华中师大一附中2018年自主招生考试数学试题

数学试题

考试时间：70分钟 卷面满分：120分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

一、选择题 (本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)

1．二次函数y=x＋2x＋c的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，点P(m，

2

n)是图象上一点，那么下列判断正确的是( )

A．当n＞0时，m＜x1 C．当n＜0时，m＜0

2．已知实数a、b、c满足a＜b＜c，并目k=( )

A．第一、三、四象限 C．第一、二、三象限

B．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 B．当n＞0时，m＞x2 D．当n＜0时，x1＜m＜x2

，则直线y=－kx＋k一定经过

3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a、b分别为16、22，则输出的a=(a←a－b的含义：将a－b的结果赋给a)( ) A．0 C．4

B．2 D．14

4．直线l：kx－y－2k－1=0被以A(1，0)为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦长为( ) A．C．2

5．如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=4，BF⊥AC于F，D是AB的中点，E为AC上一点，且2EF=AC，则tan∠DEF=( )

E

A．C．

二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)．

B

C

B．D．

D

F A

B．2 D．4

6．若a＋b－2=3c5，则(b2

c)a的值为__________．

7．已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x的取值范围是__________．

12x＋m＋1=0的两实根，则实数m8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，且AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得 ∠ADP=∠ACB，则=__________．

9．有十张正面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5xa≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为__________．

2018

10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足(a2018

c2018)(a2018d2018)=2018，(b

c2018)(b2018d2018)=2018，则(ab)2018(cd)

2018

的值为__________．

三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 11．(本小题满分16分)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． (1)求证：CE=CF；

(2)在图1中，若G在AD上， 且∠GCE=45°，则GE、BE、GD有什么数量关系？说明理由； (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的长．

12．(本小题满分16分)如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A(

1，0)，B(

1，

1)，C(1，0)，D(1，1)，记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点．给出如下定

义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L11)是L1－L2相关点．

L2相关点，例如，点P(0，

(1)以下各点中，__________是L1－L2相关点(填出所有正确的序号)； ①(

1，2)；②(

5，2)；③(4，2)．

(2)直接在图1中画出所有L1－L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示； (3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1关点．

①当r=1时，求点M的纵坐标； ②求r的取值范围．

13．(本小题满分18分)定义：点P(x，y)为平面直角坐标系中的点，若满足x=y时，则称该点为“平衡点”，例如点(－1，－1)，(0，0)，(

，

)都是“平衡点”．

L2相

①当－1≤x≤3时，直线y=2x＋m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是__________． (2)直线y=3mx＋n－1上存在“平衡点”吗？若存在，请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若抛物线y=ax＋bx＋1(a＞0)上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足0＜x1＜2，

=2，令t=b－2b＋

2

2

，试求实数t的取值范围．

华中师大一附中2018年高中招生考试

数学试题参

考试时间：70分钟 卷面满分：120分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

一、选择题(本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)

题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 A 二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)． 6．36

7．98．

9．

10．－2018

三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 11．(1)证明：在正方形ABCD中，

∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△ACBE≌△CDF． ∴CE=CF．……………………………4分 (2)GE=BE＋GD．理由如下： ∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．

∴∠ECD＋∠ECB=∠ECD＋∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°． 又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．

∴EG=EF．∴GE=DF＋GD=BE＋GC．……………………………10分 (3)过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，

在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°， 又∠CGA=90°，AB=BC， ∴四边形ABCG为正方形． ∴AG=BC=6．

已知∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE＋DG， 设DE=x，则DG=x－2，

∴AD=AG－DG=8－x，AE=AB－BE=6－2=4． 在Rt△AED中

∵DE=AD＋AE，即x=(8－x)＋4

2

2

2

2

2

2

解得x=5．

∴DE=5……………………………16分

12．(1)②，③是L1－L2相关点。(写出一个给2分)……………………………4分 (2)所有L1－L2相关点所组成的区域为图中阴影部分(含边界)．……………………………8分

(3)①∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1－L2相关点，阴影部分关于y轴对称， ∴⊙M与直线AC相切于(0，0)，或与直线BD相切于(0，1)，如图所示． 又∵⊙M的半径r=1，

∴点M的坐标为(0，－1)或(0，2)， 经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点， ⊙M上只有一个点为L1－L2相关点，符合题意． ∴点M的坐标为(0，－1)或(0，2)． ∴点M的纵坐标为－1或2．

(求出一个给1分，不检验不扣分)……………………………10分 ②阴影部分关于直线y=对称， 故不妨设点M位于阴影部分下方，

∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1－L2相关点，阴影部分关于y轴对称， ∴⊙M与直线AC相切于O(0，0)，且⊙M与直线AD相离． 作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F， ∴MO=r，ME＞r，F(0，)．

在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，OF=， ∴AF=

=，sin∠AFO==

．

在Rt△FEM中，∠FEM=90°， FM=FO＋OM=r＋ sin∠EFM=sin∠AFO=∴ME=FM·sin∠EFM=∴

＞r，

＋2．……………………………16分 ，

，

又∵r＞0，∴0＜r＜

13．(1)－3≤m≤1

(2)由y=3mx＋n－1，当y=x时，3mx＋n－1=x 即(3m－1)x=1－n

当3m－1=0，1－n=0，即m=，n=1时，方程有无数个解，

此时直线y=x上所有点都是“平衡点”，坐标为(x，x)，x为任意实数……………………6分

当3m－1=0，1－n≠0，即m=，n≠1时，方程无解，

此时直线y=x上不存在“平衡点”，………………………………8分 当3m－1≠0，即m≠时，方程有唯一解x=

，

，

)，x为任意实数…………10分

此时直线y=x上只有一个“平衡点”，其坐标为((3)联立

2

，消去y并整理得：ax＋(b－1)x＋1=0

∵抛物线上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1)，B(x2，x2) ∴x1，x2是方程ax＋(b－1)x＋1=0两个不相等的实数根 ∴x1＋x2=

，x1·x2=，△=(b－1)－4a＞0……………………………12分

∴x1、x2同号 =2，∴2＜x2＜4

∴a＞……………………………16分

2

2

2

2

2

∵a＞0，∴x1x2=∵0＜x1＜2，∴0＜x1x2＜8，0＜

t=b2－2b＋=(b－1)＋=4a＋4a＋=4(a＋)＋，

∵当a＞－时，t随a的增大而增大，a＞＞－ ∴t＞4(

)＋=2

2

即t＞2……………………………18分