山东省青岛市市南区八年级（下）期末
数 学 试 卷
一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1．把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ） A．C．
B．D．
2．如图所示图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③
3．下列因式分解正确的是（ ） A．2x2﹣6x＝2x（x﹣6） C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
B．﹣a3+ab＝﹣a （a2﹣b） D．m2﹣9n2＝（m+9n）（m﹣9n）
4．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
5．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ） A．
B．
C．
D．
6．如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（ ）
A．比原多边形多180° C．与原多边形相等 7．下列运算正确的是（ ） A．
＝
B．比原多边形多360° D．比原多边形少180°
......
......
B．C．D．﹣
＝a+1 +＝
＝0
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 9．把多项式n（n﹣2）+m（2﹣n）分解因式的结果是 ． 10．若分式
的值为正数，则x的取值范围 ．
11．将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是 ． 12．小刚从家到学校的路程为2km，其中一段是lkm的平路，一段是lkm的上坡路．已知小刚在上坡、平路和下坡的骑车速度分别为akm/h，2akm/h，3akm/h，则小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多 h．
13．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，则∠ADC的度数为 ．
14．某工厂原计划在规定时间内生产12000个零件，实际每天比原计划多生产100个零件，结果比规定时间节省了．若设原计划每天生产x个零件，则根据题意可列方程为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
......
......
16． 直线y＝﹣x+m与y＝x+5的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞x+5＞0的整数解为 ．三、作图题（本题满分4分）
17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：四边形ABCD
求作：点P，使∠PBC＝∠PCB，且点P到AD和DC的距离相等．
四、解答题：（本题满分68分，共有7道小题） 18．（14分）计算题
（1）因式分解：3a2b﹣6ab2+3b3 （2）解不等式组：
（3）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
19．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明你的结论．
20．（8分）某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人100元，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择．第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方案是师生都按原价的80%付款．该校参加这项活动的教师有5名，学生有x名． （1）设购票付款为y元，请写出y与x的关系式．
（2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案？
21．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，过A，C分别作AD和BC的垂线，交对角线BD于点E，F，AE＝CF，BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若BC＝4，∠CBD＝45°，且E，F是BD的三等分点，求四边形ABCD的面积．（直接写出结论即可）
......
......
22．（10分）随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行五月份A型车的销售总利润为4320元，B型车的销售总利润为3060元．且A型车的销售数量是B型车的2倍，已知销售B型车比A型车每辆可多获利50元． （1）求每辆A型车和B型车的销售利润；
（2）若该车行计划一次购进A、B两种型号的自行车共100台且全部售出，其中B型车的进货数量不超过A型车的2倍，则该车行购进A型车、B型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少？
23．（10分）如图，四边形ABCD是面积为S的平行四边形，其中AD∥BC，AB∥CD．
（1）如图①，点P为AD边上任意一点，则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是 ．
（2）如图②，设AC、BD交于点P，则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是 ．
（3）如图③，点P为▱ABCD内任意一点时，试猜想△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系，并加以证明．
（4）如图④，已知点P为▱ABCD内任意一点，△PAB的面积为2，△PBC的面积为8，连接BD，求△PBD的面积．
24．（12分）问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图①证明上述结论
......
......
【类比引申】
如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF＝BE+FD． 【探究应用】
如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝（40要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长．
﹣40）米，现
......
......
山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1．把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ） A．C．
B．D．
【分析】先解的不等式，然后在数轴上表示出来． 【解答】解：解不等式x+2≤0，得 x≤﹣2． 表示在数轴上为：故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 2．如图所示图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有（ ）
．
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③
【分析】根据中心对称图形的概念以及平面镶嵌的定义进行判断即可． 【解答】解：①不是中心对称图形，不合题意； ②是中心对称图形，又能镶嵌整个平面，符合题意； ③是中心对称图形，又能镶嵌整个平面，符合题意； ④是中心对称图形，不能镶嵌整个平面，不合题意． 故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与平面镶嵌．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列因式分解正确的是（ ） A．2x2﹣6x＝2x（x﹣6） C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
B．﹣a3+ab＝﹣a （a2﹣b） D．m2﹣9n2＝（m+9n）（m﹣9n）
【分析】各项分解因式得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、2x2﹣6x＝2x（x﹣3），错误；
......
......
B、﹣a3+ab＝﹣a （a2﹣b），正确； C、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），错误； D、m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n），错误； 故选：B．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 4．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可；
【解答】解：A、由AE＝CF，可以推出DF＝EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形； B、由DE＝BF，不能推出四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形；
C、由∠ADE＝∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形； D、由∠AED＝∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形ABCD是平行四边形； 故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】由分母是否恒不等于0，依次对各选项进行判断． 【解答】解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义； 当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义； 无论a取何值时，a2+1≠0， 故选：D．
【点评】解此类问题，只要判断是否存在a使分式中分母等于0即可． 6．如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（ ）
A．比原多边形多180° C．与原多边形相等
B．比原多边形多360° D．比原多边形少180°
......
......
【分析】设原多边形的边数为n，则得出的新多边形的边数为n+1，根据多边形内角和公式得出算式（n+1﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°，求出即可．
【解答】解：设原多边形的边数为n，则得出的新多边形的边数为n+1， 即（n+1﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝180°， 即新多边形的内角和比原多边形的内角和多180°， 故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键． 7．下列运算正确的是（ ） A．B．C．D．﹣
＝＝a+1 +＝
＝0
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（A）原式＝（B）原式＝a+，故B错误； （D）原式＝故选：C．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（ ）
＝
，故D错误；
＝
，故A错误；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后求出∠2＝∠C，再根据等角对等边可得BE＝CE，结合图形AC﹣CE＝AE，即可得到①正确；根据等腰三角形三线合一的性质即可得到点E在线段BC的垂直平分线上，从而得到②正确；根据直角三角形的性质分别得到∠DAE和∠C的度数，从而得到③正确；根据含30°的直角三角形的性质可得AB和BC，AD的关系，进一步得到BC和AD的关系，从而得到④正确．
......
......
【解答】解：如图，∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠2＝∠C， ∴BE＝CE， ∵AC﹣CE＝AE，
∴AC﹣BE＝AE，故①正确； ∵BE＝CE，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确； ∵∠1＝∠2＝∠C， ∴∠C＝∠1＝30°，
∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠C，故③正确； 在Rt△BAC中，∠C＝30°， ∴BC＝2AB，
在Rt△BDA中，∠1＝30°， ∴AB＝2AD，
∴BC＝4AD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，利用含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．把多项式n（n﹣2）+m（2﹣n）分解因式的结果是 （n﹣2）（n﹣m） ． 【分析】直接提取公因式（n﹣2），进而分解因式得出答案． 【解答】解：n（n﹣2）+m（2﹣n） ＝n（n﹣2）﹣m（n﹣2） ＝（n﹣2）（n﹣m）． 故答案为：（n﹣2）（n﹣m）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
......
......
10．若分式的值为正数，则x的取值范围 x＞7 ．
＞0，根据负负得正，得7﹣x＜0，解得：x＞7．
【分析】由题意得分式【解答】解：由题意得：
＞0， ∵﹣6＜0， ∴7﹣x＜0， ∴x＞7． 故答案为：x＞7．
【点评】题目考查了分式的基本运算和不等式的运算．题目整体较为简单，学生需要注意运算的正确性即可．
11．将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【分析】首先根据点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，可得点P1的坐标是（1，3），然后根据点P2与点P1关于原点对称，求出P2的坐标是多少即可． 【解答】解：∵点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1， ∴点P1的坐标是（1，3）； ∵点P2与点P1关于原点对称， ∴P2的坐标是（﹣1，﹣3）． 故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，以及坐标与图形变化问题﹣平移，要熟练掌握． 12．小刚从家到学校的路程为2km，其中一段是lkm的平路，一段是lkm的上坡路．已知小刚在上坡、平路和下坡的骑车速度分别为akm/h，2akm/h，3akm/h，则小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多 h．
【分析】根据题意，可以用代数式表示出小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多多少小时． 【解答】解：由题意可得，
小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多：故答案为：
．
＝
＝
h，
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，则∠ADC的度数为 140° ．
......
......
BD＝2EF＝12，【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可． 【解答】解：连接BD，
∵E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝12， ∴∠ADB＝∠AFE＝50°， BD2+CD2＝225，BC2＝225， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝140°， 故答案为：140°．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14．某工厂原计划在规定时间内生产12000个零件，实际每天比原计划多生产100个零件，结果比规定时间节省了．若设原计划每天生产x个零件，则根据题意可列方程为
．
【分析】设原计划每天生产的零件个数为x个，则实际每天生产（x+100）个零件，根据题意可得等量关系列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天生产的零件个数为x个，由题意得
，
故答案为：
，
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
15．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 9 ．
......
......
【分析】根据旋转的性质得到BC≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， ∴S△A1BA＝×6×3＝9，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故答案为：9．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 16．直线y＝﹣x+m与y＝x+5的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞x+5＞0的整数解为 ﹣3，﹣4 ．
【分析】满足不等式﹣x+m＞x+5＞0就是直线y＝﹣x+m位于直线y＝x+5的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可求得整数解．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝x+5的交点的横坐标为﹣2， ∴关于x的不等式﹣x+m＞x+5的解集为x＜﹣2， ∵y＝x+5＝0时，x＝﹣5， ∴x+5＞0的解集是x＞﹣5，
∴﹣x+m＞x+5＞0的解集是﹣5＜x＜﹣2，
......
......
∴整数解为﹣3，﹣4． 故答案为﹣3，﹣4．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，关键是根据不等式﹣x+m＞x+3＞0就是直线y＝﹣x+m位于直线y＝x+3的上方且位于x轴的上方的图象来分析． 三、作图题（本题满分4分）
17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：四边形ABCD
求作：点P，使∠PBC＝∠PCB，且点P到AD和DC的距离相等．
【分析】由∠PBC＝∠PCB知点P在线段BC中垂线上，由点P到AD和DC的距离相等知点P也在∠ADC平分线上，据此作图可得．
【解答】解：如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线和角平分线的尺规作图及其性质． 四、解答题：（本题满分68分，共有7道小题） 18．（14分）计算题
（1）因式分解：3a2b﹣6ab2+3b3 （2）解不等式组：
（3）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
【分析】（1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行分解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
（3）先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可． 【解答】解：（1）3a2b﹣6ab2+3b3 ＝3b（a2﹣2ab+b2）
......
......
＝3b（a﹣b）2； （2）
∵解不等式①得：x＞﹣3， 解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2；
（3）（1+＝＝
••
）÷
＝a+2，
当a＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值、解一元一次不等式组和因式分解，能灵活运用各个方法分解因式是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（3）的关键．
19．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明你的结论．
【分析】结论：BF⊥AE．只要证明Rt△BCD≌Rt△ACE（HL）即可解决问题； 【解答】解：结论：BF⊥AE． 理由：在Rt△BCD和Rt△ACE中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE（HL）， ∴∠CBD＝∠CAE， ∴∠E+∠CAE＝90°， ∴∠CBD+∠E＝90°，
......
......
∴∠BFE＝90°， ∴BF⊥AE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人100元，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择．第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方案是师生都按原价的80%付款．该校参加这项活动的教师有5名，学生有x名． （1）设购票付款为y元，请写出y与x的关系式．
（2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案？ 【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数解析式，令它们相等，求出相应的x的值，即可解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得，
第一种方案中：y＝5×100+100x×78%＝78x+500， 第二种方案中：y＝100（x+5）×80%＝80x+400； （2）令78x+500＝80x+400， 解得，x＝50，
∴当学生人数少于50人时，按方案二购买， 当学生人数为50人时，两种方案一样， 当学生人数超过50人时，按方案一购买．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
21．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，过A，C分别作AD和BC的垂线，交对角线BD于点E，F，AE＝CF，BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若BC＝4，∠CBD＝45°，且E，F是BD的三等分点，求四边形ABCD的面积．（直接写出结论即可）
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAE＝∠BCF＝90°，根据全等三角形的性质得到∠AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，于是得到结论；
（2）过C作CH⊥BD于H，推出△CBF是等腰直角三角形，解直角三角形得到BF＝
......
BC＝4，CH＝
......
BC＝2，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠DAE＝∠BCF＝90°， ∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， 即BF＝DE，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）， ∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF， ∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：过C作CH⊥BD于H， ∵∠CBD＝45°，
∴△CBF是等腰直角三角形， ∴BF＝
BC＝4
，CH＝
BC＝2
，
∵E，F是BD的三等分点， ∴BD＝6
，
∴四边形ABCD的面积＝BD•CH＝24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
22．（10分）随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行五月份A型车的销售总利润为4320元，B型车的销售总利润为3060元．且A型车的销售数量是B型车的2倍，已知销售B型车比A型车每辆可多获利50元． （1）求每辆A型车和B型车的销售利润；
（2）若该车行计划一次购进A、B两种型号的自行车共100台且全部售出，其中B型车的进货数量不超过A型车的2倍，则该车行购进A型车、B型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少？
......
......
【分析】（1）设每台A型车的利润为x元，则每台B型车的利润为（x+50）元，然后根据销售A型车数量是销售B型车的2倍列出方程，然后求解即可；
（2）设购进A型车a台，这100台车的销售总利润为y元．根据总利润等于两种车的利润之和列式整理即可得解；根据B型车的进货量不超过A型车的2倍列不等式求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型车的利润为x元，则每台B型车的利润为（x+50）元， 根据题意得解得x＝120．
经检验，x＝120是原方程的解， 则x+50＝170．
答：每辆A型车的利润为120元，每辆B型车的利润为170元． （2）设购进A型车a台，这100辆车的销售总利润为y元， 据题意得，y＝120a+170（100﹣a），即y＝﹣50a+17000， 100﹣a≤2a， 解得a≥33， ∵y＝﹣50a+17000， ∴y随a的增大而减小， ∵a为正整数，
∴当a＝34时，y取最大值，此时y＝﹣50×34+17000＝15300．
即商店购进34台A型车和66台B型车，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握． 23．（10分）如图，四边形ABCD是面积为S的平行四边形，其中AD∥BC，AB∥CD．
（1）如图①，点P为AD边上任意一点，则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是 S1+S2＝S ．
（2）如图②，设AC、BD交于点P，则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是 S1+S2＝S ．
（3）如图③，点P为▱ABCD内任意一点时，试猜想△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系，并加以证明．
（4）如图④，已知点P为▱ABCD内任意一点，△PAB的面积为2，△PBC的面积为8，连接BD，求△PBD的面积．
＝
×2，
......
......
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知：S△PBC＝S平行四边形ABCD，即可解决问题； （2）理由平行四边形的性质可知：S△ABP＝S△ADP＝S△DPC＝S△BCP，即可解决问题；
（3）结论：S1+S2＝S．如图③中，作PE⊥AB于E，延长EP交CD于F．根据S1+S2＝•AB•PE+•CD•PF＝AB•EF＝S；
（4）设△PAD的面积为x，△PDC的面积为y，则2+y＝8+x，推出y﹣x＝6，可得△PBD的面积＝2+y﹣（2+x）＝y﹣x＝6；
【解答】解：（1）如图①中，∵AD∥BC，AB∥CD． ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴S△PBC＝S， ∴S△ABP+S△DCP＝S， ∴S1+S2＝S． 故答案为S1+S2＝S．
（2）如图②中，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴PA＝PC，BP＝DP，
∴S△ABP＝S△ADP＝S△DPC＝S△BCP， ∴S1+S2＝S． 故答案为S1+S2＝S．
（3）结论：S1+S2＝S．
......
......
理由：如图③中，作PE⊥AB于E，延长EP交CD于F． ∵AB∥CD，PE⊥AB， ∴PF⊥CD，
∴S1+S2＝•AB•PE+•CD•PF＝AB•EF＝S．
（4）设△PAD的面积为x，△PDC的面积为y， 则2+y＝8+x， ∴y﹣x＝6，
∴△PBD的面积＝2+y﹣（2+x）＝y﹣x＝6，
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等高模型等正整数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图①证明上述结论 【类比引申】
如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 ∠BAD＝2∠EAF 关系时，仍有EF＝BE+FD． 【探究应用】
如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝（40要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长．
﹣40）米，现
......
......
【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可；
【类比引申】延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD＝2∠EAF即可得出EF＝BE+FD． 【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BAE＝∠EAF＝45°， ∴∠GAF＝∠FAE， 在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）． ∴GF＝EF． 又∵DG＝BE， ∴GF＝BE+DF， ∴BE+DF＝EF；
【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°， ∴∠D＝∠ABM， 在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM， ∵∠BAD＝2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
......
......
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF， 在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF， 即EF＝BE+DF．
故答案是：∠BAD＝2∠EAF；
【探究应用】如图（3），把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H，
∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝60°． 又∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°， 又∵∠ADF＝120°，
∴∠GDF＝180°，即点G在 CD的延长线上． 易得，△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE， 又∵AH＝80×
＝40
，HF＝HD+DF＝40+40（
﹣1）＝40
，
故∠HAF＝45°，
∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15° 从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75° 又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF ∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝80+40（即这条道路EF的长为40（
+1）．
﹣1）＝40（
+1）（米），
......
......
【点评】本题考查的是四边形综合题，掌握、旋转变换的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，正确画出图形，证明∠BAD＝2∠EAF的关键环节．
......
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