此题中集合B中元素x满足“|x|<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之．

例5、已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2＋(y－a)2≤1}．求M∩N=N成立时a需满足的充要条件． 分析及答案

思路分析：由M∩N=N，可知N

M．

略解：．

由x＋(y－a)≤1得x≤y－y＋(2a－1)y＋(1－a) ．

2

2

2

2

2

于是，若－y＋(2a－1)y＋(1－a)≤0，①

2

2

必有y≥x，即N

2M．而①成立的条件是，

即

解得．

评述：此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解．