2015年高考文科数学安徽卷及答案解析

3. 设p：x3，q：1x3，则p是q成立的 A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 （ ）

在8. 直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是 A. 2或12 B. 2或12 C. 2或12

（ ）

2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4此 （ ）

D. 2或12

--------------------卷 __________--------------------_上__号证考准 -------------------- _答_____________--------------------__题名姓--------------------无--------------------效--------至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：

1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.

2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无．．．．．．．．．．．．效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．

. 4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1. 设i是虚数单位，则复数(1i)(12i)

（ ）

A. 33i B. 13i C. 3i

D. 1i

2. 设全集U{1,2,3,4,5,6}，A{1,2}，B{2,3,4}，则A(UB)

（ ）

A. {1,2,5,6} B. {1} C. {2} D. {1,2,3,4}

数学试卷 第1页（共15页） A. ylnx B. yx21 C. ysinx D. ycosx

xy≥5. 已知x，y满足约束条件0,xy4≤0,则z2xy的最大值是y≥1,A. 1

B. 2

C. 5

6. 下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是

A. xy2241

x2B. 4y21

C. xy2221

D. x22y21

7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为

A. 3 B. 4 C. 5

D. 6

数学试卷 第2页（共15页）

（ D. 1

（

（ ）

）

）

9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是

A. 13 B. 122 C. 23

D. 22 10. 函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则下列结论成立的是

A. a0，b0，c0，d0

B. a0，b0，c0，d0 C. a0，b0，c0，d0

D. a0，b0，c0，d0

数学试卷 第3页（共15页）

（ ）

（ ）

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11. lg52lg2(122)1__________.

12. 在△ABC中，AB6，A75，B45，则AC__________.

13. 已知数列{a1n}中，a11，

anan12(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于__________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则

a的值为__________.

15. △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB2a，AC2a+b，则下列

结论正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.

①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4ab)⊥BC.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）

已知函数f(x)(sinxcosx)2cos2x （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在区间π0,2上的最大值和最小值.

数学试卷 第4页（共15页） 17.（本小题满分12分）

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：

[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100].

（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；

（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（Ⅲ）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率.

18.（本小题满分12分）

已知数列{an}是递增的等比数列，且a1a49，a2a38. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设San1n为数列{an}的前n项和，bnSS，求数列{bn}的前n项和Tn. nn1

数学试卷 第5页（共15页） 19.（本小题满分13分）

如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60. （Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；

（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求

PMMC的值.

20.（本小题满分13分）

x2y2设椭圆E的方程为a2b2（1ab0），点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为510. （Ⅰ）求E的离心率e；

（Ⅱ）设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.

21.（本小题满分13分）

已知函数f(x)ax(xr)2(a0,r0).

（Ⅰ）求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）若ar400，求f(x)在(0,)内的极值.

数学试卷 第6页（共15页）

2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学(文科)答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题 1.【答案】C

【解析】复数(1i)(1+2i)=1+2i+2i=3+i. 【提示】直接利用复数的多项式乘法展开求解 【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】B 【解析】

RB{1,5,6}；A(RB){1,2}{1,5,6}{1}.故选：B．

【提示】进行补集、交集的运算 【考点】交集，并集，补集的混合运算 3.【答案】C

【解析】设p:x3，q:1x3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件，故选：C. 【提示】判断必要条件与充分条件，推出结果 【考点】必要条件，充分条件，充要条件 4.【答案】D

【解析】对于A，ylnx，定义域为(0,)，所以是非奇非偶的函数； 对于B，是偶函数，但是不存在零点； 对于C，sin(x)sinx，是奇函数；

对于D，cos(x)cosx，是偶函数并且有无数个零点 【提示】利用函数奇偶性的判断以及零点的定义分别分析解答 【考点】函数的零点，函数奇偶性的判断. 5.【答案】A

数学试卷 第7页（共15页） 【解析】由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y2xz经过A时使得z

最大，由xy0y1，得到A(1,1)，所以z的最大值为2111故选：A.

【提示】首先画出平面区域，z2xy的最大值就是y2xz在y轴的截距的最大值 【考点】简单线性规划 6.【答案】A 【解析】由双曲线方程x2y2a2b21(a0,b0)的渐近线方程为ybax，由A可得渐近线方程为y2x，由B可得渐近线方程为y12x，由C可得渐近线方程为y2x，由D可得渐近线方程为y22x. 故选：A

x2y2【提示】由双曲线方程ba2b21(a0,b0)的渐近线方程为yax，对选项一一判

断

【考点】双曲线的简单性质 7.【答案】B

【解析】模拟执行程序框图，可得a1，n1 满足条件|a1.414|0.005，a32，n2 满足条件|a1.414|0.005，a75，n3 满足条件|a1.414|0.005，a1712，n4 不满足条件|a1.414|0.002670.005，退出循环，输出n的值为4. 数学试卷 第8页（共15页） 故选：B．

【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到a，n的值 【考点】程序框图 8.【答案】D

【解析】x2y22x2y10可化为(x1)2(y1)21 ∵直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切， ∴圆心(1,1)到直线的距离d|34b|9161， 解得：b2或12. 【提示】由直线与圆相切得到圆心到直线的距离dr，利用点到直线的距离公式列出方程，

求出方程的解 【考点】圆的切线方程

9.【答案】C

【解析】三棱锥OABC，OE底面ADC，EAED1，OE1，ABBC2 ∴ABBC，∴可判断；OAB≌OBC的直角三角形，S1OACSABC2211，SOABS OBC3(2)23该四面体的表面积：23，故选：C． 4【提示】判断得出三棱锥OABC，OE底面ADC，EAED1，OE1，

ABBC2，ABBC，可判断；OAB≌OBC的直角三角形，运用面积求解即可

【考点】空间几何体的表面积和体积 10.【答案】A

【解析】f(0)d0，排除D，当x时，y，∴a0，排除C，函数的导数

f(x)3ax22bxc，则f(x)0有两个不同的正实根，则f(0)c0，排除B，故选：

A.

【提示】根据函数的图像和性质，利用排除法进行判断即可 【考点】函数的图像

第Ⅱ卷

二、填空题

数学试卷 第9页（共15页）

11.【答案】1

【解析】原式lg5lg22lg22lg5lg22lg102121. 【提示】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项 【考点】对数的运算性质 12.【答案】2

【解析】A75，B45，则C180754560，由正弦定理可得ABACsin60sin45， 62即有AC232.故答案为：2. 2【提示】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC 【考点】正弦定理 13.【答案】27

【解析】∵a1nan12(n2)，∴aa11

nn12(n2)，∴数列{an}的公差d2

，又a11，∴a11n19n2（n1）(91)2，∴S99a12d9361227，故答案为：27. 【提示】通过a1nan12(n2)可得公差，进而由求和公式即得结论

【考点】数列递推式 14.【答案】A

【解析】解：由已知直线y2a是平行于x轴的直线，函数y|xa|1的图像是折线，所以直线y2a过折线顶点时满足题意，所以2a1，解得a12； 故答案为：12. 【提示】由已知直线y2a与函数y|xa|1的图像特点分析一个交点时，两个图像的位置，确定A

【考点】函数的零点与方程根的关系 15.【答案】①④⑤

【解析】ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a、b满足AB2a，AC2ab，

数学试卷 第10页（共15页） 则a12AB，AB2，所以a1，即a是单位向量；①正确； 因为ACABBC2ab，所以BCb，故b2；故②错误；④正确； a、b夹角为120°，故③错误；a ⑤(4ab)bc4abb2412cos1204440；故⑤正确. 故答案为：①④⑤.

【提示】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择 【考点】平面向量数量积的运算 三、解答题

16.【答案】（1）最小正周期为π

（2）f(x)在区间0,π2上的取得最小值为0，最大值为12 【解析】解：（1）∵函数f(x)(sinxcosx)2cos2x1sin2xcos2x12sinπ2x4，∴它的最小正周期为2π2π. （2）在区间0,π2上，2xπ4π4,5ππ5π4，故当2x44时，f(x)取得最小值为

122-ππ20，当2x42时，f(x)取得最大值为12112 【提示】由条件利用三角恒等变换求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f(x)最小正周期，

由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)在区间π0,2上的最大值和最小值

【考点】三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法 17.【答案】（1）a0.006 （2）0.4 （3）P110. 【解析】解：（1）因为(0.004a0.0180.02220.028)101，解得a0.006； （2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为

(0.0220.018)104，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；

数学试卷 第11页（共15页） （3）受访职工中评分在50,60的有：500.006103（人），记为A1，A2，A3 受访职工评分在40,50的有：500.004102（人），记为B1，B2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2,A3}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A3,B1}，{A3,B2}，{B1,B2}又因为所抽取2人的评分都在40,50的结果有1种，即{B1,B2}，故所求的概率为P110 【提示】利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a，对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率，求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答. 【考点】频率分布直方图，古典概型

18.【答案】（1）a2n﹣1n

（2）Tn1S111111111n1 1S2S2S3SnSn1S1Sn121【解析】（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1a49，a2a38. ∴a1a49，a1a48.

解得a11，a48或a18，a41（舍），解得q2，

即数列{a}的通项公式an﹣1nn2；

（2）Sa1(1qn)nan1Sn1Sn11n1q21，∴bnS，

nSn1SnSn1SnSn1∴数列{bn}的前n项和T11111n1S11112n11 1S2S2S3SnSn1S1Sn1【提示】根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{an}的通项公式，求出ba1nnS， nSn1利用裂项相消法即可求数列{bn}的前n项和Tn 【考点】等比数列的通项公式，列项相消法求和

19.【答案】（1）V1PABC3S3△ABCPA6 （2）

PMMCANNC13 【解析】解：（1）由题设，AB1，AC2，BAC60，可得

数学试卷 第12页（共15页）

S1△ABC2ABACsin6032 因为PA平面ABC，PA1，所以V13PABC3S△ABCPA6； （2）过B作BNAC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PA于点M，连接BM，由PA平面ABC，知PAAC，所以MNAC，因为BNMNN，所以AC平面MBN. 因为BM平面MBN，所以ACBM. 在直角△BAN中，ANABcosBAC12，从而NCACAN32由MN∥PA得PMMCAN1NC3 【提示】利用V13S3PABCABCPA6，求三棱锥PABC的体积，过B作BNAC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PA于点M，连接BM，证明AC平面MBN，可得ACBM，利用MN∥PA，求PMMC的值 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，点、线、面间的距离计算

20.【答案】（1）设M(x,y)，∵A(a,0)、B(0,b)，点M在线段AB上且|BM|2|MA|， ∴|BM|2|MA|即(x0,yb)2(ax,0y)，解得x23a，y13b，即M(213a,3b)，又∵直线OM的斜率为510，∴b52a10，∴a5b，ca2b22b，∴椭圆E的离心率ec2a55； （2）证明：∵点c的坐标为(0,b)，N为线段AC的中点，∴N(a,-b)，∴NM(a,-5b2266)，又

∵AB(a,b)，∴ABNM(a,b)(a6,5b6)a2521266b6(5ba2)，由（1）可知

a25b2，故ABNM0即MNAB 【提示】通过题意，利用|BM|2|MA|，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为510，计算即得结论，通过中点坐标公式解得点N坐标，利用ABNM0即得结论. 【考点】直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质 21.【答案】（1）f(x)的定义域为(-,r)(r,)，

数学试卷 第13页（共15页） f(x)的单调递减区间为：(-,r)、(r,)，递增区间为：(r,r)

（2）极大值为f(r)ar(2r)2a4r4004100 【解析】解：（1）∵函数f(x)ax(xr)2(a0,r0)，∴xr，即f(x)的定义域为(-,r)(r,) 又∵f(x)ax(xr)2axx22rxr2，∴f(x)a(x22rxr2)ax(2x2r)a(rx)(xr)(x22rxr2)2(xr)4 ∴当xr或xr时，f(x)0；当rxr时，f(x)0； 因此，f(x)的单调递减区间为：(-,r)、(r,)，递增区间为：(r,r)； （2）由（1）的解答可得f(x)0，f(x)在(0,r)上单调递增，在(r，)上单调递减，∴xr是f(x)的极大值点，∴f(x)在(0,)内的极大值为f(r)ara400(2r)24r4100 【提示】通过令分母不为0即得f(x)的定义域，通过求导即得f(x)的单调区间，通过（1）知xr是f(x)的极大值点，计算即可.

【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性.

数学试卷 第14页（共15页） 数学试卷第15页（共15页）