《数字信号处理》第三版课后习题答案

数字信号处理课后答案

1.2教材第一章习题解答

1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。

解：

2.给定信号：

2n5,4n1x(n)6,0n40,其它

（1）画出x(n)序列的波形，标上各序列的值；

（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；

（3）令x1(n)2x(n2)，试画出x1(n)波形；

（4）令x2(n)2x(n2)，试画出x2(n)波形；

（5）令x3(n)2x(2n)，试画出x3(n)波形。

解：

（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）

（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画x3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。

3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

3x(n)Acos(n)78，A是常数； （1）

（2）x(n)e1j(n)8。

解：

3214w,7w3，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （1）

12w,168w（2），这是无理数，因此是非周期序列。

5.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统

是否是线性非时变的。

（1）y(n)x(n)2x(n1)3x(n2)；

（3）y(n)x(nn0)，n0为整常数；

2y(n)x(n)； （5）

（7）

y(n)x(m)m0n。

解：

y'(n)x(nn0)2x(nn01)3x(nn02)（1）令：输入为

x(nn0)'y(nn)x(nn)2x(nn1)3x(nn2)y(n) 0000，输出为

故该系统是时不变系统。

故该系统是线性系统。

（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。

令输入为

x(nn1)，输出为

y'(n)x(nn1n0)，因为

故延时器是一个时不变系统。又因为

故延时器是线性系统。

2y(n)x(n) （5）

令：输入为

x(nn0)，输出为

y'(n)x2(nn0)，因为

故系统是时不变系统。又因为

因此系统是非线性系统。

（7）

y(n)x(m)m0n

令：输入为

x(nn0)，输出为

y(n)x(mn0)'m0n，因为

故该系统是时变系统。又因为

故系统是线性系统。

6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

1y(n)N（1）

x(nk)k0N1；

（3）

y(n)nn0knn0x(k)；

x(n)y(n)e（5）。

解：

（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果

x(n)M，则

y(n)M，因此系统是稳定系统。

（3）如果

x(n)M，

y(n)nn0knn0x(k)2n01M，因此系统是稳定的。系统是非因果的，

因为输出还和x(n)的将来值有关.

（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果

y(n)ex(n)ex(n)x(n)M，则

eM，因此系统是稳定的。

7.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输出输出y(n)的波形。

解：

解法（1）:采用图解法

图解法的过程如题7解图所示。

解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:

x(n)*(n)x(n)因为x(n)*A(nk)Ax(nk)

1y(n)x(n)*[2(n)(n1)(n2)]21 2x(n)x(n1)x(n2)2所以

将x(n)的表达式代入上式，得到

8.设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。

（1）h(n)R4(n),x(n)R5(n)； （2）h(n)2R4(n),x(n)(n)(n2)；

（3）

h(n)0.5nu(n),xnR5(n)。

解：

（1）

y(n)x(n)*h(n)mR(m)R(nm)45

先确定求和域，由R4(m)和R5(nm)确定对于m的非零区间如下：

根据非零区间，将n分成四种情况求解：

①n0,y(n)0

②

0n3,y(n)1n1m0n

③

4n7,y(n)mn418n3

④7n,y(n)0

最后结果为

y(n)的波形如题8解图（一）所示。

（2）

y(n)的波形如题8解图（二）所示.

（3）

y(n)对于m的非零区间为0m4,mn。

①n0,y(n)0

②

0n4,y(n)0.5nm00.5nm10.5n10.5n(10.5n1)0.5n20.5n110.5

4③

5n,y(n)0.5nm00.5m10.55nn0.5310.510.51

最后写成统一表达式：

11.设系统由下面差分方程描述：

11y(n1)x(n)x(n1)22；

y(n)设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

解：

令：x(n)(n)

归纳起来，结果为

2

12.有一连续信号xa(t)cos(2ft),式中，

f20Hz,（1）求出xa(t)的周期。

（2）用采样间隔T0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号xa(t)的表达式。

（3）画出对应xa(t)的时域离散信号(序列)x(n)的波形，并求出x(n)的周期。

————第二章————

教材第二章习题解答

jwjwX(e)Y(e)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： 1.设和

（1）x(nn0)；

（2）x(n)；

（3）x(n)y(n)；

（4）x(2n)。

解：

（1）

FT[x(nn0)]nx(nn)e0jwn

令

n'nn0,nn'n0，则

（2）

FT[x(n)]*nx(n)e*jwn[x(n)ejwn]*X*(ejw)n

（3）

FT[x(n)]nx(n)ejwn

'令nn，则

jwjwFT[x(n)*y(n)]X(e)Y(e) （4）

证明：

x(n)*y(n)mx(m)y(nm)

令k=n-m，则

1,ww0X(ejw)0,w0w 2.已知

jwX(e)的傅里叶反变换x(n)。 求

1x(n)2解：

w0w0ejwndwsinw0nn

3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)

H(ejw)H(ejw)ej(w),如果单位脉冲响应h(n)为

实序列，试证明输入x(n)Acos(w0n)的稳态响应为

y(n)AH(ejw)cos[w0n(w0)]。

解：

jw0nx(n)e假设输入信号，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为

jw0njw0my(n)h(n)*x(n)mh(m)ejw0(nm)ejw0nmh(m)eH(ejw0)e上式说明，当

输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

上式中

H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，

1,n0,1x(n)0,其它将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x(n)，画出x(n)和4.设

x(n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。

解：

画出x(n)和x(n)的波形如题4解图所示。

X(k)DFS[x(n)]x(n)en03j2kn4en01jkn21ejk2 ejk4(ejk4ejk4)2cos(k)•e4jk4,

X(k)以4为周期，或者

X(k)en01jkn21e1ejkjk2ee1jk21jk4(e(e1jk21jk4ee1jk21jk4))e1jk41sink21sink4,

X(k)以4为周期

jwjwX(e)X(e)，完成下列运算： x(n)5.设如图所示的序列的FT用表示，不直接求出

j0（1）X(e)；

（2）X(ejw)dw；

（5）

X(ejw)dw2

解：

（1）

X(e)j0n3x(n)67

（2）

X(ejw)dwx(0)•24

（5）

X(e)dw2x(n)28jwn3272

6.试求如下序列的傅里叶变换:

11x2(n)(n1)(n)(n1)22（2）；

（3）

x3(n)anu(n),0a1

解：

（2）

（3）

X3(e)jwnau(n)enjwnanejwnn011aejw

7.设:

（1）x(n)是实偶函数，

（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。

解：

令

X(e)jwnx(n)ejwn

（1）x(n)是实、偶函数，

X(e)jwnx(n)ejwn

两边取共轭，得到

jw*jwX(e)X(e) 因此

jwX(e)具有共轭对称性质。 上式说明x(n)是实序列，

由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

因此

X(e)jwnx(n)coswn

jwX(e)是实函数，且是w的偶函数。 该式说明

jwX(e)是实、偶函数。 总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换

（2）x(n)是实、奇函数。

jwX(e)具有共轭对称性质，即 上面已推出，由于x(n)是实序列，

由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么nx(n)coswn0

因此

X(e)jx(n)sinwnjwn

jwX(e)是纯虚数，且是w的奇函数。 这说明

HR(ejw)1coswh(n)10.若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:

jwH(e)。 h(n)求序列及其傅里叶变换

解：

nh(n)au(n),0a1，输入序列为x(n)(n)2(n2)，完成12.设系统的单位取样响应

下面各题：

（1）求出系统输出序列y(n)；

（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。

解：

（1）

（2）

13.已知xa(t)2cos(2f0t)，式中f0100Hz，以采样频率fs400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：

（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j)；

（2）写出xa(t)和x(n)的表达式；

（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。

解：

（1）

上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以

表示成：

（2）

ˆa(t)xnx(t)(tnT)2cos(nT)(tnT)a0n

（3）

式中s2fs800rad/s 式中w00T0.5rad

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。

14.求以下序列的Z变换及收敛域：

n2u(n1)； （2）

n2（3）u(n)；

n2（6）[u(n)u(n10)]

解：

（2）

ZT[2u(n)]nn2u(n)znn2nznn011,z121z12

（3）

（6）

16.已知:

求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。

解：

有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：

三种收敛域对应三种不同的原序列。

（1）当收敛域

z0.5时，

令

F(z)X(z)zn157z15z7n1nzz(10.5z1)(12z1)(z0.5)(z2)

n0，因为c内无极点，x(n)=0；

n1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有

z10.5,z22，那么

（2）当收敛域

0.5z2时，

n0，C内有极点0.5；

n0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只

有一个，即2，

1x(n)3()nu(n)22nu(n1)2最后得到

（3）当收敛域

2z时，

n0，C内有极点0.5，2；

n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。

或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。

最后得到

nx(n)au(n),0a1，分别求： 17.已知

（1）x(n)的Z变换；

（2）nx(n)的Z变换；

na（3）u(n)的z变换。

解：

（1）

X(z)ZT[au(n)]nnanu(n)zn1,za1az1

daz1ZT[nx(n)]zX(z),za12dz(1az)（2）

（3）

ZT[au(n)]aznn0nnanznn01,za11az

3z1X(z)25z12z2，分别求： 18.已知

（1）收敛域

0.5z2对应的原序列x(n)；

（2）收敛域

z2对应的原序列x(n)。

解：

（1）当收敛域

0.5z2时，n0，c内有极点0.5，

x(n)Res[F(z),0.5]0.5n2n,n0,

c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,

x(n)Res[F(z),2]2n,

最后得到

（2（当收敛域

z2时，

n0,c内有极点0.5,2,

n0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没

有极点,因此x(n)0,最后得到

25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x(n)anu(n),h(n)bnu(n),0a1,0b1，

试：

（1）用卷积法求网络输出y(n)；

（2）用ZT法求网络输出y(n)。

解：

（1）用卷积法求y(n)

y(n)h(n)x(n)mbmu(m)anmu(nm)，n0,

y(n)am0nnmm1an1bn1an1bn1baaba11abab，n0，y(n)0 m0nnmmn最后得到

（2）用ZT法求y(n)

F(z)Y(z)zn1令

zn1zn1111az1bz(za)(zb)

n0,c内有极点a,b

因为系统是因果系统，n0,y(n)0，最后得到

28.若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

jwH(e)。 h(n)求序列及其傅里叶变换

解：

求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。

aza1he(n)h(n)因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取：。

n1时，c内有极点a,

n=0时，c内有极点a,0，

所以

又因为

所以

3.2教材第三章习题解答

1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0nN1内,序列定义为 （2）x(n)(n)；

（4）x(n)Rm(n),0mN；

2nm),0mNN；

（6）

x(n)cos(（8）x(n)sin(w0n)•RN(n)；

（10）x(n)nRN(n)。

解：

N1n0N1n0（2）

X(k)(n)WknN(n)1,k0,1,,N1

X(k)Wn0N1knN1W1W（4）

kmNkNejNk(m1)sin(Nmk),k0,1,,N1m)sin(N

N1jmnjkn1jNmn2knNX(k)cosmn•WN(ee)eNNn0n02（6）

N1222（8）解法1直接计算

解法2由DFT的共轭对称性求解

因为

所以

即

11ejw0N1ejw0N11ejw0N1ejw0N()()2222j(wk)j(w(Nk)j(wk)j(wk)2j2j0000NNNN1e1e1e1e结果与解法1所得结

果相同。此题验证了共轭对称性。

（10）解法1

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。

因为x(n)nRN(n)

所以x(n)x((n1))N•RN(n)N(n)RN(n)

等式两边进行DFT得到

N[(k)1],k1,2,N1k1WN

故

X(k)当k0时，可直接计算得出X（0）

这样，X（k）可写成如下形式：

解法2

k0时，

k0时，

所以，

即

2.已知下列X(k)，求x(n)IDFT[X(k)];

Nj2e,kmNX(k)ej,kNm20,其它k（1）;

Nj2je,kmNX(k)jej,kNm20,其它k（2）

解：

（1）

=

（2）

3.长度为N=10的两个有限长序列

作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)。

解：

x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。

14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为:

对每个序列作20点DFT,即

如果

试问在哪些点上f(n)x(n)*y(n)，为什么？

解：

如前所示，记f(n)x(n)*y(n)，而f(n)IDFT[F(k)]x(n)y(n)。fl(n)

长度为27，f(n)长度为20。已推出二者的关系为

只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)fl(n)所以

15.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：

（1）最小记录时间Tpmin；

（2）最大取样间隔Tmax；

（3）最少采样点数Nmin；

（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。

解：

（1）已知F50HZ

1fmin110.5ms32fmax210

（2）

Tmax（3）

NminTpT0.02s4030.510

（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）

18.我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段计算输出。最后，从ym(n)中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出y(n)。

（1）求V；

（2）求B；

（3）确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。

解：

为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0，1，2，…,127。

先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)考虑，ylm(n)中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的y(n)，必须重叠100-51=49个点，即V=49。

下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。我们知道

因为ylm(n)长度为

N+M-1=50+100-1=149

所以从n=20到127区域，ym(n)ylm(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的ym(n)。

综上所述，总结所得结论

V=49,B=51

选取ym(n)中第49~99点作为滤波输出。

5.2教材第五章习题解答

1.设系统用下面的差分方程描述：

y(n)311y(n1)y(n2)x(n)x(n1)483，

试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。

解：

将上式进行Z变换

（1）按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。

（2）将H(z)的分母进行因式分解

按照上式可以有两种级联型结构：

11z113H(z)•11(1z1)(1z1)24(a)

画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示

11z113H(z)•11(1z1)(1z1)24(b)

画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示

（3）将H(z)进行部分分式展开

根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。

2.设数字滤波器的差分方程为

y(n)(ab)y(n1)aby(n2)x(n2)(ab)x(n1)abx(n)，

试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。

解：

将差分方程进行Z变换，得到

（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。

（2）将H(z)的分子和分母进行因式分解：

按照上式可以有两种级联型结构：

z1aH1(z)1az1 (a)

画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。

z1aH1(z)1bz1 (b)

画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示●。

3.设系统的系统函数为

4(1z1)(11.414z1z2)H(z)(10.5z1)(10.9z10.18z2)，

试画出各种可能的级联型结构。

解：

由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。

41z110.5z1，

（1）

H1(z)画出级联型结构如题3解图（a）所示●。

11.414z1z2H1(z)10.5z1（2）,

画出级联型结构如题3解图（b）所示。

4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d

解：

(d)h(n)h1(n)[h2(n)h3(n)h4(n)]h5(n)

5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d

解：

rsin•z1H(z)1rcos•z1rcos•z1r2sin2•z2r2cos2•z2 (d)

6.写出图中流图的系统函数。图f

解：

111z•22z142H(z)13131z1z21z1z24848(f)

28．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n)(n)(n1)(n4)，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。

解：

已知频率采样结构的公式为

式中，N=5

它的频率采样结构如题8解图所示。

6.2教材第六章习题解答

1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp6kHz，通带最大衰减ap3dB，阻带截止频率fs12kHz，阻带最小衰减as3dB。求出滤波器归一化传输函数Ha(p)以及实际的Ha(s)。

解：

（1）求阶数N。

将ksp和sp值代入N的计算公式得

所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）

（2）求归一化系统函数Ha(p)，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数Ha(p)为

1(p20.618p1)(p21.618p1)(p1)

或

Ha(p)当然，也可以按（6.12）式计算出极点:

按（6.11）式写出Ha(p)表达式

代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。

由于本题中

ap3dB，即

cp26103rad/s，因此

对分母因式形式，则有

如上结果中，c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2.设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp3kHz，通带最在衰减速

ap0.2dB，阻带截止频率fs12kHz，阻带最小衰减as50dB。求出归一化传输函数Ha(p)和

实际的Ha(s)。

解：

（1）确定滤波器技术指标：

ap0.2dB，

p2fp6103rad/s

（2）求阶数N和：

为了满足指标要求，取N=4。

（2）求归一化系统函数Ha(p)

其中，极点pk

（3）将Ha(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)

其中

skppk6103pk,k1,2,3,4，因为p4p1,p3p2，所以s4s1,s3s2。将两

对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。

4.已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为：

sa(sa)2b2；

(1)

Ha(s)(2)

Ha(s)b(sa)2b2。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变法，

分别将其转换成数字滤波器H(z)。

解：

该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。

sa(sa)2b2

（1）

Ha(s)

Ha(s)的极点为：

s1ajb，s2ajb

将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：

比较分子各项系数可知：

A、B应满足方程：

解之得

所以

按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得

用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。

b(sa)2b2

（2）

Ha(s)Ha(s)的极点为：

s1ajb，s2ajb

将Ha(s)部分分式展开：

通分并化简整理得

5.已知模拟滤波器的传输函数为：

1s2s1；

（1）

Ha(s)（2）

Ha(s)12s23s1试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波

器，设T=2s。

解：

（1）用脉冲响应不变法

1s2s1

①

Ha(s)方法1直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为：

s10.5j33s20.5j2，2

代入T=2s

方法2直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对Ha(s)的分母配方，将Ha(s)化成4题中的标准形式：

b•c,c22(sa)b为一常数，

Ha(s)由于

所以

13a,b22，套用公式得 对比可知，

②

Ha(s)11-1=+2s23s1s+0.5s+1

或通分合并两项得

（2）用双线性变换法

H(z)Ha(s)①

21z1s,T2T1z1

H(z)Ha(s)②

21z1s,T2T1z1

7.假设某模拟滤波器

Ha(s)是一个低通滤波器，又知

H(z)Ha(s)sz1z1，数字滤波器H(z)的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。

（1）w0(低通)；

（2）w（高通）；

（3）除0或外的某一频率（带通）。

解：

按题意可写出

故

即

原模拟低通滤波器以0为通带中心，由上式可知，0时，对应于w，故答案为（2）。

9.设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。

解：

本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：

采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：

（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数Ha(p)：

取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：

将Ha(p)部分分式展开：

其中，系数为：

（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。

我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按式求3dB截止频率c。

其中BkcAk,skcpk。

（3）用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)：

我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分式展开求解系数Ak或Bk相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。